Los números naturales
Cada día, en nuestra conversación, por la televisión, en la lectura o por ejemplo, en un diario o en el trabajo, está presente la idea de conjunto.
Por ejemplo, al pasar por la plaza se levantó una bandada de palomas o en el diario leemos que nuestro equipo de fútbol preferido gano el partido.
Entendemos que una bandada es un conjunto de pájaros, el equipo de fútbol es un conjunto de jugadores.
Otro ejemplo es el conjunto de notas musicales que seria A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}
Constantemente relacionamos conjunto con distintos fines; uno de ellos es el de contar sus elementos. Para contar utilizamos los Números naturales
Al principio, el hombre fue relacionando conjunto para contar sus elementos. Al comparar cantidades, se acercó a nuestra noción actual de contar mediante correspondencias, por ejemplo, con partes del cuerpo: "tengo tantas vacas como dedos en la mano".
Cada vaca se relaciona con un único dedo; los elementos del conjunto vaca se puede "aparear" con el conjunto de los dedos de la mano; decimos, entonces, que estos dos conjuntos son coordinables, o que tiene el mismo cardinal.
El cardinal de un conjunto finito es un número natural.
Por ejemplo
El cardinal del junto de vacas es el número 5. El cardinal del conjunto de notas musicales es 7. El cardinal del conjunto vacío es 0.
Al conjunto de numeros naturales lo designamos con N: N={0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Las propiedades de N son:
1. Es infinito
2. Tiene primer elemento: cero. No tiene último elemento
3. Todo número natural tiene un sucesor. Un número natural y su sucesor se dicen consecutivos.
4. Todo número (exepto cero) tiene un antecesor.
5. El sucesor c de un número natural b es mayor que él y su antecesor a es menor. Simbolicamente: a<b<c
6. Entre dos números naturales existe siempre un número finito de números naturales. Por eso se dice que es un conjunto discreto.
Los números negativos
Entonces, el hombre conoce los números naturales desde el momento que tuvo necesidad de contar, pero éstos no le alcanzan para expresar muchas situaciones, como por ejemplo las temperaturas bajo cero o el saldo deudor de una cuenta bancaria. Por eso fue necesaria la creación de los números negativos.
Los números negativos son los opuestos de los números naturales distintos de cero. El cero no es ni positivo ni negativo.
El conjunto de los números enteros es la unión de los números enteros negativos, el conjunto que tiene a cero como único elemento y el conjunto de los números enteros positivos.
Al conjunto de los números enteros lo designamos con Z.
Las propiedades de Z son:
1. Es infinito
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Todo número entero tiene sucesor. un número entero y su sucesor se dicen consecutivos.
4. Todo número entero tiene antecesor.
5. El sucesor c de un número b es mayor que él y su antecesor a es menor. Simbólicamente: a<b<c
6. Entre dos números enteros existe siempre un número finito de números enteros. Por eso el conjunto de números enteros es discreto.
Los números fraccionarios
Estos números surgen de la necesidad de expresar fracciones de unidad.
Por ejemplo:
"Tomas comió tres de las cuatro partes de las que constaba su tableta de chocolate" --> 3/4
4 dividido 3 -- > 4/3
♥Se llama fracción a un cociente de números enteros. Todo número entero qe puede ser expresado mediante una fracción es un número racional. A este conjunto de números se los designa con la letra Q.
♥Todo número entero se puede expresar como una fracción con denominador 1. Por ejemplo 3 = 3/1 ; -4= -4/1
♥Todo número racional se puede expresar como número decimal exacto o periodico. por ejemplo 0,4 = 4/10 ; 1/3=0,3333....
♥Dos fracciones, a/b y c/d, que cumplen con la condición a·b = c·d son equivalentes. Esto significa que expresan el mismo número racional.
♥La unión del conjunto Z de los números enteros y el conjunto de números fraccionarios que no representan los números enteros es el conjunto Q de números racionales.
Las propiedades de Q son:
1. Es infinito (∞)
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Entre dos números racionales existen infinitos numeros racionales. Por ello se dice que el conjunto de números racionales es denso.
4. Como consecuencia de la propiedad anterior , ningún numero racional tiene sucesor ni antecesor.
Q es un conjunto ordenado por la relacion menor o igual. Si los números racionales a/b y c/d son fraccionarios irreducibles, se cumple que: a/b > c/d < --- > a·d>c·d
Los Números Irracionales
La ecuación x^2 - 2 = 0 no tiene solución en el campo de los números racionales. La solución a esta ecuación requiere la descripción de los números irracionales.
Los números irracionales son aquellos cuya expresión decimal es infinita y no tiene un período, por ejemplo:
♥El número pi:
♥El número de oro:
♥Las raíces de índice par de números naturales cuyos resultados no son naturales
♥Las raíces de índice impar de números enteros cuyos resultados no son enteros.
Por tanto:
-Los números irracionales no se pueden expresar como una fracción o como un cociente de dos enteros.
Para obtener un número irracional, es suficiente escribir un número cuyas cifras decimales sean infinitas y no presenten periodicidad.
Por ejemplo: 3,5155115551115555511111555551111...
La notación para los números irracionales será I
Los números reales
La unión del conjunto Q de números racionales y el conjunto I de números irracionales es el conjunto R de números Reales, que puede representarse mediante una linea continua llamada Recta Real. Cada punto sobre esta recta representa un número real, y a cada número real le corresponde un único punto sobre la recta. Por ello, con los números reales se completa la recta numérica.
Las propiedades de R son:
1. Es infinito
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Entre dos números reales existe siempre un número infnito de reales. Se dice que el conjunto de números reales es denso.
4. Ningún número real tiene sucesor ni antecesor.
5. El conjunto R es un conjunto totalmente ordenado por la relación, menor o igual.
6. Es un conjunto continuo porque completa la recta numérica.
Hemos visto los números naturales, enteros, racionales y reales. un número natural es también entero, y un número entero puede escribirse como un número racional utilizando una fracción que tenga un 1 de denominador.
Si m es entero, entonces m/1=m es racional.
Tenemos así dos grandes grupos de números: los racionales y los irracionales. Estos dos grandes grupos forman el conjunto de los números reales.
Cada día, en nuestra conversación, por la televisión, en la lectura o por ejemplo, en un diario o en el trabajo, está presente la idea de conjunto.
Por ejemplo, al pasar por la plaza se levantó una bandada de palomas o en el diario leemos que nuestro equipo de fútbol preferido gano el partido.
Entendemos que una bandada es un conjunto de pájaros, el equipo de fútbol es un conjunto de jugadores.
Otro ejemplo es el conjunto de notas musicales que seria A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}
Constantemente relacionamos conjunto con distintos fines; uno de ellos es el de contar sus elementos. Para contar utilizamos los Números naturales
Al principio, el hombre fue relacionando conjunto para contar sus elementos. Al comparar cantidades, se acercó a nuestra noción actual de contar mediante correspondencias, por ejemplo, con partes del cuerpo: "tengo tantas vacas como dedos en la mano".
Cada vaca se relaciona con un único dedo; los elementos del conjunto vaca se puede "aparear" con el conjunto de los dedos de la mano; decimos, entonces, que estos dos conjuntos son coordinables, o que tiene el mismo cardinal.
El cardinal de un conjunto finito es un número natural.
Por ejemplo
El cardinal del junto de vacas es el número 5. El cardinal del conjunto de notas musicales es 7. El cardinal del conjunto vacío es 0.
Al conjunto de numeros naturales lo designamos con N: N={0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Las propiedades de N son:
1. Es infinito
2. Tiene primer elemento: cero. No tiene último elemento
3. Todo número natural tiene un sucesor. Un número natural y su sucesor se dicen consecutivos.
4. Todo número (exepto cero) tiene un antecesor.
5. El sucesor c de un número natural b es mayor que él y su antecesor a es menor. Simbolicamente: a<b<c
6. Entre dos números naturales existe siempre un número finito de números naturales. Por eso se dice que es un conjunto discreto.
Los números negativos
Entonces, el hombre conoce los números naturales desde el momento que tuvo necesidad de contar, pero éstos no le alcanzan para expresar muchas situaciones, como por ejemplo las temperaturas bajo cero o el saldo deudor de una cuenta bancaria. Por eso fue necesaria la creación de los números negativos.
Los números negativos son los opuestos de los números naturales distintos de cero. El cero no es ni positivo ni negativo.
El conjunto de los números enteros es la unión de los números enteros negativos, el conjunto que tiene a cero como único elemento y el conjunto de los números enteros positivos.
Al conjunto de los números enteros lo designamos con Z.
Las propiedades de Z son:
1. Es infinito
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Todo número entero tiene sucesor. un número entero y su sucesor se dicen consecutivos.
4. Todo número entero tiene antecesor.
5. El sucesor c de un número b es mayor que él y su antecesor a es menor. Simbólicamente: a<b<c
6. Entre dos números enteros existe siempre un número finito de números enteros. Por eso el conjunto de números enteros es discreto.
Los números fraccionarios
Estos números surgen de la necesidad de expresar fracciones de unidad.
Por ejemplo:
"Tomas comió tres de las cuatro partes de las que constaba su tableta de chocolate" --> 3/4
4 dividido 3 -- > 4/3
♥Se llama fracción a un cociente de números enteros. Todo número entero qe puede ser expresado mediante una fracción es un número racional. A este conjunto de números se los designa con la letra Q.
♥Todo número entero se puede expresar como una fracción con denominador 1. Por ejemplo 3 = 3/1 ; -4= -4/1
♥Todo número racional se puede expresar como número decimal exacto o periodico. por ejemplo 0,4 = 4/10 ; 1/3=0,3333....
♥Dos fracciones, a/b y c/d, que cumplen con la condición a·b = c·d son equivalentes. Esto significa que expresan el mismo número racional.
♥La unión del conjunto Z de los números enteros y el conjunto de números fraccionarios que no representan los números enteros es el conjunto Q de números racionales.
Las propiedades de Q son:
1. Es infinito (∞)
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Entre dos números racionales existen infinitos numeros racionales. Por ello se dice que el conjunto de números racionales es denso.
4. Como consecuencia de la propiedad anterior , ningún numero racional tiene sucesor ni antecesor.
Q es un conjunto ordenado por la relacion menor o igual. Si los números racionales a/b y c/d son fraccionarios irreducibles, se cumple que: a/b > c/d < --- > a·d>c·d
Los Números Irracionales
La ecuación x^2 - 2 = 0 no tiene solución en el campo de los números racionales. La solución a esta ecuación requiere la descripción de los números irracionales.
Los números irracionales son aquellos cuya expresión decimal es infinita y no tiene un período, por ejemplo:
♥El número pi:
♥El número de oro:
♥Las raíces de índice par de números naturales cuyos resultados no son naturales
♥Las raíces de índice impar de números enteros cuyos resultados no son enteros.
Por tanto:
-Los números irracionales no se pueden expresar como una fracción o como un cociente de dos enteros.
Para obtener un número irracional, es suficiente escribir un número cuyas cifras decimales sean infinitas y no presenten periodicidad.
Por ejemplo: 3,5155115551115555511111555551111...
La notación para los números irracionales será I
Los números reales
La unión del conjunto Q de números racionales y el conjunto I de números irracionales es el conjunto R de números Reales, que puede representarse mediante una linea continua llamada Recta Real. Cada punto sobre esta recta representa un número real, y a cada número real le corresponde un único punto sobre la recta. Por ello, con los números reales se completa la recta numérica.
Las propiedades de R son:
1. Es infinito
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Entre dos números reales existe siempre un número infnito de reales. Se dice que el conjunto de números reales es denso.
4. Ningún número real tiene sucesor ni antecesor.
5. El conjunto R es un conjunto totalmente ordenado por la relación, menor o igual.
6. Es un conjunto continuo porque completa la recta numérica.
Hemos visto los números naturales, enteros, racionales y reales. un número natural es también entero, y un número entero puede escribirse como un número racional utilizando una fracción que tenga un 1 de denominador.
Si m es entero, entonces m/1=m es racional.
Tenemos así dos grandes grupos de números: los racionales y los irracionales. Estos dos grandes grupos forman el conjunto de los números reales.