La historia de los números.

Números Naturales:
El hombre recurre a la comparación y a la agrupación. Y tiene además, como muchos otros animales, una noción de pluralidad. Por ejemplo, un pájaro que puso cuatro huevos no abandona su nido si le quitan uno, pero si lo hace si le quitan dos, de alguna manera es capaz de distinguir dos de tres. Existe un sentido visual directo del número en los animales, que en el hombre rara vez pasa del cuatro si se trata de ver la cantidad exacta de cosas presentes en un conjunto.
El primer recurso del hombre para tener una noción de la cantidad de cosas presentes en un conjunto fue usar la correspondencia biunívoca, marcando, por ejemplo, el número de ovejas presentes en un rebaño con piedras apiladas. Este proceso requiere un pequeño grado de abstracción. Hay civilizaciones antiguas que tenían, por ejemplo, un concepto totalmente concreto del número, como por ejemplo en la lengua thimshian de una de las tribus de la Columbia Británica existen siete términos numéricos diferentes: uno para los animales y los objetos chatos, otro para los objetos redondos y el tiempo, otro para las personas, otro para objetos grandes y árboles, otro para las canoas, otro para las medidas en general y finalmente otro para el resto de los objetos.
El paso del procedimiento de la correspondencia biunívoca al de contar, es el de crear un conjunto modelo que se pueda corresponder con todas las cosas que se quieran contar. Lo primero que impulso al hombre a crear este conjunto es el uso de nuestros diez dedos articulados. Así se empezó a relacionarse cada dedo con una cantidad y a medida que el hombre fue utilizando más y más el lenguaje, los sonidos empezaron a reemplazar a las imágenes. Un ejemplo claro de esto son varios idiomas donde la manera de nombrar al número cinco es muy similar a la palabra “mano”.
Pero la acción de contar no solo requiere la noción de cantidad y la abstracción de esta para que se aplique a todas las cosas en general, si no que también requiere la organización de un sistema de números según una sucesión ordenada que progrese en sentido de magnitudes crecientes. Los documentos más antiguos que indican el uso de una escritura numérica pertenecían a los sumerios y egipcios del año 3.500 a.C.



Números Negativos:
Los chinos fueron los primeros en usar los números negativos. Como todos saben en la cultura china en general, existe una partición de todas las cosas que componen a la realidad en yin-yang, el blanco es yin, el negro yang, frío-calor, cielo-tierra, etc… pero esta partición alcanza niveles mucho más profundos y abstractos que esos simples ejemplos que di. Es una manera de pensar a la realidad y es, por lo tanto, la base de su razonamiento. Los chinos no iban a concebir la existencia de un número sin pensar al mismo tiempo y automáticamente en su opuesto, algo existe porque existe su opuesto y si se juntan se aniquilan y no queda nada. Por eso, si un chino quería hacer 3-4 esta operación tenia todo el sentido, para eso calculaban con un ábaco con bolas negras para los positivos y bolas rojas para los negativos, y procedían de la siguiente manera: una bola negra se aniquila con una bola roja, así las tres bolas negras desaparecían con tres bolas rojas y el resultado era una roja, o sea, -1. La cultura occidental, en cambio, sigue concibiendo a la resta como una sustracción, restar=extraer=sacar, etc.. por lo tanto era ilógico para los griegos pensar en quitarle 4 a alguien que tiene solo 3, y tampoco veían la importancia de la nada, de lo que seria quitarle 3 a alguien que tiene 3. Cuando para los chinos la nada era todo un armonioso combate entre opuestos que se destruyen entre sí hasta llegar a aniquilarse.
 
Sin embargo los números negativos fueron usados posteriormente recién por un matemático hindú en el siglo VI, que los acepto como solución de ecuaciones cuadráticas y formuló las reglas que conocemos hoy en día para poder usarlos. Pero su trabajo no tuvo mucha repercusión y estos fueros aceptados recién en el Siglo XVI cuando un matemático holandés reconoció la igualdad entre la sustracción de un número positivo y la adición de un número negativo. Así la cultura occidental acepto a existencia de estos números, pero un número, para un occidental, es “naturalmente” positivo.

El cero y el principio de posición:
Un desconocido hindú invento a principios del siglo XI el principio de posición, este hecho fue esencial para el futuro de la matemática y es a su vez muy simple. Este principio consiste en dar a una cifra un valor que depende no solo del número al que represente si no también de la posición que ocupa con respecto a los otros símbolos del conjunto de cifras. El problema era que esto funcionaba solamente si se representaba mediante columnas donde se ubicaban las cifras, porque sin esas columnas no se sabia si 23 era 2|3 o 2| |3 o 2|3| | etc. Queda claro que era necesario un símbolo para la columna vacía, de esta forma se invento el número que nos faltaba para completar al conjunto de los enteros: el cero.

Números Racionales y el primer surgimiento de los Irracionales:
Para los griegos, entre los siglos V y III a.C., tales fueron por ejemplo los Pitagóricos, las fracciones no eran propiamente números, sino relaciones entre números naturales. Ellos buscaban entender el universo a través del número y la forma y creían poder hacerlo solo con los números naturales y sus relaciones. Esta convicción era la base de su filosofía, por eso cuando descubrieron que existían segmentos inconmensurables lo mantuvieron en secreto por años condenando a pena de muerte a quien lo develase. Años mas tarde, terminada la era Pitagórica, Euclides demostró que cuando un numero entero “a” no es una potencia enésima perfecta, la ecuación x "elevado a la" n = a no tiene soluciones racionales.

El infinito:
Zenón de Elea fue quien uso por primera vez al infinito como generador de paradojas. En sus argumentos demuestra la contradicción entre la realidad indiscutible del movimiento y las nociones matemáticas que lo describen. Una de estas es la llamada paradoja de la flecha: se lanza una flecha, en cada momento en el tiempo, la flecha está en una posición específica, y si ese momento es lo suficientemente pequeño, lo que equivaldría a un punto en la línea recta que representa el paso del tiempo, la flecha no tiene tiempo para moverse, por lo que está en reposo durante ese instante. Ahora bien, durante los siguientes periodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De modo que la flecha está siempre en reposo por lo tanto el movimiento es imposible. Esta contradicción se basa en la suposición de que se puede representar al tiempo en una línea recta y en que esta está compuesta por un conjunto infinito de puntos, tema que retomaremos mas adelante.
El hecho de que las matemáticas puedan no ser el reflejo exacto de la realidad genero una crisis y a partir de ese momento los griegos evitaron el uso de cualquier proceso que involucre el infinito, como por ejemplo probar las cosas mediante el absurdo y no por inducción. Estos problemas no resucitaron hasta luego de la Edad Media. Viéndolo desde esa perspectiva esta nueva crisis tuvo bases parecidas a la crisis Pitagórica, ya que ambas se basaban en le miedo de que la matemática no pueda representar a la realidad tal cual es. Valla a saber uno lo que podrían haber descubierto los griegos si se hubiesen aventurado a investigar en el campo de lo infinitesimal, ya que ya poseían la idea de limite, al aproximarse, por ejemplo, a la longitud de la circunferencia encerrándola entre dos conjuntos de polígonos regulares de un numero creciente de lados.
Pero como veremos mas adelante en la matemática surge la necesidad de admitir la existencia del infinito. Esta necesidad no es una consecuencia de la lógica clásica, ni tampoco deriva de la experiencia inmediata de nuestros sentidos. Se podría generar una aritmética sin afirmar que todo número tiene un siguiente, pero nos es mas práctico suponer que si vale. La idea del infinito esta en nuestra mente y nos parece “natural” prácticamente porque somos capaces de concebir la repetición indefinida de un acto cuando este fue posible una vez. A este tipo de razonamiento se lo llama inducción y permite pasar de lo particular a lo general.

La aceptación de los irracionales:
En el Renacimiento ya se conocían muchos nuevos entes matemáticos no racionales que habían surgido al intentar resolver sencillos problemas aritméticos y geométricos con números racionales. Hubo que empezar a inventar nuevos métodos para poder trabajar con estos números.
Se creo el símbolo  y se establecieron reglas para operar con estos símbolos. La dificultad estuvo en la suma ya que por ejemplo raiz de 2 + raiz de 3 no se pueden escribir de la forma  donde a es un numero racional. Por lo tanto para construir un sistema cerrado con respecto a la suma y a la sustracción se vieron obligados a ampliar el campo aceptando también a los irracionales compuestos de la forma raíz enésima de a + raíz enésima de b. Pero al querer resolver otro tipo de ecuaciones tuvieron que ampliar todavía mas este campo numérico, por ejemplo la solución formal de una de una ecuación de segundo grado es de la forma A+ . Pero ni siquiera estos irracionales junto con los compuestos son adecuados para la solución de las ecuaciones generales de grado superior a cuatro.
Luego se descubrió que existen números trascendentes, que no son raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales. En el siglo XIX se probo que e y pi eran trascendentes. De esta manera junto con el descubrimiento de que los números trascendentes son mucho más ricos en extensión y variedad que los irracionales fracaso el segundo intento de explicar toda naturaleza del número.
Esto provocó diversas reacciones, como la del movimiento intuicionista que sostuvo que el dominio natural y el racional (que es inmediatamente reducible al primero) eran los únicos fundamentos sólidos en que podía apoyarse la matemática y negaban todos los trabajos que involucrasen números irracionales.
Pero por suerte esta vez los nuevos descubrimientos no paralizaron la naturaleza creadora del hombre y muchos empezaron a buscar una manera de definir formalmente a este nuevo conjunto de números; los Reales, que deberían abarcar tanto a los racionales como a los irracionales y los trascendentes. ¿Pero cómo hacer para que un conjunto infinito de números abarque a otro conjunto también infinito que es el de los racionales?

La Línea recta, el continuo aritmético:
Fue Dedekind quién en 1872 tuvo la sensacional idea de usar a la línea recta como un modelo ideal que debería abarcar a todos los números de tal manera que a cada número le corresponda un punto. Para esto es necesario concebir a la recta como una sucesión de puntos que estén tan cerca como uno quiera. Esto es antiintuitivo, ya que nosotros la percibimos como un ente continuo. Es en este punto donde reside la fuerza de los argumentos de Zenón. De esta manera se definió a los números reales como los puntos que constituyen a la recta, cada número debía corresponder a un punto y solo uno y viceversa. Con esta definición se puede dividir a la recta en dos partes sin intersección mediante un punto o, lo que es lo mismo, un número. Así le fue posible a Dedekind definir a los números irracionales con instrumentos que ya eran conocidos y aceptados. Los definió como límites de sucesiones de racionales, más específicamente como las “cortaduras de Dedekind”:
Una cortadra de Dedekind es, por ejemplo, A(t)={todos los números racionales x tal que x<t} donde t puede ser cualquier numero, o sea, mejor explicado, la cortadura de Dedekind correspondiente a un numero cualquiera t, son todos los números racionales que se encuentran a su izquierda.
El conjunto de todos los cortes es (por definición) el conjunto de los números reales. A todo número racional le corresponde un corte racional y solamente uno. Aclaro, pos si están confundidos, que Dedekind definió así que una cortadura es un número. Vistos de esta manera los números Reales abarcan a los Racionales y son comparables con la recta numérica. Obviamente también tuvo que determinar las normas de comparación de nuevos números y definir la suma y el producto.

Despertando una nueva crisis:
A esta altura parecía superada la crisis del infinito. Se había construido el puente que conectaba la continuidad de nuestro concepto de tiempo y la discontinuidad propia de nuestra estructura numérica; cada número fue concebido como la meta de una sucesión infinita de saltos y el continuo es considerado no solo como lo que comprende a todos los términos de las sucesiones sino también a todos los límites posibles.
Pero el infinito no se dio por vencido y siguió desafiando a la mente humana. A fines del siglo XIX Cantor se dio cuenta de que existían distintos tipos de infinitos. Hasta ese momento solo se había concebido al infinito como potencial, es decir, suponiendo que dado un número existe un siguiente. Cantor probó que la cantidad de racionales es la misma que la de los números naturales, pero que los números reales son infinitamente mayores que los racionales, dicho de otra manera, probó que los reales no son numerables. Esto provoco una nueva crisis dentro de la matemática, pero eso escapa a la historia de los números reales.