«Que la lógica ha entrado, desde los tiempos más antiguos, en el seguro camino de la ciencia lo prueba el que desde Aristóteles no ha tenido que retroceder un solo paso, a no ser que se quiera considerar como mejoras el despojarla de algunas sutilezas superfluas o el darle una claridad más acabada en la exposición, cosas ambas que más pertenecen a la elegancia que a la seguridad de la ciencia. Es también digno de atención el que tampoco haya podido dar hasta ahora ningún paso hacia adelante, de modo que, según toda verosimilitud, parece estar conclusa y perfecta.»
Que el aserto de Kant (En principio Kant entiende que hay formas puras a priori del entendimiento y de la razón. La lógica la divide en Analítica Trascendental y Dialéctica Trascendental) ha sido ampliamente refutado es algo tan obvio que ni siquiera merece la pena ofrecer pruebas de ello. La lógica ha dado muchos pasos adelante, antes y después de Kant.
Ahora bien: si nos atenemos exclusivamente a sus libros de lógica no podemos decir que Carroll haya contribuido a ese avance. Verdad es que sus intereses eran tan sólo didácticos. Pero verdad es también que en sus libros de lógica no hay sino «una claridad más acabada en la exposición y un añadido de sutilezas divertidas». Y en ello conviene insistir tanto más cuanto que en nuestro país —por increíble que ello pueda parecer— hay todavía quien piensa que la lógica formal se divide en concepto, juicio y raciocinio. No vaya a ser que alguien piense que la lógica de Carroll es toda la lógica.
Sabido es que durante muchos siglos la lógica «oficial» —a pesar de los estoicos, a pesar de los lógicos del siglo XIV, a pesar de Leibniz, a pesar de muchos otros— ha sido la silogística aristotélica. O —para ser más exactos y no ofender la memoria de Aristóteles— una silogística ,aristotélica empobrecida y petrificada. Una lógica que estudia sólo diecinueve silogismos es una lógica canija.
Una lógica que estudia sólo diecinueve silogismos y pretende encima que se trata de las únicas formas posibles de razonamiento deductivo es una lógica ridícula. Hoy sabernos que en la mente humana hay muchas más posibilidades deductivas que las que han podido soñar los embalsamadores de Aristóteles. A partir del siglo XIX la lógica ha experimentado un progreso acelerado que ha convertido la silogística aristotélica en un pequeño conjunto de teoremas de la lógica cuantificacional de primer orden monádica (o de la lógica de clases, a elegir). Esto no quita genialidad a Aristóteles, pero en cambio quita la razón a quienes le han hecho el menguado favor de proclamarse discípulos suyos. Todo lo que había de propiamente lógico en la lógica escolástica ha quedado incorporado, como unas gotas de agua en un mar, a la lógica en su forma actual. El resto es metafísica o psicología, lo cual no tiene nada de malo, pero tampoco tiene nada de lógico-formal.
En los sesenta y tres años que median entre The Mathematical Analysis of Logic (1847) de George Boole y los Principia Mathematica (1910-13) de Whitehead y Russell la lógica se desarrolló con más rapidez de la que estamos teniendo nosotros al contarlo. En la medida en que la historia de una ciencia puede ser descrita citando una serie de fechas, cabe decir que 1879 es la fecha decisiva en la historia contemporánea de nuestra disciplina. Esa es, en efecto, la fecha en que Frege publica su Begriffsschrift, el primer sistema completo de lógica moderna, en el que la lógica de términos —de tradición aristotélica— y la lógica de proposiciones ——de tradición megárico-estoica—, que hasta entonces se habían considerado como dos lógicas distintas e incluso incompatibles, aparecen articuladas como dos distintos apanados de una lógica única. Russell, Gilbert, Lukasiewicz, Carnap, Tarski, Gödel son sólo los nombres de algunos de los autores que en el transcurso de pocas décadas han contribuido a la construcción de un nuevo edificio de la lógica, de una lógica reestructurada y renovada, organizada ahora de un modo coherente y abierta constantemente a nuevos desarrollos; una lógica, por añadidura, desde la cual está siendo posible entender el sentido de toda la historia de la lógica y recuperar autores y hallazgos olvidados; una lógica, en definitiva, constituida ya en ciencia formal, como pueda serlo la matemática.
La vieja lógica, fuente del desprestigio de los lógicos entre los científicos, ha quedado triturada o incorporada.
Lo que a veces se llama «lógica matemática», «logística», etcétera, es simplemente la lógica formal misma, la lógica sin más, la única. La dialéctica es otra cosa: una filosofía quizá un embrión de ciencia. La lógica escolástica es también otra cosa: una momia con la que se especula (en el doble sentido de la palabra “especular”).
Pues bien: Lewis Carroll era contemporáneo de todos esos progresos en el desarrollo de la lógica. Contemporáneos ,suyos eran Boole, De Morgan, Peirce, Frege, etcétera.
Pase que no tuviera noticia de Frege. Al fin y al cabo, Frege era alemán, y ya se sabe que el Canal de la Mancha es una frontera cultural difícilmente franqueable. El propio Russell no supo de Frege hasta muy tarde. Pero Book De Morgan vivían y escribían cerca de Carroll, a veces en las mismas revistas que éste. De los libros lógicos de Carroll están ausentes esos nuevos desarrollos. Ya hemos dicho que las intenciones de Carroll eran pedagógico-recreativas, y en este sentido lo que en él hay es claridad en la exposición, y no novedad en lo expuesto. Pero también podía haber expuesto con la misma claridad la nueva lógica que algunos de sus colegas estaban construyendo, Ahora bien: si en sus libros de lógica Carroll es tan sólo un agudo y divertido expositor de Un saber tradicional, otra cosa sucede con sus artículos. Si sus libros de lógica no contienen sino una lógica escolástica neurotizada, sus artículos, en cambio, plantean con sorprendente lucidez algunos problemas clave de la lógica contemporánea.
La paradoja de los tres peluqueros suscita el viejo problema de la llamada «implicación material» «si p, entonces q»), y la paradoja lógica a la que se refiere el titulo es precisamente una de las paradojas de la implicación material: una proposición falsa implica cualquier proposición. Ex falso sequitur quodlibet.
Por su parte, el debate entre Aquiles y la Tortuga es una historia con moraleja lógica. La moraleja es que es necesario distinguir entre leyes lógicas y reglas lógicas de inferencia. Una ley lógica es, por ejemplo, ésta:
[(p → q) · -q] →-p
Una regla de inferencia —la que corresponde justamente a la ley que acabamos de transcribir— sería: «Si tomamos como premisa un condicional y la negación de su consecuente, podemos inferir la negación del antecedente como conclusión». Las leyes pertenecen al lenguaje, son expresiones del cálculo. Las reglas, por el contrario, son expresiones sobre las expresiones del cálculo: pertenecen al metalenguaje. Una expresión como «( A) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si» pertenece al lenguaje (al lenguaje de la geometría de Euclides, concretamente). Una expresión como «(C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera» pertenece al metalenguaje. No se puede, como pretende el ágil Aquiles, dar el salto de la una a la otra. Aquiles no distingue entre lenguaje y metalenguaje. La Tortuga, sí, y por eso tortura a Aquiles hasta el infinito.
Una vez más, Carroll dijo cosas importantes sin darles importancia.
Ahora bien: si nos atenemos exclusivamente a sus libros de lógica no podemos decir que Carroll haya contribuido a ese avance. Verdad es que sus intereses eran tan sólo didácticos. Pero verdad es también que en sus libros de lógica no hay sino «una claridad más acabada en la exposición y un añadido de sutilezas divertidas». Y en ello conviene insistir tanto más cuanto que en nuestro país —por increíble que ello pueda parecer— hay todavía quien piensa que la lógica formal se divide en concepto, juicio y raciocinio. No vaya a ser que alguien piense que la lógica de Carroll es toda la lógica.
Sabido es que durante muchos siglos la lógica «oficial» —a pesar de los estoicos, a pesar de los lógicos del siglo XIV, a pesar de Leibniz, a pesar de muchos otros— ha sido la silogística aristotélica. O —para ser más exactos y no ofender la memoria de Aristóteles— una silogística ,aristotélica empobrecida y petrificada. Una lógica que estudia sólo diecinueve silogismos es una lógica canija.
Una lógica que estudia sólo diecinueve silogismos y pretende encima que se trata de las únicas formas posibles de razonamiento deductivo es una lógica ridícula. Hoy sabernos que en la mente humana hay muchas más posibilidades deductivas que las que han podido soñar los embalsamadores de Aristóteles. A partir del siglo XIX la lógica ha experimentado un progreso acelerado que ha convertido la silogística aristotélica en un pequeño conjunto de teoremas de la lógica cuantificacional de primer orden monádica (o de la lógica de clases, a elegir). Esto no quita genialidad a Aristóteles, pero en cambio quita la razón a quienes le han hecho el menguado favor de proclamarse discípulos suyos. Todo lo que había de propiamente lógico en la lógica escolástica ha quedado incorporado, como unas gotas de agua en un mar, a la lógica en su forma actual. El resto es metafísica o psicología, lo cual no tiene nada de malo, pero tampoco tiene nada de lógico-formal.
En los sesenta y tres años que median entre The Mathematical Analysis of Logic (1847) de George Boole y los Principia Mathematica (1910-13) de Whitehead y Russell la lógica se desarrolló con más rapidez de la que estamos teniendo nosotros al contarlo. En la medida en que la historia de una ciencia puede ser descrita citando una serie de fechas, cabe decir que 1879 es la fecha decisiva en la historia contemporánea de nuestra disciplina. Esa es, en efecto, la fecha en que Frege publica su Begriffsschrift, el primer sistema completo de lógica moderna, en el que la lógica de términos —de tradición aristotélica— y la lógica de proposiciones ——de tradición megárico-estoica—, que hasta entonces se habían considerado como dos lógicas distintas e incluso incompatibles, aparecen articuladas como dos distintos apanados de una lógica única. Russell, Gilbert, Lukasiewicz, Carnap, Tarski, Gödel son sólo los nombres de algunos de los autores que en el transcurso de pocas décadas han contribuido a la construcción de un nuevo edificio de la lógica, de una lógica reestructurada y renovada, organizada ahora de un modo coherente y abierta constantemente a nuevos desarrollos; una lógica, por añadidura, desde la cual está siendo posible entender el sentido de toda la historia de la lógica y recuperar autores y hallazgos olvidados; una lógica, en definitiva, constituida ya en ciencia formal, como pueda serlo la matemática.
La vieja lógica, fuente del desprestigio de los lógicos entre los científicos, ha quedado triturada o incorporada.
Lo que a veces se llama «lógica matemática», «logística», etcétera, es simplemente la lógica formal misma, la lógica sin más, la única. La dialéctica es otra cosa: una filosofía quizá un embrión de ciencia. La lógica escolástica es también otra cosa: una momia con la que se especula (en el doble sentido de la palabra “especular”).
Pues bien: Lewis Carroll era contemporáneo de todos esos progresos en el desarrollo de la lógica. Contemporáneos ,suyos eran Boole, De Morgan, Peirce, Frege, etcétera.
Pase que no tuviera noticia de Frege. Al fin y al cabo, Frege era alemán, y ya se sabe que el Canal de la Mancha es una frontera cultural difícilmente franqueable. El propio Russell no supo de Frege hasta muy tarde. Pero Book De Morgan vivían y escribían cerca de Carroll, a veces en las mismas revistas que éste. De los libros lógicos de Carroll están ausentes esos nuevos desarrollos. Ya hemos dicho que las intenciones de Carroll eran pedagógico-recreativas, y en este sentido lo que en él hay es claridad en la exposición, y no novedad en lo expuesto. Pero también podía haber expuesto con la misma claridad la nueva lógica que algunos de sus colegas estaban construyendo, Ahora bien: si en sus libros de lógica Carroll es tan sólo un agudo y divertido expositor de Un saber tradicional, otra cosa sucede con sus artículos. Si sus libros de lógica no contienen sino una lógica escolástica neurotizada, sus artículos, en cambio, plantean con sorprendente lucidez algunos problemas clave de la lógica contemporánea.
La paradoja de los tres peluqueros suscita el viejo problema de la llamada «implicación material» «si p, entonces q»), y la paradoja lógica a la que se refiere el titulo es precisamente una de las paradojas de la implicación material: una proposición falsa implica cualquier proposición. Ex falso sequitur quodlibet.
Por su parte, el debate entre Aquiles y la Tortuga es una historia con moraleja lógica. La moraleja es que es necesario distinguir entre leyes lógicas y reglas lógicas de inferencia. Una ley lógica es, por ejemplo, ésta:
[(p → q) · -q] →-p
Una regla de inferencia —la que corresponde justamente a la ley que acabamos de transcribir— sería: «Si tomamos como premisa un condicional y la negación de su consecuente, podemos inferir la negación del antecedente como conclusión». Las leyes pertenecen al lenguaje, son expresiones del cálculo. Las reglas, por el contrario, son expresiones sobre las expresiones del cálculo: pertenecen al metalenguaje. Una expresión como «( A) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si» pertenece al lenguaje (al lenguaje de la geometría de Euclides, concretamente). Una expresión como «(C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera» pertenece al metalenguaje. No se puede, como pretende el ágil Aquiles, dar el salto de la una a la otra. Aquiles no distingue entre lenguaje y metalenguaje. La Tortuga, sí, y por eso tortura a Aquiles hasta el infinito.
Una vez más, Carroll dijo cosas importantes sin darles importancia.