Se trata de un problema de geometría algebraica pasada por el tamiz de la teoría de números. Geometría algebraica porque tiene que ver con curvas algebraicas: conjuntos de soluciones de un polinomio f(x,y) en dos variables. Teoría de números porque se pide estudiar las soluciones racionales de las mismas (y los coeficientes del polinomio son también racionales).
Las curvas algebraicas se clasifican según su género, siendo las más sencillas las de género cero o curvas racionales. Estas tienen o bien ninguna o bien infinitas soluciones racionales y el criterio para distinguir unas de otras fue establecido en 1890 por Hilbert y Hurwitz. Por ejemplo, de las dos siguientes ecuaciones una tiene infinitas soluciones racionales y la otra ninguna (demuéstralo!):
x 2 + y 2 = 1.
x 2 + y 2 = 3.
Para las de género dos o más, Faltings demostró en 1983 que el número de soluciones racionales es siempre finito. Eso implica, por cierto, que la ecuación de Fermat
x n + y n = 1
tiene un número finito de soluciones racionales para cada número natural n>2. (El famoso Último Teorema de Fermat, enunciado por Fermat en el siglo XVII y demostrado por Wiles en 1994, afirma que ese número es dos si n es impar y cuatro si n es par...)
Queda por tanto por demostrar un criterio que distinga qué curvas de género 1 (también llamadas elípticas) tienen infinitas soluciones racionales y cuáles tienen un número finito. Y decimos demostrar, porque "conocerse" se conoce. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer relaciona el carácter infinito o finito del número de soluciones racionales de una curva algebraica elíptica
Las curvas algebraicas se clasifican según su género, siendo las más sencillas las de género cero o curvas racionales. Estas tienen o bien ninguna o bien infinitas soluciones racionales y el criterio para distinguir unas de otras fue establecido en 1890 por Hilbert y Hurwitz. Por ejemplo, de las dos siguientes ecuaciones una tiene infinitas soluciones racionales y la otra ninguna (demuéstralo!):
x 2 + y 2 = 1.
x 2 + y 2 = 3.
Para las de género dos o más, Faltings demostró en 1983 que el número de soluciones racionales es siempre finito. Eso implica, por cierto, que la ecuación de Fermat
x n + y n = 1
tiene un número finito de soluciones racionales para cada número natural n>2. (El famoso Último Teorema de Fermat, enunciado por Fermat en el siglo XVII y demostrado por Wiles en 1994, afirma que ese número es dos si n es impar y cuatro si n es par...)
Queda por tanto por demostrar un criterio que distinga qué curvas de género 1 (también llamadas elípticas) tienen infinitas soluciones racionales y cuáles tienen un número finito. Y decimos demostrar, porque "conocerse" se conoce. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer relaciona el carácter infinito o finito del número de soluciones racionales de una curva algebraica elíptica