HOLA TARINGUEROS, VAMOS A HABLAR DE LOS LOGARITMOS ESA BELLA OPERACIÓN QUE NOS ENSEÑARON EN LA ESCUELA SECUNDARIA, SE ACUERDAN??? NO SCROLLEEN, LEAN Y APRENDAN AMIGOS.
¿QUÉ SIGNIFICA ESTA FUNCIÓN Y PARA QUÉ SIRVE?
Completemos un poco mas la función para entender a qué nos referimos.
y ahora me van a decir y ¿qué quiere decir eso?, está en chino. NO, es super facil si tenés una noción básica de potenciación.
Significa que el logaritmo en base "b" de un numero "x" es igual a "n" (o sea estamos definiendolo)"si y solo si" "b" elevado a la "n" es igual a "x" o sea que no hablamos de otra cosa más que la operacion de potenciación encubierta, guauuu
La base "b" es por definición siempre positiva
veamos entonces un par de ejemplos a ver si terminamos de entender el concepto
pues
pues
pues
Entonces ya aprendimos pero yo creo que se les viene a la cabeza
¿CUÁL ES LA DIFERENCIA CON LA POTENCIACIÓN?
La diferencia radica en que en la potenciación estoy calculando el resultado de la potencia, en cambio en la logaritmación lo que estoy calculando es el "exponente", o sea lo que tengo que encontrar como resultado es el exponente de la potenciación.
¿Y PARA QUÉ QUIERO CALCULAR UN EXPONENTE?
La importancia del logaritmo es que simplifica operaciones, tiene las importantes propiedades que bajan en un nivel a las operaciones aritméticas generales. Veamos eso:
1) El logaritmo del producto es la suma de los logaritmos de los factores (convirtió la multiplicación en suma) o sea
Aunque parezca una pavada es algo muy importante, imaginen en la antigüedad lo importante de poder simplificar operaciones.
2) El logaritmo de la división es (SÍ ADIVINARON) la "resta" del logaritmo del dividendo con el logaritmo del divisor (convirtió la división en resta) o sea
3) El logaritmo de la potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base (convirtió potenciación en producto) o sea
4) Y por último el logaritmo de la raiz enésima de un número es (SÍ, OBVIAMENTE), la división entre el logaritmo del radicando y el índice o sea
Bueno entonces conocimos la operación logaritmación y su importancia en los cálculos, vayamos a lo que nos compete en el post, ¿qué pasa con los logaritmos de números negativos?
Pensándolo con la definición misma sería
O sea tengo que encontrar un exponente tal que elevado a la base b me dé un número negativo, siendo b "positiva", como vemos eso es imposible, veamos algunos casos:
1)
Esto no podemos hacerlo, es imposible (después veremos que no), pues 3 elevado a ningún número da como resultado -81, siempre el resultado es positivo.
2)
Esto tampoco puede resolverse porque "e" elevado a ningún número da como resultado "-e" (el valor "e" es el número irracional 2,718281828459.. que es la base del logaritmo natural o neperiano, el famoso ln)
PEROOOOOOOO, ACÁ VIENE EL MARAVILLOSO MATEMÁTICO EULER A SALVARNOS CON SU MARAVILLOSA Y BELLA IDENTIDAD, CON USTEDES
O LO QUE ES LO MISMO
ES MAS BELLA LA PRIMERA DE LAS DOS EXPRESIONES PUES RELACIONA A LAS 5 CONSTANTES MATEMÁTICAS MAS FAMOSAS:
BUENO PERO CÓMO CALCULAMOS UN LOGARITMO NEGATIVO CON ESTO, SIMPLE, OBSERVEMOS
Aplicamos logaritmo en la segunda expresión de la "identidad de Euler" y nos quedaría algo así (usamos de ejemplo, logaritmo en base e, o sea ln)
usando la propiedad 3) que vimos antes nos quedaría:
y el ln(e) es fácil de resolver porque por definición es encontrar un número al que elevar a la base (que es e) para que nos dé el número e, es evidente que este resultado es 1. Entonces nos queda que:
Buenísimo tengo un logaritmo de un número negativo, pero solo de -1
¿Cómo hago si quiero encontrar por ejemplo el ln(-10)?
Usando las propiedades que nombramos mas arriba, particularmente la 1)
Entonces tenemos que el ln(-10) es el número complejo (ahhh ahí estaba la trampa)
REPETIMOS: El resultado es un número complejo (los explicaremos mejor en algún futuro post)...
Esto se puede generalizar a cualquier base y cualquier número negativo, vamos a ver un ejemplo más a ver si terminamos de entender. Cuando no se usa el logaritmo natural la expresión queda un poco mas fea por que no se elimina el logaritmo de la parte izquierda, sino que se arrastra, veamos:
Perfecto, exactamente igual que en las anteriores, acá la diferencia es cómo calcular lo haremos con la "IDENTIDAD DE EULER" aplicando log en base dos nuevamente nos queda:
Entonces ya tenemos la expresión para lo que buscabamos, reemplazando en la primera operación nos quedaría:
que es nuevamente un número complejo!!!
LA FORMA DE CALCULAR OTROS LOG DE NUMEROS NEGATIVOS ES EXACTAMENTE IGUAL A ESTA
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS FINALES YA RESUELTOS, PARA QUE VEAN LA SIMILITUD:
BUENO HEMOS APRENDIDO A CALCULAR LOGARITMOS DE NÚMEROS NEGATIVOS, SI LLEGASTE A LEER TODOS, TE FELICITO SOS PARTE DEL GRUPO QUE ME MOTIVA A OCUPAR TANTO TIEMPO HACIENDO ESTA CLASE DE POST, RECOMIENDEN EL POST AGREGUEN A FAV Y SI LES SOBRA DEN ALGUN PUNTILLO QUE ME MOTIVE A SEGUIR BRINDANDO MIS CONOCIMIENTOS PARA EL BIEN COMÚN Y PODER APRENDER UN POCO CON SUS COMENTARIOS.
PD. SI NECESITAN ALGUNA EXPLICACIÓN POR FAVOR HAGAN LAS PREGUNTAS QUE QUIERAN O SI ENCONTRARON ALGÚN ERROR TAMBIÉN AVISEN ASÍ LO REVEO.
Saludossss....