Aprendé Límites sin salir del post:

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.


Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x^2 en el punto x0 = 2.







Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición|x − x0| < δ , se cumple que |f(x) − L| < ε.










Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a − δ, a) , entonces |f (x) − L| < ε .



Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a, a + δ), entonces |f (x) - L| <ε .




El límite de una función en un punto si existe, es único.

Caso 1:






El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.


Caso 2:








Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

Limites infinitos


Límite infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.














Límite menos infinito


Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Límite de una raíz

Estas indicaciones no son operaciones propiamente dichas, sino simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.

Debemos tener claro que infinito no es un número.
No distinguimos entre +∞ y −∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:
La regla de los signos y que a-n = 1/a n



Infinito más un número



Infinito más infinito


Infinito menos infinito

Productos con infinito

Infinito por un número

Infinito por infinito

Infinito por cero

Cocientes con infinito y cero

Un número partido por infinito



Infinito partido por un número



Cero partido por infinito



Infinito partido por cero



Cero partido por cero



Infinito partido por infinito

Potencias con infinito y cero

Cero elevado a cero



Infinito elevado a cero



Cero elevado a un número



Un número elevado a infinito



Cero elevado a infinito



Infinito elevado a infinito



Uno elevado a infinito





Cálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.



No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular , porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.


Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite no existe.

En x = −1, los límites laterales son:

Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:

Por la derecha:

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.


Cálculo de límites cuando x tiende ∞:

Para calcular el límite de una función cuando x → ∞ se sustituyen las x por ∞.

Límite de funciones polinómicas en el infinito

El límite cuando x → ∞ de una función polinómica es +∞ o −∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.

Ejemplos



Límite de la inversa de un polinomio en el infinito

Si P(x) es un polinomio, entonces:



Cálculo de límites cuando x → −∞






1.
2.
3.
4.

No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.




Límite de la función exponencial:


Caso 1: Si a > 0





Caso 2: Si 0 < a < 1




Ejemplos
1.
2.
3.
4.


Límite de la función logarítmica

Caso 1: Si a > 0




Caso 2: Si 0 < a < 1




Ejemplo

































Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.
En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

Tipos de indeterminación































Comparación de infinitos



es un infinito de orden superior a g(x) si:




2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si:




3. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:

• Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.
• Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.
• Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.
• Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.
• Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.
• Ejemplos Hallar los límites por comparación de infinitos:

1.

2.

3.






El límite puede ser +∞, −∞ o no tener límite.

Ejemplos

Calcular el límite:

Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞.
Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la izquierda como −1,1; tanto el numerador como denominador son negativos, por tanto el límite por la izquierda será: +∞.

Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la derecha como −0,9. El numerador será negativo y el denominador positivo, por tanto el límite por la derecha será: −∞.
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x → −1.
 





 
3.




Indeterminación infinito partido infinito

Para resolver resolver la indeterminación infinito partido infinito podemos utilizar uno de estos dos métodos:

1. Por comparación de infinitos

1. El numerador tiene mayor grado que el denominador.



2.El denominador tiene mayor grado que el numerador.



3.Numerador y denominador tienen el mismo grado.
Al tener el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de mayor grado.




2.


3.


4.


5.



2º Método

1. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.


2. Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.




Indeterminación infinito menos infinito

Para resolver la indeterminación ∞ − ∞ tenemos varios métodos:

1. Por comparación de infinitos










2. Con funciones racionales

Ponemos a común denominador, para llegar a la indeterminación ∞/∞.







3. Con funciones irracionales
Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado.






Indeterminación cero partido cero

Vamos a estudiar la indeterminación 0/0 en dos casos:

Caso 1. Función racional

Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.

1.


El límite es 0.
 
2.

Tomamos límites laterales:


No tiene límite en x = −1

Caso 2. Función con radicales

En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional.
Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.







Indeterminación cero por infinito

La indeterminación ∞ · 0 se transformaa en otras indeterminaciones como ∞/∞ o 0/0 , que ya hemos visto como se resuelven.



Ejemplo





Indeterminación uno elevado a infinito

Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e.



1er Método











Realizando la siguiente transformación:


Ejemplo