La paradoja de los gemelos (o paradoja de los relojes) es un experimento mental que analiza la distinta percepción del tiempo entre dos observadores con diferentes estados de movimiento.
Esta paradoja fue propuesta por Einstein al desarrollar lo que hoy se conoce como la teoría de la relatividad especial. Dicha teoría postula que la medida del tiempo no es absoluta, y que, dados dos observadores, el tiempo medido entre dos eventos por estos observadores, en general, no coincide,
sino que la diferente medida de tiempos depende del estado de movimiento relativo entre ellos. Así, en la teoría de la relatividad, las medidas de tiempo y espacio son relativas, y no absolutas, ya que dependen del estado de movimiento del observador. En ese contexto es en el que se plantea la paradoja.
Formulación de la paradoja
En la formulación más habitual de la paradoja, debida a Paul Langevin, se toma como protagonistas a dos gemelos (de ahí el nombre); el primero de ellos hace un largo viaje a una estrella en una nave espacial a velocidades cercanas a la velocidad de la luz; el otro gemelo se queda en la Tierra. A la vuelta, el gemelo viajero es más joven que el gemelo terrestre.
De acuerdo con la teoría especial de la relatividad, y según su predicción de la dilatación del tiempo, el gemelo que se queda en la Tierra envejecerá más que el gemelo que viaja por el espacio a gran velocidad (más adelante se prueba esto mediante cálculo) porque el tiempo propio del gemelo de la nave espacial va más lento que el tiempo del que permanece en la Tierra y, por tanto, el de la Tierra envejece más rápido que su hermano.
Pero la paradoja surge cuando se hace la siguiente observación: visto desde la perspectiva del gemelo que va dentro de la nave, el que se está alejando, en realidad, es el gemelo en la Tierra (de acuerdo con la Invariancia galileana)
y, por tanto, cabría esperar que, de acuerdo con los cálculos de este gemelo, su hermano en la Tierra fuese quien tendría que envejecer menos por moverse respecto de él a velocidades cercanas a la de la luz. Esto es, el gemelo de la nave es quien tendría que envejecer más rápido.
La paradoja quedaría dilucidada si se pudiese precisar quién envejece más rápido realmente y qué hay de erróneo en la suposición de que, de acuerdo con los cálculos del gemelo de la nave, es el gemelo terrestre quien envejece menos.
SOLUCIÓN DE LA PARADOJA SEGÚN LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPACIAL
A Einstein le costó aclarar esta paradoja unos cuantos años, hasta que formuló la relatividad general y demostró que, ciertamente, es el gemelo de la Tierra quien envejece más rápido.
Sin embargo, aunque Einstein resolvió la paradoja en el contexto de la relatividad general, la paradoja puede resolverse dentro de los límites de la teoría de la relatividad especial, como muestra este post.
Para dilucidar la aparente paradoja es necesario realizar los cálculos desde el punto de vista del gemelo que permanece en la Tierra y desde el punto de vista del gemelo viajero, y ver que las estimaciones de tiempo transcurrido coinciden examinadas desde ambos puntos de vista.
El cálculo desde el punto de vista del gemelo terrestre es rutinario y muy sencillo. El cálculo desde el punto de vista del gemelo viajero es más complejo porque requiere realizar cálculos en un sistema no inercial.
A continuación, se presentan las predicciones de la teoría aplicadas a ambos gemelos y se prueba que los resultados coinciden, demostrando que la aparente paradoja no es tal.
CÁLCULO SEGÚN EL GEMELO TERRESTRE
Las condiciones del experimento requieren que el gemelo viajero se aleje de la Tierra y más tarde regrese, lo cual necesariamente implica tener en consideración aceleraciones positivas y negativas. Simplificadamente, supondremos que el experimento puede llevarse a cabo en 5 etapas:
En el instante de tiempo t = 0 el gemelo viajero parte con "(pseudo)aceleración" (medida por el gemelo de la Tierra) w = F/m constante que lo aleja de ella. Se mueve aceleradamente entre los instantes medidos por el gemelo terrestre t = 0 y t = T1, llegando a la velocidad V.
Cuando el gemelo viajero llega a una velocidad V apaga los motores de su nave, y sigue alejándose de la Tierra, ahora a velocidad constante. Durante esta etapa comprendida entre los instantes t = T1 y t = T1+T2 el gemelo viajero se aleja de la Tierra a velocidad V.
Después de un tiempo viajando a velocidad uniforme el gemelo viajero pone en marcha los motores de su nave en sentido contrario y desacelera con la misma aceleración con la que aceleró, así transcurrido un tiempo de deceleración T1 (medido por el gemelo en la Tierra) la velocidad será nula, y transcurrido otro intervalo T1 la velocidad será -V (donde el signo negativo indica que la velocidad es en sentido contrario al que utilizó en su viaje de ida).
Una vez alcanzada la velocidad -V que hace que el gemelo viajero se aproxime a la Tierra de regreso con velocidad uniforme, el gemelo viajero permanece viajando aproximándose a la Tierra durante un intervalo de tiempo T2.
Finalmente, para poderse reencontrar con su gemelo en la Tierra, el gemelo viajero desacelera, hasta llegar a la Tierra en reposo, eso requiere una aceleración igual a las anteriores aplicada durante un intervalo de tiempo T1.
Por construcción la duración del viaje medido por el gemelo situado en la Tierra, es la suma de los tiempos de cada etapa, ya que hemos definido esas etapas a partir de lecturas del gemelo en la Tierra, para este gemelo la duración del viaje ha sido:
Ahora podemos comparar qué tiempo estima el gemelo de la Tierra que habrá medido su gemelo viajero. Para ello procedemos por etapas. En la primera etapa el tiempo que el gemelo de la Tierra estima ha transcurrido para el gemelo viajero, usando la relación entre la (pseudo)aceleración y la velocidad en un movimiento acelerado relativista, viene dado por:
Entre los instantes tiempo t = T1 y t = T1+T2 (medidos por el gemelo terrestre) la nave espacial se mueve con velocidad uniforme V por tanto:
Juntando los resultados anteriores, en el momento del encuentro de acuerdo con los cálculos del gemelo terrestre, él y su gemelo viajero habrán notado tiempos diferentes de viaje dados por:
Es sencillo comprobar que para cualesquiera valores de w, T1 y T2, el segundo tiempo es siempre menor que el primero: , y por tanto, según el gemelo terrestre él mismo envejecerá más que el gemelo viajero.
CÁLCULO SEGÚN EL GEMELO VIAJERO
Los cálculos en el sistema de referencia no inercial del gemelo viajero son más complicados, aunque conducen exactamente al mismo resultado anterior. Todo ello sin necesidad de salirse del ámbito de la teoría de la relatividad especial.
Para este cálculo introducimos las coordenadas asociadas al observador no inercial cuya relación con las coordenadas usadas por el gemelo terrestre es:
Durante la primera etapa del recorrido, el gemelo viajero está sometido a aceleración w. El tensor métrico, haciendo el cambio de coordenadas a las coordenadas asociadas a su sistema de referencia, es:
En este sistema de referencia el gemelo viajero está en reposo y el punto x = 0 se mueve según una geodésica:
A partir de las componentes del tensor métrico dado por (2) el único símbolo de Christoffel que no se anula es y las ecuaciones de movimiento del gemelo terrestre visto por el gemelo viajero resultan ser
Integrando las ecuaciones de movimiento del gemelo terrestre observado por el gemelo viajero viene dado por
on esas expresiones el tiempo propio, estimado por el gemelo viajero, para la duración medida por él mismo y por su gemelo terrestre resultan ser idénticas a las calculadas por el gemelo terrestre:
En la segunda etapa del viaje, el gemelo viajero pasa de nuevo a ser un observador inercial que se aleja con velocidad uniforme del gemelo terrestre. Sin embargo, aparece aquí un problema matemático con la elección de la métrica, y es que los requerimientos físicos implican que la métrica de un observador a lo largo de su trayectoria varía de manera continua sin saltos.
Eso implica que debemos escoger coordenadas adecuadas para la segunda etapa del viaje, que garanticen la continuidad de la métrica percibida por el gemelo viajero, para que nuestros cálculos tengan sentido. Una posible elección de la métrica en ese caso viene dada por
Finalmente para calcular la duración de la segunda etapa del viaje para ambos gemelos, pero haciendo los cálculos según el sistema de referencia del gemelo viajero, tenemos que seleccionar una forma de la métrica:
Estos resultados vuelven a coincidir con los cálculos que se hicieron desde el sistema inercial del gemelo viajero. Como todas las cantidades vuelven a ser idénticas se cumple de nuevo que
Esto aclara finalmente que:
Tanto según los cálculos y predicciones del sistema inercial del gemelo terrestre como los cálculos según el sistema no inercial del gemelo viajero, ambos concluirán que el gemelo terrestre es quien envejecerá más, ya que el tiempo medido durante el transcurso del viaje es mayor para él.
La paradoja puede ser resuelta dentro de la propia teoría de la relatividad especial, aunque se requiere el uso de sistemas inerciales y tener precauciones especiales para asegurar la continuidad de la métrica.
RESOLUCIÓN DE LA PARADOJA EN RELATIVIDAD GENERAL
Aunque la paradoja de los gemelos puede resolverse íntegramente dentro de la teoría especial de la relatividad, resulta interesante considerar el mismo problema desde el punto de vista de teoría de la relatividad general. Usando el enfoque de esa teoría más general, la parte del viaje en la que el gemelo viajero se mueve aceleradamente son percibidas por éste como si estuviera en el seno de un "campo gravitatorio efectivo" asociado a la aceleración,
de acuerdo con lo postulado por el principio de equivalencia. Este punto de vista está bien representado en la solución que ofreció Einstein de la paradoja en 1918 dentro del marco de la teoría general
Según el enfoque de la relatividad general la diferencia acumulada de tiempo entre los dos gemelos puede ser explicada mediante una dilatación gravitacional del tiempo.
De acuerdo con la relatividad general, la relación entre los tiempos propios acumulados por dos observadores situados en diferentes puntos de un campo gravitatorio estático puede representarse por:
Donde c es la velocidad de la luz y en la aproximación para campos gravitatorios débiles se puede identificar con el potencial gravitatorio clásico. Si ignoramos los efectos gravitatorios de la tierra y consideramos sólo los términos asociados a la aceleración del gemelo viajero podemos escribir la anterior ecuación como:
Donde a es la aceleración y d es una distancia efectiva entre los dos gemelos.
Es importante notar que aunque la solución anterior se llame resolución según la relatividad general de hecho se realiza mediante observadores acelerados tal como fueron definidos por Einstein en 1907 en el contexto del principio de equivalencia y por tanto básicamente es equivalente a la solución de la teoría de la relatividad especial.
De hecho, recientemente se ha probado que la solución de la relatividad general para campos gravitatorios homogéneos y estáticos y la solución de la teoría de la relatividad especial para aceleraciones finitas llevan a resultados idénticos
¿ No entendiste un carajo de nada no?
te lo explico como para un Taringuero nivel 3
En un manga no muy conocido llamado "World of Narue" se explica éste teoria cuando la hermana de la protagonista llega a la tierra desde el espacio.
sólo que acá se utiliza el termino "Urashima effect" (efecto Urashima) que es como se conoce en Japón a la teoría que da nombre a este post.
El ejemplo que se da para ilustrar ésta situación dice que si uno de dos bebés gemelos viajara en un cohete a la velocidad de la luz por un tiempo X
al regreso su hermano tendría varios años más que él/ella, mientras que él/ella sólo tendría un X tiempo más.
La más alta es la hermana menor y la otra seria la "mayor" , aunque en apariencia es lo contrario.
Los japoneses relacionaron esta idea del viajero que queda desplazado en el tiempo con la leyenda folklórika de Taro Urashima
Este chico era un pescador ermitaño que cierto día salva a una pequeña tortuga de unos chicos
y la devuelve al mar
Al día siguiente una tortuga más grande le comunica que en agradecimiento el Rey Dragón lo invitó a su castillo submarino
Al llegar Taro es recibido por la princesa Otohime, la cual se muestra muy atraída hacia él
Luego del banquete en su honor Taro pasa la noche en el palacio y a la mañana siguiente vuelve a encontrarse con la princesa en el jardín
Esta le pide que se quede junto a ella, pero Taro parte por Vergüenza de no ser de clase alta y parte por extrañar su simple hogar le pide que lo deje regresar a la superficie
La princesa le regala una caja cerrada fuertemente con una cuerda roja y le pide que nunca la abra, Al volver a su aldea Taro no encuentra su hogar, aunque si puede distinguir ciertas similitudes con su viejo pueblo
Al preguntarle a una anciana si sabe donde está la casa de Taro Urashima, ésta le responde que la abuela de su abuela una vez le contó sobre un tal Taro y su misteriosa desaparición hace ya 300 años
Confundido y triste Taro abre la caja que contenía sólo una niebla blanca; Al respirarla huele todos los aromas de su pueblo natal, pero termina transformado en un anciano
Por cierto, el titulo de el manga nombrado en el ejemplo de arriba está tomado de una renombrada novela de ciencia-ficción llamada "The World of Null-A"
titulo que en japonés se leería (Naruei) y ligeramente deformado suena "Narue"
El autor de ésta novela es E.A Van Vogt ( Van Gogh no boludo, Van VogT) un renombrado escritor canadiense, considerado el padre de la ciencia-ficción en ese país al igual que en Francia
En realidad Van Vogt realizó 3 novelas con este nombre:
The World of Null-A en 1948
The Pawns of Null-A en 1956
y Null-A 3 en 1984
La palabra "Null-A" a su vez es una contracción de "No Aristotelianismo" , un concepto que forma parte de la complicadísima teoría de las "Semánticas generales" creada por el conde Korzybsky
La base de ésta teoría es que uno no es la misma persona que fue ayer; al mismo tiempo que explora las relaciones que explora las relaciones que existen entre lo que sucede en nuestros pensamientos y lo que sucede en la realidad.
El protagonista de ésta novela, que justamente responde esas interrogantes es Gilbert Gosseyn
El cuál descubre que la memoria de lo que fue su vida es falsa y para rematarla muere poco después del principio
Al despertar nuevamente descubre que sus recuerdos y su personalidad cintunuán en uno de los muchos clones que existen de si mismo, es decir que de alguna forma des inmortal
Pero además de todo esto posee un segundo cerebro que le brinda poderes sobrenaturales. Al tratar de descubrir quien es en realidad, se ve envuelto en una conspiración que planea la conquista del planeta Tierra y Venus
Creo que es mejor parar acá ya que el argumento es demasiado complicado (y poco tiene que ver con el tema principal del post
) así que prosigamos...
EVIDENCIA EXPERIMENTAL
Velocidad de la luz desde la Tierra a la Luna, situada a más de 380.000 km.
Contrariamente a la idea más extendida, la paradoja no es el hecho de que un gemelo envejezca más rápido que el otro, sino en el razonamiento capcioso que sugería que los dos gemelos concluirían que es el otro quien envejecería más. Como se ha visto los cálculos de los dos gemelos concuerdan en que será el gemelo terrestre quien envejecerá más.
El hecho de que el tiempo transcurra de diferentes maneras para diferentes observadores, y que dos observadores puedan reencontrarse de nuevo en el mismo punto del espacio-tiempo habiendo envejecido uno menos que otro no constituye ninguna paradoja en teoría de la relatividad, sino que de hecho se trata de un hecho probado.
El experimento más claro que mostró el efecto de dilatación temporal no se llevó a cabo con un par de gemelos tal como hemos descrito sino con dos relojes idénticos. En 1971, J. C. Hafele y R. Keating, subieron varios relojes atómicos de cesio a bordo de aviones comerciales durante más de 40 horas y se comparó la lectura de estos con otro idéntico en Tierra sincronizado con el primero. El avión despegó e hizo un largo viaje, y aterrizó en el mismo punto de salida. Al comparar los dos relojes atómicos después del viaje, el del avión y el de la Tierra, ya no estaban sincronizados.
El reloj atómico que había volado estaba ligeramente retrasado (muy ligeramente pero medible con dichos relojes, la diferencia de tiempos era de unas pocas centésimas de milésima de millonésima de segundo). Tras descontar ciertos efectos gravitatorios secundarios, y asumiendo que no hubo ningún error de medida, lo cual se comprobó controlando las condiciones y repitiendo el experimento varias veces, se concluyó que la única explicación posible venía por la teoría de la relatividad de Einstein. Los datos publicados por la revista Science en 1972 relativos al experimento de Hafele-Keating, difieren según la dirección de vuelo, y resultaron ser:
Hoy en día existen otras explicaciones más avanzadas basadas en la física cuántica y la mecánica estadística según las cuales un objeto sometido a una aceleración centrípeta "envejece" más rápido debido a que sufre mayor número de interacciones por unidad de tiempo "consigo" mismo y su entorno. Por ejemplo ciertas partículas inestables tardan mucho más en desintegrarse cuando viajan a velocidades más altas, lo cual se interpreta como que en su sistema de referencia el tiempo propio transcurre más lentamente.
un video animado con la explicación.
un video Muy interesante para ver
