FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
1) Factor Común (o Primer Caso)
2) Factor Común en Grupos (o Segundo Caso)
3) Trinomio Cuadrado Perfecto (o Tercer Caso)
4) Cuatrinomio Cubo Perfecto (o Cuarto Caso)
5) Diferencia de Cuadrados (o Quinto Caso)
6) Sumas o Restas de Potencias de Igual Grado
(o Sexto Caso)
7) Trinomio de Segundo Grado (o Séptimo Caso)
8) Factoreo con Gauss
2) Factor Común en Grupos (o Segundo Caso)
3) Trinomio Cuadrado Perfecto (o Tercer Caso)
4) Cuatrinomio Cubo Perfecto (o Cuarto Caso)
5) Diferencia de Cuadrados (o Quinto Caso)
6) Sumas o Restas de Potencias de Igual Grado
(o Sexto Caso)
7) Trinomio de Segundo Grado (o Séptimo Caso)
8) Factoreo con Gauss
A continuación explicaré los dos primeros casos.
FACTOR COMÚN
En general el Caso se aplica cuando en todos los términos hay un "factor común". El factor común es "algo" (número, letras, una expresión algebraica) que está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). Y recordemos además que, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números que están multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras: "factor" y "común".
Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en todos los términos está multiplicando el número 2. En 5a + 7a + 4a, está el factor común "a"; porque en todos los términos está multiplicando la letra "a".
Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los términos puede haber números diferentes o letras con distinto exponente, y el factor común puede estar "oculto" entre ellos.
Por ejemplo:
Acá el factor común está "oculto":
¿Cómo se halla el factor común?
Sobre todo cuando son números grandes, nos conviene saber que el factor común que nos piden sacar entre ellos es el conocido MÁXIMO COMÚN DIVISOR o DIVISOR COMÚN MAYOR. A continuación se explica como hallar el MCD:
Primero descomponemos (o factorizamos) los números en sus factores primos, tomando como ejemplo los números 120 y 144:
120 / 2 ----- 144 / 2
60 / 2 ------ 72 / 2
30 / 2 ------ 36 / 2
15 / 3 ------ 18 / 2
5 / 5 ------ 9 / 3
1 / 1 ------- 3 / 3
------------- 1 / 1
60 / 2 ------ 72 / 2
30 / 2 ------ 36 / 2
15 / 3 ------ 18 / 2
5 / 5 ------ 9 / 3
1 / 1 ------- 3 / 3
------------- 1 / 1
120 = (2^3).3.5 144 = (2^4).(3^2)
Que es lo mismo que: Que es lo mismo que:
120 = 2.2.2.3.5 144 = 2.2.2.2.3.3
Mirando las descomposiciones del ejemplo precedente, se puede ver que:
El número 2 está en ambas descomposiciones, es común a 120 y a 144
El número 3 está en ambas descomposiciones, es común a 120 y a 144
El número 5 no está en ambas descomposiciones, solamente está en la descomposición del 120. Entonces, el 5 no es un factor que tengan en común ambos números.
Luego, el MCD se calcula multiplicando todos los factores que tienen en común ambos números (el 2 y el 3 en este caso), con el menor exponente con que aparecen en alguno de los números.
En el ejemplo, el número 2 aparece tres veces (2^3) en la descomposición de 120, y cuatro veces en la descomposición del 144 (2^4). La menor cantidad de veces que aparece el 2 es entonces tres veces. Por eso en el MCD ponemos 2^3.
En cambio el 3, aparece una sola vez en el 120 y dos veces en el 144: La menor cantidad, el menor exponente del 3 es una vez. Por eso en el MCD ponemos 3^1, que equivale a 3.
MCD = (2^3).3 = 2.2.2.3 = 8.3 = 24
Una vez identificado el factor común, dividimos a todos los términos por ese factor. La división entre números ya la conocemos. La división entre letras iguales (potencias de igual base) se hace restando los exponentes. Los números se dividen con los números, las letras con las letras iguales. Por ejemplo:
4a - 8b + 6c =
Ahí el factor común es 2, entonces dividimos todos los términos por 2.
El resultado de esa división es:
2a - 4b + 3c
Ahora colocamos paréntesis:
(2a - 4b + 3c)
Y multiplicamos por el factor común ( en este caso el 2):
2.(2a - 4b + 3c)
Y listo, ahora un ejemplo más difícil:
2(x^9) + (x^6) - 3(x^4)
Como vemos, los coeficientes (el número que multiplica a la variable, la variable es x) son 2, 1 y 3. El 2 y el 3 son números primos (divisibles por sí mismo y el uno), por lo tanto el factor común no se halla en los coeficientes. Sin embargo, vemos que en los tres términos hay x multiplicando, luego el factor común son las x. Entonces, debemos fijarnos en sus exponentes, la primer x está elevada a la novena (x^9), la segunda x a la sexta (x^6) y la última x elevada a la cuarta (x^4). Analizémoslo así:
x^9 = x.x.x.x.x.x.x.x.x = (x^4).(x^5)
x^6 = x.x.x.x.x.x = (x^4).(x^2)
x^4 = x.x.x.x = x^4
Bien, ahora es más fácil ver que el factor común es x^4, entonces reemplazamos:
2(x^5.x^4) + (x^4.x^2) - 3(x^4)
Dividimos:
2(x^5.x^4) + (x^4.x^2) - 3(x^4)
···------------ ··· ----------- ··· --------
······ (x^4) ······· (x^4) ······ (x^4)
Y nos queda:
2(x^5) + (x^2) - 3
Colocamos paréntesis:
(2(x^5) + (x^2) - 3)
Y multiplicamos por el factor común (en este caso x^4):
(x^4).(2(x^5) + (x^2) - 3)
Y listo. El factor común es nada más ni nada menos que la recíproca (o inversa) de la propiedad distributiva para la suma y la resta.
FACTOR COMÚN EN GRUPOS
El caso se llama así porque se toman grupos de términos, para sacar el factor común entre ellos. A veces no hay un factor común para todos los términos, pero si lo hay para algunos términos entre sí. Ejemplo:
4a + 4b + xa + xb
En este caso, analizamos primero los términos en busca de un posible factor común. Como vemos el primer término es 4a, el segundo es 4b, en ambos se encuentra el 4 multiplicando, pero en el tercer término xa y el cuarto xb, el 4 no se encuentra. Así como también en el tercer y cuarto término aparece la x, pero no en el primero y el segundo, por lo tanto no se puede sacar factor común. Así que lo que vamos a hacer es agrupar los términos colocando paréntesis:
(4a + 4b) + (xa + xb)
Ahora, ya no tenemos un solo polinomio, tenemos dos polinomios que se están sumando. Entonces podemos sacar factor común, dividimos:
(4a + 4b) + (xa + xb)
-----··------····----··----
··4·······4·······x······x
El resultado:
(a + b) + (a + b)
Ahora multiplicamos:
4.(a + b) + x.(a + b)
Y a continuación el paso final. El factor (a + b) se encuentra en ambos términos, entonce hacemos esto: como a y b son constantes ( o sea algún número pero que no varía), su suma es igual a algún otro número (otra constante), digamos c (solo sabemos que c vale a + b) y lo reemplazamos:
4.c + x.c
Y ahora es más facil ver que c es el factor común. Entonces dividimos:
4.c + x.c
----···----
··c······c
Nos queda:
4 + x
Colocamos paréntesisis:
(4 + x)
Multiplicamos:
c.(4 + x)
Y por último reemplazamos c, sabiendo que c = (a + b)
(a + b).(4 + x)
Y listo. En resumen:
4a + 4b + xa + xb =
4.(a + b) + x.(a + b) =
(a + b).(4 + x)
Ahora bien, no siempre se puede aplicar este caso. Para eso el polinomio debe cumplir una serie de requisitos:
1) El número de términos debe ser par: 4 términos, 6 términos, 8 términos... (Para que se puedan armar grupos de igual cantidad de términos).
2) En todos los grupos que armemos tienen que haber Factor Común entre los términos que agrupamos (con un caso excepcional).
3) Los "resultados" de sacar Factor Común en los distintos grupos deben dar iguales, o con los mismos términos desordenados y/u opuestos (con signo contrario).
Otros ejemplos:
EJEMPLO 2: (Resultado desordenado)
4a + 4b + xb + xa =
4.(a + b) + x.(b + a) =
4.(a + b) + x.(a + b) =
(a + b).(4 + x)
EJEMPLO 3: (Con términos negativos)
4a - 4b + xa - xb =
4.(a - b) + x.(a - b) =
(a - b).(4 + x)
EJEMPLO 4: (Con términos negativos y Resultado desordenado)
4a - 4b - xb + xa =
4.(a - b) + x.(-b + a) =
4.(a - b) + x.(a - b) =
(a - b).(4 + x)
EJEMPLO 5: (Resultados opuestos)
4a - 4b - xa + xb =
4.(a - b) + x.(-a + b) =
Acá prestamos atención. Sabemos que (-1).(-1) = 1, entonces
4.(a - b) + x.(-a + b) =
4.(a - b) + x.(-a.(-1).(-1) + b.(-1).(-1)) =
Sacamos factor común -1 y nos queda:
4.(a - b) + x.(-1).(-a.(-1) + b.(-1))=
4.(a - b) - x.(a - b) =
(a - b).(4 - x)
EJEMPLO 6: (Resultados "opuestos" y "desordenados"
4a - 4b + xb - xa =
4.(a - b) + x.(b - a) =
4.(a - b) - x.(-b + a) =
4.(a - b) - x.(a - b) =
(a - b).(4 - x)
EJEMPLO 7: (Todos los términos son negativos)
-4a - 4b - xa - xb =
-4.(a + b) - x.(a + b) =
(a + b).(-4 - x)
EJEMPLO 8: (Agrupando términos no consecutivos)
4(x^2)a + 3y + 12ax + yx =
4(x^2)a + 12ax + 3y + yx =
4ax.(x + 3) + y.(3 + x) =
4ax.(x + 3) + y.(x + 3) =
(x + 3).(4ax + y)
EJEMPLO 9: (Polinomio de 6 términos)
4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz =
a.(4 - 7x2 + y) + z.(4 - 7x2 + y) =
(4 - 7x2 + y).(a + z)
EJEMPLO 10: (Cuando parece que no se puede aplicar el caso, pero se puede)
4x3 - 4x2 + x - 1 =
4x2.(x - 1) + x - 1 =
4x2.(x - 1) + 1.(x - 1) =
(x - 1).(4x2 + 1)
Y eso fue todo. Gracias por pasar.
