Para explicar el tema trigonometria , lo mejor que se puede hacer es arrancar a explicarlo mediante un sistema de ejes cartesianos. Sabiendo que:
▬ Su vértice es el eje de coordenadas
▬ Está generado por la rotación de una semirrecta con origen (0;0) . Puede realizar mas de un giro completo
▬ Es positivo cuando esta generado en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj ( anti-horario) y negativo cuando esta generado en sentido horario
▬ Para referise a su ubicación , consideramos el plano cartesiano dividido en 4 sectores (cuadrantes)
▬ Medición de ángulos:
Trabajaremos con el sistema sexagesimal (grados,minutos y segundos) y el sistema circular.
Recordar que la relación entre ellos es que 180°= π y 360°= 2π
▬ Razones trigonométricas de un ángulo agudo:
A partir de un ángulo α construimos un triángulo rectángulo y nos referimos a sus catetos según su posición relativa al ángulo α
Viendo la imagen sabemos que A = Hipotenusa
B y C = Catetos
Definimos las razones trigonométricas seno,coseno y tangente de α con las siguientes fórmulas:
Estas razones, dependen sólo del ángulo α y no de las medidas de los lados del triángulo construido y se pueden obtener con la calculadora científica.
Recordando otras fórmulas más útiles:
Otras fórmulas importantes para que despejes:
Sen^2 α + cos^2 α = 1
Despejando podemos obtener sen α o cos α
Cos α = raiz de 1 - sen^2 α
Sen α = raiz de 1 - cos^2 α
- Tabla para calcular ángulos:
Analisando :
▬ El valor máximo de la función es 1 y el mínimo es -1
▬ El conjunto imágen del intervalo es [ -1,1]
▬ Como los valores que toma la función se repiten ciclicamente cada 2Π , se cumple que sen(x+2Π) = sen x , por eso la función seno es periódica , su periodo es 2Π
Analisando :
▬ El valor máximo de la función es 1 y el mínimo es -1
▬ El conjunto imágen del intervalo es [ -1,1]
▬ Como los valores que toma la función se repiten ciclicamente cada 2Π , se cumple que cos(x+2Π) = cos x , por eso la función seno es periódica , su periodo es 2Π
▬ Ejercicios para resolver:
1) Determinar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones
a) Sen(x) = cos(x)
b) |sen (x)| = |cos(x)|
c) 2sen(x) = cosec(x)
d) tg(β) = 3cotg(β)
e) tg(β) + cotg(β) = 2/cos(β)
f) sen^2(x) = cos^2(x)
g) tg(Ф) . sen(Ф) - sen(Ф) = 0
2) Calcular el valor exacto sin calculadora
a) sen(3/4) . Л =
b) Sec 300°
c) cos(2/3) Л
d) tg 210°
e) cosec 225°
f) cotg (-135°)
3) Problemas ( aplicar identidades trigonométricas y pitágoras)
a) Un señor que esta en la calle ve un edificio de 45 m bajo un ángulo de elevación de 60° otro más alejado lo ve bajo un ángulo de elevación de 40° ¿ Cual es la distancia entre ellos?
b) Determinar la altura de un arbol si el ángulo de elevación a su parte superior cambia de 30° a 60° cuando el observador avanza a 20m hacia la base de este
c) Desde la ventana de un edificio de oficinas, se vpe una torre de televisión que está a 600 m de distancia (horizontalmente . El ángulo de elevación del extremo superior de la torre es de 19,6° y el ángulo de depresión de la base de la torre es de 21° 18´ ¿Que altura tiene la torre?
d) Dos fuerzas de intensidad 190 kg y 330 kg actuan sobre un cuerpo, formando un ángulo de 70° entre sí. La de mayor intensidad forma con la resultante un ángulo de 30°. Halle la intensidad de la resultante
e) Un avión se eleva según un ángulo de elevación de 40° 30´ ¿A que distancia de su punto de partida se encuentra la cuidad sobre la que está volando a una altura de 11.000 m?
▬ Su vértice es el eje de coordenadas
▬ Está generado por la rotación de una semirrecta con origen (0;0) . Puede realizar mas de un giro completo
▬ Es positivo cuando esta generado en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj ( anti-horario) y negativo cuando esta generado en sentido horario
▬ Para referise a su ubicación , consideramos el plano cartesiano dividido en 4 sectores (cuadrantes)
▬ Medición de ángulos:
Trabajaremos con el sistema sexagesimal (grados,minutos y segundos) y el sistema circular.
Recordar que la relación entre ellos es que 180°= π y 360°= 2π
▬ Razones trigonométricas de un ángulo agudo:
A partir de un ángulo α construimos un triángulo rectángulo y nos referimos a sus catetos según su posición relativa al ángulo α
Viendo la imagen sabemos que A = Hipotenusa
B y C = Catetos
Definimos las razones trigonométricas seno,coseno y tangente de α con las siguientes fórmulas:
Estas razones, dependen sólo del ángulo α y no de las medidas de los lados del triángulo construido y se pueden obtener con la calculadora científica.
Recordando otras fórmulas más útiles:
Otras fórmulas importantes para que despejes:
Sen^2 α + cos^2 α = 1
Despejando podemos obtener sen α o cos α
Cos α = raiz de 1 - sen^2 α
Sen α = raiz de 1 - cos^2 α
- Tabla para calcular ángulos:
▬ Función seno:
La función F(x) = sen x , cuyo dominio es IR (todos los reales), asigna a cada número real el seno de ese número. Para representarla , se puede dividir la circuferencia de radio 1 en doce parter iguales y determinar los valores (Π/6 , Π/4 , Π/2 etc) luego se trazan los segmentos asociados a esos valores y se transladan como muestra la figura. La curva hallada es una senoidal
Analisando :
▬ El valor máximo de la función es 1 y el mínimo es -1
▬ El conjunto imágen del intervalo es [ -1,1]
▬ Como los valores que toma la función se repiten ciclicamente cada 2Π , se cumple que sen(x+2Π) = sen x , por eso la función seno es periódica , su periodo es 2Π
▬ Función coseno:
La función F(x) = cos x , cuyo dominio es IR (todos los reales), asigna a cada número real el coseno de ese número. Para representarla , se puede dividir la circuferencia de radio 1 en doce parter iguales y determinar los valores (Π/6 , Π/4 , Π/2 etc) luego se trazan los segmentos asociados a esos valores y se transladan como muestra la figura. La curva hallada es una cosenoidal
Analisando :
▬ El valor máximo de la función es 1 y el mínimo es -1
▬ El conjunto imágen del intervalo es [ -1,1]
▬ Como los valores que toma la función se repiten ciclicamente cada 2Π , se cumple que cos(x+2Π) = cos x , por eso la función seno es periódica , su periodo es 2Π
▬ Función tangente:
▬ Funciónes inversas:
▬ Ejercicios para resolver:
1) Determinar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones
a) Sen(x) = cos(x)
b) |sen (x)| = |cos(x)|
c) 2sen(x) = cosec(x)
d) tg(β) = 3cotg(β)
e) tg(β) + cotg(β) = 2/cos(β)
f) sen^2(x) = cos^2(x)
g) tg(Ф) . sen(Ф) - sen(Ф) = 0
2) Calcular el valor exacto sin calculadora
a) sen(3/4) . Л =
b) Sec 300°
c) cos(2/3) Л
d) tg 210°
e) cosec 225°
f) cotg (-135°)
3) Problemas ( aplicar identidades trigonométricas y pitágoras)
a) Un señor que esta en la calle ve un edificio de 45 m bajo un ángulo de elevación de 60° otro más alejado lo ve bajo un ángulo de elevación de 40° ¿ Cual es la distancia entre ellos?
b) Determinar la altura de un arbol si el ángulo de elevación a su parte superior cambia de 30° a 60° cuando el observador avanza a 20m hacia la base de este
c) Desde la ventana de un edificio de oficinas, se vpe una torre de televisión que está a 600 m de distancia (horizontalmente . El ángulo de elevación del extremo superior de la torre es de 19,6° y el ángulo de depresión de la base de la torre es de 21° 18´ ¿Que altura tiene la torre?
d) Dos fuerzas de intensidad 190 kg y 330 kg actuan sobre un cuerpo, formando un ángulo de 70° entre sí. La de mayor intensidad forma con la resultante un ángulo de 30°. Halle la intensidad de la resultante
e) Un avión se eleva según un ángulo de elevación de 40° 30´ ¿A que distancia de su punto de partida se encuentra la cuidad sobre la que está volando a una altura de 11.000 m?