La mente más maravillosa del siglo XX o viajar en el tiempo
“Si voy a mi oficina es únicamente para tener el privilegio de volver luego a casa paseando con Gödel”
Albert Einstein (1879-1955), físico germano-estadounidense
El universo de Gödel o métrica de Gödel es una solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general, propuesta por Kurt Gödel en 1949. Describe un tipo de universo o espacio-tiempo homogéneo lleno de materia pulverulenta en rotación.
Aunque no parece que el universo de Gödel describa un tipo de universo similar al nuestro, el trabajo de Gödel supuso un gran estímulo en la investigación teórica de búsqueda de soluciones exactas más complejas que las examinadas hasta entonces, caracterizadas por un muy alto grado de simetría. Más tarde Gödel generalizó su modelo para hacerlo compatible con la expansión del universo.
El universo sin materia se denomina substratum. Los modelos cosmológicos estándares cumplen el Principio Cosmológico, por el cual el substratum se asume perfectamente homogéneo e isótropo en todo momento. Un universo de este tipo es inestable y se expande.
El modelo cosmológico de Gödel es homogéneo pero no es isótropo y logra evitar la expansión, es estacionario pero rota de forma rígida a un velocidad menor que la velocidad de la luz en el vacío. Un universo rotante que viola el principio de Mach, la materia que contiene puede rotar o no hacerlo, pero compatible con la relatividad general.
Lo más sorprendente de este universo es que permite curvas espaciotemporales cerradas. Un observador que se mueva suficientemente rápido, más que la velocidad de rotación del universo (que es menor que la velocidad de la luz) puede retornar al pasado (en el tiempo de su reloj propio). Uno mismo puede volver a su propio pasado y suicidarse. Paradójico.
Esta violación de la causalidad nos indica que este universo no es realizable físicamente. La gran crítica de Einstein al modelo de su amigo Gödel. Sin embargo, Gödel se defendió alegando que las curvas espaciotemporales tienen un radio mínimo y los cálculos indican que es enorme. Se requeriría un tiempo desmesurado para poder regresar al pasado. En la práctica nadie puede vivir lo suficiente para lograrlo.
Los físicos que no conozcan el modelo cosmológico de Gödel agradecerán (y entenderán) su métrica dada por
Como vemos, la velocidad (lineal) de rotación (Omega) es menor que la velocidad de la luz (c), donde a es el radio del universo. Este universo está caracterizado por una constante cosmológica negativa (Lambda) y una curvatura (K) también negativa. Es un universo que rota en el mismo sentido que crece la variable phi. ¿Qué distribución de materia conduce a este universo? Un gas de “polvo” modelado por un fluido perfecto pero sin presión.
La contribución de Gödel a la Festschrift de Einstein (publicación que celebra el cumpleaños de algo o alguien) es un universo sin sentido pero compatible con la teoría de Einstein, que nos recuerda que una solución matemática de unas ecuaciones físicamente correctas no es necesariamente realizable físicamente. Un universo con un reloj absoluto, con un centro y un eje de rotación, un universo al fin y al cabo que no es más que un regalo de cumpleaños para hacer pensar a Einstein sobre su propia teoría. El regalo que solo un genio de la talla de Gödel podía ofrecer a Einstein.
¿Te resulta muy técnico el trabajo de Carlos? Un resumen breve. El teorema de incompletitud de Gödel, básicamente, es equivalente a la paradoja del mentiroso: “Esta frase es falsa.” Si es verdadera, es falsa. Si es falsa, es verdadera.
La frase es simultáneamente verdadera y falsa. Gödel toma una teoría T consistente (todo lo que se puede demostrar a partir de ella es verdad) y completa (todo lo verdadero se puede demostrar a partir de ella) y un teorema en dicha teoría, G, autorreferencial que afirma que “G no se puede demostrar usando la teoría T.” Si G se pudiera demostrar con los axiomas y las reglas de inferencia de T, entonces G es un teorema demostrable en T, pero entonces se contradice a sí mismo y es falso, por lo que T no puede ser una teoría consistente. Si T es consistente, entonces G es verdad y no se puede demostrar en T, es decir, T no es completa. En este sentido G es verdad pero indemostrable. La teoría T debe ser incompleta, hay afirmaciones verdaderas que no son demostrables.
En general, en toda teoría habrá afirmaciones verdaderas (nadie sabe si todas serán autorreferenciales) que no son demostrables. Más aún, habrá infinitas verdades no demostrables, ya que añadir cualquier verdad no demostrable a la teoría conducirá a una nueva teoría con nuevas verdades indemostrables. El poder de lo autorreferente.
Quién era esta persona a la que Einstein tenía en tanta estima? Pues únicamente el lógico más brillante desde Aristóteles, muy posiblemente la mente más preclara del siglo XX, y sin ningún género de dudas una de las personas que cambió nuestra concepción de la realidad. Mucho más joven que Einstein, Kurt Gödel era de los pocos a los que el gran maestro de Ulm consideraba entre sus iguales, y ciertamente se encontraba entre los muy pocos con el empaque intelectual para permitirse darle la réplica en sus legendarias conversaciones sobre física y matemáticas. Gödel compartía con Einstein su genialidad y su oposición a las líneas de pensamiento dominantes en la época. Al igual que la Teoría de la Relatividad demolió la idea de un espacio y un tiempo independientes, absolutos, e inmutables, sus Teoremas de Incompletitud cambiaron el rumbo de la filosofía y las matemáticas, demostrando la inherente inaprehensibilidad del concepto de verdad matemática absoluta y completa. Y al igual que Einstein se alejó de la mayoría de comunidad física al oponerse a la teoría cuántica como modelo final del Cosmos, Gödel hizo lo propio al aferrarse a sus ideas platónicas sobre las matemáticas.
La vida de Gödel nunca fue simple, empezando por la relación afectiva con la que se convertiría en su mujer (que contó con la oposición de la familia de Gödel), continuando por la anexión de Austria por la Alemania Nazi (que motivaría finalmente su huida cuando estalló la Segunda Guerra Mundial), y terminando con el deterioro de su salud mental en sus últimos años en los EE.UU. De esta última época se cuentan historias acerca de sus temores paranoicos (que finalmente acabarían por causarle la muerte por inanición), pero prefiero quedarme con la genial anécdota de su nacionalización estadounidense.
Siendo alguien que se tomaba las cosas realmente en serio, aunque se pudiera tratar de meras formalidades, decidió estudiar en detalle la Constitución de los EE.UU. para su examen de nacionalización. El día antes del mismo llamó a Oskar Morgenstern -brillante matemático de origen alemán, padre de la Teoría de Juegos- muy nervioso; había descubierto una inconsistencia lógica en la Constitución por la que se podía instaurar una dictadura en los EE.UU. Morgenstern intentó calmarle, temeroso de las consecuencias que un comentario sobre eso podría tener sobre sus posibilidades de nacionalizarse. Al día siguiente el propio Morgenstern y Einstein acompañaron a Gödel, intentando distraerle para que olvidara el asunto. El juez Philip Forman, impresionado por el dúo de genios que hacían de padrinos les permitió quedarse durante el examen. En el desarrollo del mismo le pregunto a Gödel “Vd. tenía la nacionalidad alemana hasta ahora, ¿no?” -“Austriaca” le corrigió Gödel; “Es igual” -prosiguió el juez- “aquello fue durante una horrible dictadura, pero afortunadamente eso no puede pasar aquí“; “¡De ninguna manera, yo puedo demostrarle que sí!” afirmó Gödel, que comenzó a explicarle el mecanismo que había descubierto. Afortunadamente, el juez Forman le interrumpió, y Einstein y Morgenstern consiguieron calmar a Gödel, que poco más tarde juraría su nueva nacionalidad. Es aún un misterio qué fue lo que Gödel había descubierto. Algunos expertos apuntan que podría tratarse del Artículo V que describe cómo se cambia la Constitución, pero no pone límites en dichos cambios, aunque es difícil creer que fuera algo tan relativamente simple lo que hubiera llamado la atención de Gödel.
La fascinación de Gödel por el pensamiento puro le llevó a analizar lo que el consideraba la cuestión filosófica por excelencia: el tiempo. Su conclusión fue, como casi todo en él, extrema pero sólida en sus términos. Para Gödel el tiempo -tal como intuitivamente se entendía, con su noción de pasado y futuro- no existía. Esta idea general la plasmó en una solución a las ecuaciones de campo de Einstein que no daba lugar a un universo estático (como Einstein erróneamente postulaba inicialmente), ni a un universo en expansión (como Lemaître descubrió, de manera consistente con la observación), sino a un universo en rotación en el que era posible viajar al pasado, lo que elimina la propia noción de pasado y futuro. Y si había un universo en el que esto era así (aunque no fuera el nuestro), el papel del tiempo se derruía, ya que dejaba de ser necesario en términos absolutos, y para Gödel lo que no era necesario, no era.
Kurt Gödel murió en 1978. Fue uno de esos genios irrepetibles cuya inteligencia desbordante alumbra el Universo, y que no aparecen todos los siglos. Gödel dejó de estar entre nosotros, pero como Palle Yourgrau sentenció, “en un sentido profundo, todos vivimos en el Universo de Gödel”.
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