Los relojes nunca fueron exactos y es tremendamente difícil hacer uno exacto. ¿Por qué?
Existen muchos problemas relacionados con los péndulos, sin embargo estos no dejan de ser aparatos interesantes. Mediante un péndulo es posible demostrar la aceleración de Coriolis , calcular el valor de la aceleración de la gravedad o incluso demostrar la rotación de la tierra .
A pesar de esto, los péndulos también son cuerpos, y por ende, sufren las consecuencias de la acción de fuerzas no conservativas ( la fricción de la cuerda que los sostiene y la fricción contra el aire son las dos fuerzas que nos afectan).
Y por si no fuera suficiente, los péndulos tienen un período de oscilación que depende del ángulo de la amplitud que tiene su movimiento.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Consideremos el modelo de un péndulo ideal, aquel que no es interferido por otras fuerzas, donde la masa de la cuerda que sostiene a la masa que oscilará es nula.
Si la pesa con masa m se desvía de modo que la cuerda forme un ángulo α con la vertical, entonces, de acuerdo a la ley de la conservación de la energía,
donde v es la velocidad de la masa y g es la aceleración de la gravedad.
Si tenemos en cuenta únicamente las oscilaciones pequeñas respecto a la posición de equilibrio, podemos considerar que la longitud s del arco que describe la pesa cuando se desvía en un ángulo pequeño θ satisface la relación s = lθ$. Siendo así tenemos
y de la ecuación (1) llegamos a la ecuación diferencial
Puesto que θ decrece con el aumento de t (para valores pequeños de t), la ecuación (2) puede escribirse de la forma
Si T es el período de las oscilaciones del péndulo, entonces
O bien
Y tal como podremos notar en la fórmula (3), el período de las oscilaciones del péndulo depende del ángulo α. Este hecho es pues, la causa principal por la que el reloj de péndulo no es exacto, pues, en la práctica, cada vez que la masa alcanza la posición extrema el ángulo es diferente de α.
PERO ORLANDO, YO ME PERDÍ DESDE
Ah! Bueno, no te angusties, a mi no me aparece todo mágicamente. Verás:
Cuando nos queremos aproximar al valor del seno de un ángulo, para valores del ángulo muy, muy pequeños, la longitud del arco (s) es muy parecido al valor del seno del ángulo sin(α), por eso se da la igualdad.
¿Y CÓMO SACASTE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL (2)?
Si te fijas en la fórmula (1) tenemos una igualdad generada por el principio de la conservación de la energía, cosa que no te puedo explicar en este post. Si recuerdas que la velocidad es la derivada de la posición con respecto del tiempo, entonces recordarás la ecuación
La cual dice básicamente que en un intervalo de tiempo muy pequeño, la posición del cuerpo cambia un poco su posición, y que esta posición es realmente un desplazamiento a través del arco (s).
Por eso, juntando esas dos ecuaciones, se llega a la ecuación diferencial (2).
¿ENTONCES QUÉ?
Bueno, con esto estás demostrando matemáticamente que no existe una posibilidad, aunque sea remota, de tener un reloj de péndulo exacto.
¿Es posible hacer que el movimiento de un péndulo o de un movimiento armónico simple sea exacto, o sea, que no dependa del ángulo de oscilación del movimiento?
SI, es posible, pero eso te lo explico en otro post, el post de mañana.
Mientras recuerda lo que te digo en este post y de sobra sabes que tus dudas, comentarios y demás cosas curiosas como un gif divertido es bienvenido en los comentarios.
Muchas gracias!
REFERENCIAS
-Amelkin, Vladimir Vasílievich, Ecuaciones Diferenciales en la Práctica. Editorial URSS, 2003. ISBN 5-354-00443-8.
-Halliday, Resnker, Fundamentals of Physics. Wiley.
Existen muchos problemas relacionados con los péndulos, sin embargo estos no dejan de ser aparatos interesantes. Mediante un péndulo es posible demostrar la aceleración de Coriolis , calcular el valor de la aceleración de la gravedad o incluso demostrar la rotación de la tierra .
A pesar de esto, los péndulos también son cuerpos, y por ende, sufren las consecuencias de la acción de fuerzas no conservativas ( la fricción de la cuerda que los sostiene y la fricción contra el aire son las dos fuerzas que nos afectan).
Y por si no fuera suficiente, los péndulos tienen un período de oscilación que depende del ángulo de la amplitud que tiene su movimiento.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Consideremos el modelo de un péndulo ideal, aquel que no es interferido por otras fuerzas, donde la masa de la cuerda que sostiene a la masa que oscilará es nula.
Si la pesa con masa m se desvía de modo que la cuerda forme un ángulo α con la vertical, entonces, de acuerdo a la ley de la conservación de la energía,
donde v es la velocidad de la masa y g es la aceleración de la gravedad.
Si tenemos en cuenta únicamente las oscilaciones pequeñas respecto a la posición de equilibrio, podemos considerar que la longitud s del arco que describe la pesa cuando se desvía en un ángulo pequeño θ satisface la relación s = lθ$. Siendo así tenemos
y de la ecuación (1) llegamos a la ecuación diferencial
Puesto que θ decrece con el aumento de t (para valores pequeños de t), la ecuación (2) puede escribirse de la forma
Si T es el período de las oscilaciones del péndulo, entonces
O bien
Y tal como podremos notar en la fórmula (3), el período de las oscilaciones del péndulo depende del ángulo α. Este hecho es pues, la causa principal por la que el reloj de péndulo no es exacto, pues, en la práctica, cada vez que la masa alcanza la posición extrema el ángulo es diferente de α.
PERO ORLANDO, YO ME PERDÍ DESDE
Ah! Bueno, no te angusties, a mi no me aparece todo mágicamente. Verás:
Cuando nos queremos aproximar al valor del seno de un ángulo, para valores del ángulo muy, muy pequeños, la longitud del arco (s) es muy parecido al valor del seno del ángulo sin(α), por eso se da la igualdad.
¿Y CÓMO SACASTE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL (2)?
Si te fijas en la fórmula (1) tenemos una igualdad generada por el principio de la conservación de la energía, cosa que no te puedo explicar en este post. Si recuerdas que la velocidad es la derivada de la posición con respecto del tiempo, entonces recordarás la ecuación
La cual dice básicamente que en un intervalo de tiempo muy pequeño, la posición del cuerpo cambia un poco su posición, y que esta posición es realmente un desplazamiento a través del arco (s).
Por eso, juntando esas dos ecuaciones, se llega a la ecuación diferencial (2).
¿ENTONCES QUÉ?
Bueno, con esto estás demostrando matemáticamente que no existe una posibilidad, aunque sea remota, de tener un reloj de péndulo exacto.
¿Es posible hacer que el movimiento de un péndulo o de un movimiento armónico simple sea exacto, o sea, que no dependa del ángulo de oscilación del movimiento?
SI, es posible, pero eso te lo explico en otro post, el post de mañana.
Mientras recuerda lo que te digo en este post y de sobra sabes que tus dudas, comentarios y demás cosas curiosas como un gif divertido es bienvenido en los comentarios.
Muchas gracias!
REFERENCIAS
-Amelkin, Vladimir Vasílievich, Ecuaciones Diferenciales en la Práctica. Editorial URSS, 2003. ISBN 5-354-00443-8.
-Halliday, Resnker, Fundamentals of Physics. Wiley.