Geometría euclidiana
La geometría euclidiana, euclídea o parabólica es el estudio de las propiedades geométricas de los espacios euclídeos. Es aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides.
También es común (abusando del lenguaje) decir que una geometría es euclidiana si no es no euclidiana, es decir, si en dicha geometría se verifica el quinto postulado de Euclides. Ésta denominación está cada vez más en desuso, debido a la pérdida de interés que va teniendo el tema de la posibilidad de trazar paralelas a una recta desde un punto exterior a la misma.
En ocasiones los matemáticos usan las expresiones geometría euclídea o geometría euclidiana para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia son sinónimos de geometría plana o de geometría clásica.
- Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides , en su libro , dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente —desde Arquímedes hasta —.
- Según la contraposición entre método sintético y , la geometría euclidiana sería, precisamente, el estudio por métodos sintéticos de los invariantes de un real de dimensión 3 dotado de un muy concreto (el frecuentemente denominado «producto escalar habitual»).
- Según la filosofía del (propuesto por el matemático ), la geometría euclídea sería el estudio de los invariantes de las en un ( real de dimensión finita, dotado de un ), al aplicarles transformaciones ortogonales.
Geometría plana
La geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos están contenidos en un . La geometría plana está considerada parte de la geometría euclídea, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.
Axiomas[]
Portada de Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.
Postulados[]
Artículo principal: Euclides planteó cinco en su sistema:
Dados dos se puede trazar una que los une.Cualquier puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.Se puede trazar una con centro en cualquier punto y de cualquier radio.Todos los son .Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos (ver ).Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:
5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única a la recta dada.Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras, incluido el propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la , también llamada geometría de o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la o de (existen varias rectas paralelas que pasen por un punto exterior a una dada).
Limitaciones[]
Euclides asumió que todos sus o axiomas eran autoevidentes y por tanto hechos que no requerían demostración. Sin embargo, resultó que el quinto postulado —si bien es compatible con los otro cuatro— en cierto modo es independiente. Es decir, tanto el quinto postulado como la negación del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatro postulados. Las geometrías donde el quinto postulado no es válido se llaman .
Una limitación del trabajo de Euclides fue no reconocer la posibilidad de sistemas geométricos perfectamente consistentes donde el quinto axioma no era válido, es decir, para Euclides y los geómetras posteriores hasta el siglo XVIII pasó inadvertida la posibilidad de geometrías no euclidianas, hasta el trabajo de , Gauss y .
Si bien durante el siglo XIX se consideró a las geometrías no euclidianas un artefacto matemáticamente interesante e incluso con cierto interés práctico pero limitado, como es el caso de la usada en astronomía, en cierto modo se admitió que la geometría del espacio físico era euclidiana y, por tanto, las geometrías no euclidianas eran tan sólo un artificio abstracto útil para ciertos problemas, pero en modo alguno descripciones realistas del mundo. Sin embargo, el trabajo de Albert Einstein hizo ver que entre las necesidades de la física moderna están las geometrías no euclidianas para describir, por ejemplo, el espacio-tiempo curvo .
Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados más:
- Dos circunferencias cuyos centros estén separados por una distancia menor a la suma de sus radios, se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construcción).
- Dos triángulos con dos lados iguales y los ángulos comprendidos también iguales, son congruentes (afirmación equivalente al concepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir explícitamente).
En la comunidad matemática de habla hispana no están unificados los criterios acerca del uso de los adjetivos «euclidiano» y «euclídeo». Así, algunos autores asignan significados específicos a cada uno de estos términos, sirviéndose de ellos para distinguir entre conceptos matemáticos diferentes; mientras que otros hacen uso exclusivo, ya sea de uno o del otro, en todos sus trabajos. Esta dualidad de criterios no se presenta en el idioma inglés, donde solo existe el término euclidean.
Aunque desde el punto de vista lingüístico ambas formas tienen el mismo significado: hacer referencia a algo perteneciente o relativo al matemático griego Euclides , la Real Academia Española solo adopta como correcta la palabra «euclidiano», mientras que no recoge «euclídeo».
Véase también[]
- . Contenido relacionado con Matemática .
- . Contenido relacionado con Geometría .