Factorizar o Factorear significa "transformar en multiplicación" (o "producto", como también se le llama a la multiplicación). Partimos de una expresión formada por sumas y/o restas de términos (x2 + 3x + 2 por ejemplo), y llegamos a una expresión equivalente, pero que es una multiplicación ( (x + 2).(x + 1) en nuestro ejemplo).
FACTOR COMÚN (PRIMER CASO).
sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, para sacar esto hay una regla, en mi opinión reglas como estas deberían haber para todos los casos de factorizacion hace que las cosas sean mucho mas sencillas, la regla es la siguiente: Cuadrado del primer termino màs o menos cuadrado del segundo por el primero màs cuadrado del segundo, no hay que olvidar que los dos son positivos iguales funcionan como el primer termino, teniendo claro esto es muy fácil solucionar este primer caso.
FACTOR COMÚN EN GRUPOS (SEGUNDO CASO)
Se llama factor común por agrupación de términos si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo, Cuando pueden reunirse en grupos de igual numero de términos se le saca a cada uno de ellos el factor común, si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se le saca a este grupo como factor común quedando así una multiplicasion de polinomios, tratar desde un principio que queden iguales los términos de los paréntesis eso hará mas sencillo resolver el problema.
Ejercicios:
Algunos ejercicios del segundo caso son:
17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)
= (17x +3y +7z)(a – m)
m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1]
= (x + 2)(m + 3 – 1)
m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) . = (x + 2)(m + 3 -1)
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TERCER CASO)
Un trinomio se reconoce como "trinomio cuadrado perfecto" si dos de sus términos son cuadrados perfectos, es decir, cada uno es el resultado de elevar una expresión al cuadrado y el otro término es el doble producto de dichas expresiones (sin elevar al cuadrado).
“El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de tres términos: el primero es el cuadrado del primer término, el segundo es el doble del producto de dos números y el tercero es el cuadrado del segundo número.”
Ejercicios:
1) a^2 -2ab +b^2 = (a -b)^2
– Raíz cuadrada de a^2 = a ; raíz cuadrada de b^2 = b
–> el binomio es: (a -b)
Por lo tanto (a-b)(a-b) = (a -b)^2 <– Solución
2) a^2 +2ab +b^2 = (a +b)^2
Raíz cuadrada de a^2 = a ; raíz cuadrada de b^2 = b
–> el binomio es: (a +b)
Por lo tanto (a+b)(a+b) = (a +b)^2 <– Solución
3) x^2-2x+1 = (x -1)^2
Raíz cuadrada de x^2 = x ; raíz cuadrada de 1 = 1
–> el binomio es: (x -1)
Por lo tanto (x-1)(x-1) = (x -1)^2 <– Solución.
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO (CUARTO CASO)
Se reconocen los cubos perfectos, calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las bases, Luego calculo:
el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda, el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segundo, Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado, Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases.
DIFERENCIA DE CUADRADOS (QUINTO CASO)
Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.
EJEMPLO 1: (Fácil)
x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
x 3
Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".
EXPLICACIÓN:
Es una resta de dos términos que son cuadrados (¿qué es un cuadrado?):
Para factorizar estos polinomios, lo que se hace es dividirlos, utilizando la Regla de Ruffini, utilizando para ello un divisor que surge del siguiente esquema:
x2 es el cuadrado de x
9 es el cuadrado de 3
1) "Bajo las bases", como hacía en el Tercer Caso. Las bases son: x y 3
(¿qué son las bases?). Esto es simplemente una anotación, y no forma parte de la factorización. Pero es mejor ponerlo, para que el profesor vea que entendemos lo que estamos haciendo.
2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El resultado de la factorización es entonces:
(x + 3).(x - 3) SUMA POR RESTA DE LAS BASES
Es decir: "Las bases sumadas, multiplicado por la bases restadas".
SUMAS O RESTAS DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO (SEXTO CASO)
Este método se usa cuando se tiene un binomio en el cual ambos miembros están elevados a la misma potencia, Para factorizar estos polinomios, lo que se hace es dividirlos, utilizando la Regla de Ruffini, utilizando para ello un divisor que surge del siguiente esquema:
EJEMPLOS
1) P(x) = x5 + 25 como el exponente es IMPAR y el signo POSITIVO, el divisor será(x + 2).
x5 + 0 x4 + 0 x3 + 0 x2 + 0 x + 32 completamos el polinomio para aplicar Ruffini.
2) P(x) = x3 + 23 como el exponente es IMPAR y el signo NEGATIVO, el divisor será (x - 2).
x3 + 0 x2 + 0 x – 8 completamos el polinomio para aplicar Ruffini.
3) R(x) = x4 - 24 como el exponente es PAR y el signo NEGATIVO, los divisores serán
(x - 2) y (x – 2). X4 + 0 x3 + 0 x2 + 0 x – 16 completamos el polinomio para aplicar Ruffini,
Independiente del orden en el cual usemos los dos divisores el resultado será el mismo, para mostrar esto hare los dos caminos posibles, pero cuando ustedes resuelvan sus ejercicios deben elegir uno solo de los caminos.
TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO (SÉPTIMO CASO)
En una variable al igualar a cero se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual ya lo habían resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros cálculos.
Como una función representa en la geometría analítica, la ecuación de una parábola, y ésta tiene aplicaciones en la física, al describir la trayectoria de un móvil lanzado; como también en el diseño de los faros de un auto.
El cálculo del área subtendida por un sector parabólico, fue realizado por Arquímedes en época anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del cálculo integral, luego retomado por Fermat, Newton y Leibnitz, en la época moderna.
EJEMPLO 1: (Un primer ejemplo)
x2 + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)
x1,2 =
a = 1
b = 3
c = 2
x1,2 =
x1 = (con la suma)
x2 = (con la resta)
x1 = -1
x2 = -2
a.(x - x1).(x - x2)
1.(x - (-1)).(x - (-2)) = (x + 1).(x + 2)
FACTOR COMÚN (PRIMER CASO).
sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, para sacar esto hay una regla, en mi opinión reglas como estas deberían haber para todos los casos de factorizacion hace que las cosas sean mucho mas sencillas, la regla es la siguiente: Cuadrado del primer termino màs o menos cuadrado del segundo por el primero màs cuadrado del segundo, no hay que olvidar que los dos son positivos iguales funcionan como el primer termino, teniendo claro esto es muy fácil solucionar este primer caso.
FACTOR COMÚN EN GRUPOS (SEGUNDO CASO)
Se llama factor común por agrupación de términos si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo, Cuando pueden reunirse en grupos de igual numero de términos se le saca a cada uno de ellos el factor común, si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se le saca a este grupo como factor común quedando así una multiplicasion de polinomios, tratar desde un principio que queden iguales los términos de los paréntesis eso hará mas sencillo resolver el problema.
Ejercicios:
Algunos ejercicios del segundo caso son:
17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)
= (17x +3y +7z)(a – m)
m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1]
= (x + 2)(m + 3 – 1)
m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) . = (x + 2)(m + 3 -1)
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TERCER CASO)
Un trinomio se reconoce como "trinomio cuadrado perfecto" si dos de sus términos son cuadrados perfectos, es decir, cada uno es el resultado de elevar una expresión al cuadrado y el otro término es el doble producto de dichas expresiones (sin elevar al cuadrado).
“El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de tres términos: el primero es el cuadrado del primer término, el segundo es el doble del producto de dos números y el tercero es el cuadrado del segundo número.”
Ejercicios:
1) a^2 -2ab +b^2 = (a -b)^2
– Raíz cuadrada de a^2 = a ; raíz cuadrada de b^2 = b
–> el binomio es: (a -b)
Por lo tanto (a-b)(a-b) = (a -b)^2 <– Solución
2) a^2 +2ab +b^2 = (a +b)^2
Raíz cuadrada de a^2 = a ; raíz cuadrada de b^2 = b
–> el binomio es: (a +b)
Por lo tanto (a+b)(a+b) = (a +b)^2 <– Solución
3) x^2-2x+1 = (x -1)^2
Raíz cuadrada de x^2 = x ; raíz cuadrada de 1 = 1
–> el binomio es: (x -1)
Por lo tanto (x-1)(x-1) = (x -1)^2 <– Solución.
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO (CUARTO CASO)
Se reconocen los cubos perfectos, calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las bases, Luego calculo:
el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda, el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segundo, Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado, Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases.
DIFERENCIA DE CUADRADOS (QUINTO CASO)
Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.
EJEMPLO 1: (Fácil)
x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
x 3
Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".
EXPLICACIÓN:
Es una resta de dos términos que son cuadrados (¿qué es un cuadrado?):
Para factorizar estos polinomios, lo que se hace es dividirlos, utilizando la Regla de Ruffini, utilizando para ello un divisor que surge del siguiente esquema:
x2 es el cuadrado de x
9 es el cuadrado de 3
1) "Bajo las bases", como hacía en el Tercer Caso. Las bases son: x y 3
(¿qué son las bases?). Esto es simplemente una anotación, y no forma parte de la factorización. Pero es mejor ponerlo, para que el profesor vea que entendemos lo que estamos haciendo.
2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El resultado de la factorización es entonces:
(x + 3).(x - 3) SUMA POR RESTA DE LAS BASES
Es decir: "Las bases sumadas, multiplicado por la bases restadas".
SUMAS O RESTAS DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO (SEXTO CASO)
Este método se usa cuando se tiene un binomio en el cual ambos miembros están elevados a la misma potencia, Para factorizar estos polinomios, lo que se hace es dividirlos, utilizando la Regla de Ruffini, utilizando para ello un divisor que surge del siguiente esquema:
EJEMPLOS
1) P(x) = x5 + 25 como el exponente es IMPAR y el signo POSITIVO, el divisor será(x + 2).
x5 + 0 x4 + 0 x3 + 0 x2 + 0 x + 32 completamos el polinomio para aplicar Ruffini.
2) P(x) = x3 + 23 como el exponente es IMPAR y el signo NEGATIVO, el divisor será (x - 2).
x3 + 0 x2 + 0 x – 8 completamos el polinomio para aplicar Ruffini.
3) R(x) = x4 - 24 como el exponente es PAR y el signo NEGATIVO, los divisores serán
(x - 2) y (x – 2). X4 + 0 x3 + 0 x2 + 0 x – 16 completamos el polinomio para aplicar Ruffini,
Independiente del orden en el cual usemos los dos divisores el resultado será el mismo, para mostrar esto hare los dos caminos posibles, pero cuando ustedes resuelvan sus ejercicios deben elegir uno solo de los caminos.
TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO (SÉPTIMO CASO)
En una variable al igualar a cero se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual ya lo habían resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros cálculos.
Como una función representa en la geometría analítica, la ecuación de una parábola, y ésta tiene aplicaciones en la física, al describir la trayectoria de un móvil lanzado; como también en el diseño de los faros de un auto.
El cálculo del área subtendida por un sector parabólico, fue realizado por Arquímedes en época anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del cálculo integral, luego retomado por Fermat, Newton y Leibnitz, en la época moderna.
EJEMPLO 1: (Un primer ejemplo)
x2 + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)
x1,2 =
a = 1
b = 3
c = 2
x1,2 =
x1 = (con la suma)
x2 = (con la resta)
x1 = -1
x2 = -2
a.(x - x1).(x - x2)
1.(x - (-1)).(x - (-2)) = (x + 1).(x + 2)