Pitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotona, al sur de Italia, que tuvo numerosos seguidores. Se llamaban a sí mismos matemáticos (matematikoi), vivían en el seno de esta sociedad de forma permanente, no tenían posesiones personales y eran vegetarianos
Sus máximas pueden sintetizarse como:
que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática;
que la filosofía puede usarse para la purificación espiritual;
que el alma puede elevarse para unirse con lo divino;
que ciertos símbolos son de naturaleza mística;
que todos los miembros de la hermandad deben guardar absoluta lealtad y secretismo.
Los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros. Este evento marca el descubrimiento de los números irracionales, si bien a la época, sólo podía entenderse en términos de inconmensurabilidad de magnitudes [números] «enteras», o «proporciones geométricas». Un método de aproximación (aproximación diofántica) posiblememente desarrollado por Arquitas, utiliza el algoritmo de Euclides, y está presente en Los Elementos.
aca les dejo una demostracion
por el teorema de pitagoras el valor de la diagonal es raiz de dos de un cuadrado de lados unitarios
Para probarlo procedemos por contradiccion, vamos a suponer que raiz de dos se escribe como un cociente de enteros,
ademas, que la fraccion es irreducible es decir no tiene factores en comun
sabemos que un numero es par si
e impar si
arreglando la ecuacion nos queda
es decir, m al cuadrado es par
analizando las posibilidades de m, sabemos que puede ser par o impar
si m es impar
entonces el cuadrado es impar
si m es par
entonces el cuadrado es par, esto nos dice que
luego
que es el mismo caso que el de m, por lo tanto, n tambien es par lo cual viola nuestra suposicion de que m y n no poseían factores en comun, absurdo.