Aplicando el teorema de Rolle, demostrar que la ecuación cúbica no puede tener más de una raíz en el intervalo , cualquiera que sea el valor de
resolución: primero vamos a recordar el teorema de Rolle, este dice que si es continua en su dominio, derivable en , y , entonces existe al menos un tal que .
Recordemos que el contrapositivo de una implicacion material es y tiene la misma tabla de verdad, entonces mantiene la validez.
El contrapositivo del teorema de Rolle es: no existe un tal que , entonces
Derivamos el polinomio cúbico y lo igualamos a cero
Supongamos ,
entonces , , y (por Rolle contrapositivo), entonces para
Por lo tanto, puede haber como mucho una tal que