MASA, AMORTIGUADOR Y RESORTE
Si tenemos que:
m = 1 kg
B = 2 Ns/m
k = 2 N/m
NOTA: la primer derivada de x lo colocamos como x' la segunda derivada como x''(lo mismo con todas las variables)
Entonces tenemos que sumar todas las fuerzas. La fuerza del resorte se suma con la fuerza del amortiguador y con la fuerza que ejerce la masa. Esta fuerza total es igual a la fuerza u.
Para obtener la fuerza del amortiguador se deriva el desplazamiento "y" y se multiplica por el valor del amortiguador:
By' = fB
Para obtener la fuerza del resorte se multiplica el desplazamiento por el valor del resorte:
ky = fk
y finalmente la fuerza de la masa; es masa por aceleracion, y la aceleracion se obtiene con la segunda derivada del desplazamiento, entoces:
my'' = fm
Ahora se suman todas las fuerzas y se igualan con u(t):
fm + fB + fk = u
sustituyendo las fuerzas queda de la siguiente forma:
my'' + By' + ky = u
Esta ecuacion se encuentra en el dominio del tiempo, por lo tanto no se puede factorizar "y" debido a las derivadas. Por lo que es nesesario pasar la ecuacion al dominio de la frecuencia, usando la transformada de Laplace.
A continuacion se muestra un formulario:
la formula que usaremos es la de Diferenciacion en t.
por lo tanto las transformadas de Laplace quedarian asi:
y'' = s^2 Y(s) - s f(0) - f'(0)
y' = s Y(s) - f(0)
y = Y(s)
en donde f(0) son las condiciones iniciales del sistema, que por lo general son siempre iguales a cero. Por lo tanto la ecuacion:
my'' + By' + ky = u
quedaria asi:
m s^2 Y(s) + B s Y(s) + k Y(s) = U(s)
si factorizamos Y(s) :
Y(s) (m s^2 + B s + k ) = U(s)
y ahora sustituimos los valores de m, B y k:
Y(s) ( 1 s^2 + 2 s + 2 ) = U(s)
Y la funcion de trasferencia es igual a la salida dividida entre la entrada, que en este caso es el desplazamiento entre la fuerza de entrada, es decir Y(s) / U(s)
Y(s) / U(s) = 1 / ( s^2 + 2 s + 2 )
si quieren conocer la respuesta del sistema se despeja el desplazamiento:
Y(s) = U(s) / ( s^2 + 2 s + 2 )
tendrian que saber el valor de la fuerza de entreda y despues de hacer la divicion U(s) / ( s^2 + 2 s + 2 ) tendran que hacer la transformada inversa de Laplace para regresar al dominio del tiempo.
ESPERO LES SEA DE UTILIDAD A LOS QUE INICIAN EN EL CONTROL.
Si tenemos que:
m = 1 kg
B = 2 Ns/m
k = 2 N/m
NOTA: la primer derivada de x lo colocamos como x' la segunda derivada como x''(lo mismo con todas las variables)
Entonces tenemos que sumar todas las fuerzas. La fuerza del resorte se suma con la fuerza del amortiguador y con la fuerza que ejerce la masa. Esta fuerza total es igual a la fuerza u.
Para obtener la fuerza del amortiguador se deriva el desplazamiento "y" y se multiplica por el valor del amortiguador:
By' = fB
Para obtener la fuerza del resorte se multiplica el desplazamiento por el valor del resorte:
ky = fk
y finalmente la fuerza de la masa; es masa por aceleracion, y la aceleracion se obtiene con la segunda derivada del desplazamiento, entoces:
my'' = fm
Ahora se suman todas las fuerzas y se igualan con u(t):
fm + fB + fk = u
sustituyendo las fuerzas queda de la siguiente forma:
my'' + By' + ky = u
Esta ecuacion se encuentra en el dominio del tiempo, por lo tanto no se puede factorizar "y" debido a las derivadas. Por lo que es nesesario pasar la ecuacion al dominio de la frecuencia, usando la transformada de Laplace.
A continuacion se muestra un formulario:
la formula que usaremos es la de Diferenciacion en t.
por lo tanto las transformadas de Laplace quedarian asi:
y'' = s^2 Y(s) - s f(0) - f'(0)
y' = s Y(s) - f(0)
y = Y(s)
en donde f(0) son las condiciones iniciales del sistema, que por lo general son siempre iguales a cero. Por lo tanto la ecuacion:
my'' + By' + ky = u
quedaria asi:
m s^2 Y(s) + B s Y(s) + k Y(s) = U(s)
si factorizamos Y(s) :
Y(s) (m s^2 + B s + k ) = U(s)
y ahora sustituimos los valores de m, B y k:
Y(s) ( 1 s^2 + 2 s + 2 ) = U(s)
Y la funcion de trasferencia es igual a la salida dividida entre la entrada, que en este caso es el desplazamiento entre la fuerza de entrada, es decir Y(s) / U(s)
Y(s) / U(s) = 1 / ( s^2 + 2 s + 2 )
si quieren conocer la respuesta del sistema se despeja el desplazamiento:
Y(s) = U(s) / ( s^2 + 2 s + 2 )
tendrian que saber el valor de la fuerza de entreda y despues de hacer la divicion U(s) / ( s^2 + 2 s + 2 ) tendran que hacer la transformada inversa de Laplace para regresar al dominio del tiempo.
ESPERO LES SEA DE UTILIDAD A LOS QUE INICIAN EN EL CONTROL.