Dos matemáticos han demostrado que dos infinitos diferentes son iguales en tamaño, resolviendo una pregunta de larga data. Su prueba se basa en un sorprendente vínculo entre los tamaños de infinitos y la complejidad de la matemática
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Por Kevin Hartnett para Quanta Mgagazine Setiembre 13 de 2017
En un avance que desmiente décadas de sabiduría convencional, dos matemáticos han demostrado que dos variantes diferentes del infinito son realmente del mismo tamaño. El avance se refiere a uno de los problemas más famosos e intratables en matemáticas: si existen infinitos entre el tamaño infinito de los números naturales y el tamaño infinito más grande de los números reales.
El problema se identificó por primera vez hace más de un siglo. En ese momento, los matemáticos sabían que "los números reales son más grandes que los números naturales, pero no cuánto más grande. ¿Es el tamaño más grande, o hay un tamaño en el medio? ", Dijo Maryanthe Malliaris de la Universidad de Chicago, co-autor de la nueva obra junto con Saharon Shelah de la Universidad Hebrea de Jerusalén y Rutgers University.
En su nuevo trabajo, Malliaris y Shelah resuelven una pregunta relacionada de 70 años acerca de si un infinito (llamarlo p) es más pequeño que otro infinito (llámelo t). Ellos demostraron que los dos son de hecho iguales, para sorpresa de los matemáticos.
"Ciertamente era mi opinión, y la opinión general, que p debería ser menos que", dijo Shelah.
Malliaris y Shelah publicaron su prueba el año pasado en el Diario de la American Mathematical Society y fueron honrados en julio pasado con uno de los mejores premios en el campo de la teoría de conjuntos. Pero su trabajo tiene ramificaciones más allá de la cuestión específica de cómo estos dos infinitos están relacionados. Se abre un vínculo inesperado entre los tamaños de conjuntos infinitos y un esfuerzo paralelo para mapear la complejidad de las teorías matemáticas.
Muchos infinitos
La noción de infinito es la mente-flexión. Pero la idea de que puede haber diferentes tamaños de infinito? Tal vez sea el descubrimiento matemático más contraintuitivo jamás realizado. Emerge, sin embargo, de un juego que iguala incluso los cabritos podrían entender.
Supongamos que usted tiene dos grupos de objetos, o dos "conjuntos", como los matemáticos les llaman: un conjunto de coches y un conjunto de conductores. Si hay exactamente un conductor para cada coche, sin coches vacíos y sin conductores, entonces usted sabe que el número de coches es igual al número de conductores (aunque no sepa cuál es ese número).
A finales del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor capturó el espíritu de esta estrategia de coincidencia en el lenguaje formal de las matemáticas. Él probó que dos conjuntos tienen el mismo tamaño, o "cardinalidad", cuando se pueden poner en correspondencia uno a uno el uno con el otro - cuando hay exactamente un conductor para cada coche. Tal vez más sorprendentemente, demostró que este enfoque funciona para conjuntos infinitamente grandes también.
Considere los números naturales: 1, 2, 3 y así sucesivamente. El conjunto de números naturales es infinito. Pero ¿qué pasa con el conjunto de sólo los números pares, o sólo los números primos? Cada uno de estos conjuntos inicialmente parecería ser un subconjunto más pequeño de los números naturales. Y de hecho, sobre cualquier tramo finito de la recta numérica, hay aproximadamente la mitad de tantos números pares como números naturales, y todavía menos números primos.
Sin embargo, los conjuntos infinitos se comportan de manera diferente. Cantor demostró que hay una correspondencia uno a uno entre los elementos de cada uno de estos conjuntos infinitos.
1 2 3 4 5 ... (números naturales)
2 4 6 8 10 ... (igual a)
2 3 5 7 11 ... (primos)
Debido a esto, Cantor llegó a la conclusión de que los tres conjuntos son del mismo tamaño. Los matemáticos llaman a conjuntos de este tamaño "contables", porque puede asignar un número de conteo a cada elemento de cada conjunto.
Después de establecer que los tamaños de conjuntos infinitos pueden compararse poniéndolos en correspondencia uno a uno, Cantor hizo un salto aún mayor: demostró que algunos conjuntos infinitos son incluso más grandes que el conjunto de números naturales.
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Considere los números reales, que son todos los puntos de la recta numérica. Los números reales a veces se denominan "continuo", reflejando su naturaleza continua: No hay espacio entre un número real y el siguiente. Cantor fue capaz de demostrar que los números reales no se pueden poner en una correspondencia uno a uno con los números naturales: Incluso después de crear una lista infinita que empareja números naturales con números reales, siempre es posible llegar a otro real número que no está en su lista. Debido a esto, concluyó que el conjunto de números reales es mayor que el conjunto de números naturales. Así nació un segundo tipo de infinidad: el infinitamente infinito.
Lo que Cantor no pudo averiguar fue si existe un tamaño intermedio de infinito, algo entre el tamaño de los números naturales contables y los números reales innumerables. No lo adivinó, una conjetura conocida ahora como la hipótesis del continuo.
En 1900, el matemático alemán David Hilbert hizo una lista de 23 de los problemas más importantes en matemáticas. Puso la hipótesis de continuo en la parte superior. "Parecía una pregunta obviamente urgente para responder", dijo Malliaris.
En el siglo pasado, la cuestión ha demostrado ser casi únicamente resistente a los mejores esfuerzos de los matemáticos. ¿Existe entre los infinitos? Tal vez nunca sepamos.
Forzado a salir
A lo largo de la primera mitad del siglo XX, los matemáticos intentaron resolver la hipótesis del continuo estudiando varios conjuntos infinitos que aparecieron en muchas áreas de la matemática. Esperaban que al comparar estos infinitos, pudieran empezar a entender el posible espacio no vacío entre el tamaño de los números naturales y el tamaño de los números reales.
Muchas de las comparaciones demostraron ser difíciles de dibujar. En la década de 1960, el matemático Paul Cohen explicó por qué. Cohen desarrolló un método llamado "forzar" que demostró que la hipótesis del continuo es independiente de los axiomas de la matemática, es decir, no se pudo probar en el marco de la teoría de conjuntos. (El trabajo de Cohen complementó el trabajo de Kurt Gödel en 1940 que demostró que la hipótesis del continuo no podía ser refutada dentro de los axiomas usuales de la matemática).
El trabajo de Cohen le valió la Medalla Fields (uno de los honores más altos de matemáticas) en 1966. Los matemáticos posteriormente utilizaron forzar para resolver muchas de las comparaciones entre infinitos que se habían planteado durante el medio siglo previo, demostrando que éstos también no podían ser contestados dentro del marco de la teoría de conjuntos. (Específicamente, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección.)
Sin embargo, quedaron algunos problemas, incluyendo una pregunta de los años cuarenta sobre si p es igual a t. Tanto p como t son órdenes de infinito que cuantifican el tamaño mínimo de colecciones de subconjuntos de los números naturales en formas precisas (y aparentemente únicas).
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En resumen, p es el tamaño mínimo de una colección de conjuntos infinitos de los números naturales que tienen una "propiedad de intersección finita fuerte" y ninguna "pseudointersección", lo que significa que los subconjuntos se superponen entre sí de una manera particular; t se llama el "número de torre" y es el tamaño mínimo de una colección de subconjuntos de los números naturales que se ordena de una manera llamada "reversa casi inclusión" y no tiene pseudointersection.
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Los detalles de los dos tamaños no importan mucho. Lo más importante es que los matemáticos rápidamente descubrieron dos cosas sobre los tamaños de p y t. Primero, ambos conjuntos son más grandes que los números naturales. En segundo lugar, p es siempre menor que o igual a t. Por lo tanto, si p es menor que t, entonces p sería un infinito intermedio, algo entre el tamaño de los números naturales y el tamaño de los números reales. La hipótesis del continuo sería falsa.
Los matemáticos tendían a suponer que la relación entre p y t no podía ser probada dentro del marco de la teoría de conjuntos, pero tampoco podían establecer la independencia del problema. La relación entre p y t permaneció en este estado indeterminado durante décadas. Cuando Malliaris y Shelah encontraron una manera de solucionarlo, era sólo porque estaban buscando algo más.
Una Orden de Complejidad
Alrededor de la misma época en que Paul Cohen estaba forzando la hipótesis del continuo más allá del alcance de las matemáticas, se estaba iniciando una línea de trabajo muy diferente en el campo de la teoría de modelos.
H. Jerome Keisler inventó "la orden de Keisler". Crédito de la imagen: Cortesía de H. Jerome Keisler
Para un teórico modelo, una "teoría" es el conjunto de axiomas, o reglas, que definen un área de matemáticas. Se puede pensar en la teoría de modelos como una forma de clasificar las teorías matemáticas - una exploración del código fuente de las matemáticas. "Creo que la razón por la que la gente está interesada en clasificar teorías es que quieren entender lo que realmente está causando que ciertas cosas sucedan en áreas muy diferentes de las matemáticas", dijo Jerome Keisler, profesor emérito de matemáticas de la Universidad de Wisconsin en Madison.
En 1967, Keisler introdujo lo que ahora se llama la orden de Keisler, que busca clasificar las teorías matemáticas sobre la base de su complejidad. Propuso una técnica para medir la complejidad y logró probar que las teorías matemáticas pueden clasificarse en al menos dos clases: las que son mínimamente complejas y las que son al máximo complejas. "Fue un pequeño punto de partida, pero mi sentimiento en ese momento era que habría infinitas clases", dijo Keisler.
No siempre es obvio lo que significa que una teoría sea compleja. Mucho trabajo en el campo es motivado en parte por un deseo de entender esa pregunta. Keisler describe la complejidad como la gama de cosas que pueden suceder en una teoría, y las teorías en las que más cosas pueden suceder son más complejas que las teorías en las que pueden ocurrir menos cosas.
Un poco más de una década después de que Keisler introdujera su orden, Shelah publicó un libro influyente, que incluía un importante capítulo que mostraba que hay saltos naturales en la complejidad, líneas divisorias que distinguen las teorías más complejas de las menos complejas. Después de eso, poco progreso fue hecho en la orden de Keisler durante 30 años.
Saharon Shelah es co-autor de la nueva prueba. Crédito de la imagen: Yael Shelah
Luego, en su tesis doctoral de 2009 y otros trabajos iniciales, Malliaris reabrió el trabajo sobre la orden de Keisler y proporcionó nuevas pruebas de su poder como un programa de clasificación. En 2011, ella y Shelah comenzaron a trabajar juntos para entender mejor la estructura de la orden. Uno de sus objetivos era identificar más de las propiedades que hacen que una teoría sea de máxima complejidad según el criterio de Keisler.
Malliaris y Shelah miraron dos propiedades en particular. Ya sabían que la primera causa la máxima complejidad. Ellos querían saber si el segundo también lo hizo. A medida que su trabajo progresaba, se dieron cuenta de que esta pregunta era paralela a la pregunta de si p y t son iguales. En 2016, Malliaris y Shelah publicaron un artículo de 60 páginas que resolvía ambos problemas: demostraron que las dos propiedades son igualmente complejas (ambas causan complejidad máxima), y demostraron que p es igual a t.
"De alguna manera todo se alineó", dijo Malliaris. "Es una constelación de cosas que se resolvió."
En julio pasado, Malliaris y Shelah recibieron la medalla Hausdorff, uno de los mejores premios en teoría de conjuntos. El honor refleja la sorprendente y sorprendentemente poderosa naturaleza de su prueba. La mayoría de los matemáticos habían esperado que p era menor que t, y que una prueba de esa desigualdad sería imposible dentro del marco de la teoría de conjuntos. Malliaris y Shelah demostraron que los dos infinitos son iguales. Su trabajo también reveló que la relación entre p y t tiene mucho más profundidad de lo que los matemáticos se habían dado cuenta.
"Creo que la gente pensó que si por casualidad los dos cardenales eran iguales, la prueba sería quizás sorprendente, pero sería un argumento breve e inteligente que no implica la construcción de ninguna maquinaria real", dijo Justin Moore, un matemático en Cornell University, que ha publicado un breve resumen de la prueba de Malliaris y Shelah.
Malliaris y Shelah demostraron que p y t son iguales cortando un camino entre la teoría de modelos y la teoría de conjuntos que ya está abriendo nuevas fronteras de investigación en ambos campos. Su trabajo también finalmente pone a un problema que los matemáticos esperaban ayudar a resolver la hipótesis del continuo. Sin embargo, el sentimiento abrumador entre los expertos es que esta propuesta aparentemente insoluble es falsa: Si bien el infinito es extraño en muchos sentidos, sería casi demasiado extraño si no hubiera muchos más tamaños que los que ya hemos encontrado.
Aclaración: El 12 de septiembre, este artículo fue revisado para aclarar que los matemáticos en la primera mitad del siglo XX se preguntaban si la hipótesis del continuo era verdadera. Como se afirma en el artículo, la cuestión se resolvió en gran parte con la obra de Paul Cohen.