Resolver sistemas de ecuaciones con Excel

Exceptuando los ejemplos (que no se de donde los saqué) y algunas formulas que saqué de wikip, el post es 100% made in mi casa, con caps propias y sin copypaste de texto en ningún momento. Hay infinidad de problemas en los que se necesita resolver sistemas de "n" ecuaciones con "n" incógnitas, y por experiencia propia, es bastante engorroso cuando el numero de incógnitas es alto (ya con 4 lleva su trabajo), y mas aún cuando la guía de ejercicios es interminable. Para los desafortunados que no tienen una calculadora de las que uno le tira todos los valores y te da el resultado (aparte de que comúnmente llegan solo hasta n=3), y no tienen software especializado como Octave o MatLab instalado en sus PC's, les traigo ésta forma de resolver, la cual usa Excel (o planilla de cálculo similar, x ej OpenOffice Calc). Vale aclarar que lo que voy a explicar acá es para sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes reales (no números complejos). Primero que nada, vamos a ver (muy rápidamente) que es un sistema de ecuaciones, y los tipos: Tienen la forma: Que se puede expresar matricialmente como: o, llamando A, x y b a las matrices de la figura anterior, se tiene una forma compacta: Ahora bien, los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar en cuanto a la cantidad de soluciones como: + Si el sistema es Incompatible, no tiene solución. + Si el sistema es Compatible Indeterminado, tiene infinitas soluciones. + Si el sistema es Compatible Determinado, tiene Una Única Solución <-- Es el caso que vamos a ver acá. Osea, que solo se halla una única solución si la matriz A tiene determinante distinto de cero. El método a implementar en la planilla es el método de resolución matricial, que paso a desarrollar: Si el determinante de A es distinto de cero, entonces A tiene inversa. Y, usando Pre-multiplicamos miembro a miembro por la inversa de A Agrupamos como Por propiedad A*inv(A) = I (matriz identidad, entonces se puede "sacar" ) Entonces, el vector x (que son las incógnitas) se resuelven haciendo ésto, y ya vas a ver que es muy fácil. Pongamos un ejercicio de ejemplo, para que no comenten después "Muy lindo... pero para que sirve??" En rojo esta marcado el sistema de ecuaciones que hay que resolver. Abrimos una planilla de Excel, y nos armamos algo como ésto. Yo ya llené las casillas con loc coeficientes del sistema (en orden) Bien, ahora pintamos todas las celdas de la zona reservada para la matriz inversa, y escribimos "=MINVERSA(" (sin comillas) Si el software está en otro idioma probablemente el nombre de la función cambie, pero va a ser muy parecido Después de haber escrito "=MINVERSA(", seleccionamos toda la matriz de coeficientes (la de 3x3, SIN los términos independientes) (Se puede también directamente escribir el rango de celdas, en este caso B4: D6) Cerramos paréntesis. y le damos CTRL+SHIFT+ENTER Queda ésto, que es la matriz inversa: Ahora seleccionamos las 3 de Resultado, y escribimos "=MMULT(" Acá hay que poner como parámetros 2 cosas ( recordar que era x= (A^-1) * b ) Entonces seleccionamos primero la matriz inversa (o escribimos B10: D12) Después ponemos el punto y coma ";" Y seleccionamos la segunda matriz, que es la columna de términos independientes (marcada con "=" ) o escribimos "E4:E6" Otra vez, cerramos paréntesis y le damos CTRL+SHIFT+ENTER Y YA TENEMOS EL RESULTADO!! (ver en la siguiente imagen). Por las dudas, para hacer una pequeña comprobacion hacemos la siguiente multiplicacion De nuevo, seleccionamos las 3 celdas de "Comprob.", escribimos "=MMULT(" y ésta vez usamos la matriz original (la de 3x3, sin termino independiente), ponemos el punto y coma ";" y como segundo parámetro ponemos la columna de Resultado, cerramos paréntesis (o escribimos directamente "=MMULT(B4: D6; G10:G12" ). Cerramos paréntesis y le damos CTRL+SHIFT+ENTER Terminamos! Si la columna de comprobación es igual a la términos independientes (marcada con el "=" en el sistema de Ec.), esta todo OK. Si no, tenemos algún problema con las fórmulas. "Hice todo bien y no funciona para el sistema que le puse despues... Que pasa??" Bien... si ves algo como ésto El sistema no es compatible determinado, osea que el determinante es cero, "A" no tiene inversa y la solución no existe o no es única. Osea, no es el caso que queremos resolver acá. Si en cambio ves algo como ésto (la columna de comprobación es distinta de la de términos independientes) Lo que pasa es lo mismo... pero ésta vez la planilla de cálculo tiene errores por "redondeo". Notar que la matriz inversa tiene todos valores +-Algo*10^15, que se puede decir que es infinito) Osea: El sistema no es compatible determinado, osea que el determinante es cero, "A" no tiene inversa y la solución no existe o no es única. Que no es el caso que queremos resolver acá. Si en éstos casos calculamos el determinante, vamos a ver que es cero. Si calculamos el determinante con la planilla, vamos a ver que es cero o un numero extremadamente chico (+-Algo*10^-16 x ej) Un par de imágenes mas adelante pongo cómo calcular el determinante... Otro ejemplo para los que digan que "para qué sirve??"... Si me he hartado de hacer cosas como ésta... HUBIESE PAGADO por tener esta planilla para comprobar los ejercicios. Acá hay 4 ecuaciones. Elejí las primeras 3 para encontrar el resultado, pero se podría haber usado la otra y sacado una de las 3 que usé. Primero hay que hacer las siguientes sustituciones: + i1 = x + i2 = y + i3 = z Guarda que no estan ordenadas... Reemplazamos los valores en la planilla, y... Ver que la columna "Comprob." en la primer casilla es -3.3*10^-16, que es prácticamente cero... error de redondeo sin importancia. El resultado esta bien, chequeen con los del ejercicio (están al final en fracciones) Detalle de agregar, el cálculo del determinante... Con una celda cualquiera seleccionada, escribimos "=MDETERM(" y seleccionamos la matriz "A", o escribimos "B4: D6". Cerramos parentesis, y ENTER. Acá está el valor del determinante de un sistema que no es compatible determinado: El resultado es 6,6*10^-16, que es esencialmente cero. (ver que el resultado es cualquier cosa, y que ademas la columna de comprobación es muy distinta de la de términos independientes) Ahora vemos lo mismo para un sistema compatible determinado (el del último ejemplo) Que está lejos de ser cero, además de tener la columna de comprobación muy parecida a la de términos independientes. Puse como ejemplos sistemas de 3x3, pero lo pueden hacer para el numero de ecuaciones e incognitas que se les cante, la idea es la misma. Con un rato libre, se arman un documento con varias hojas, y en cada una hacen ésto para un n distinto... y ya tienen para cuando necesiten. Bueno, eso es todo por ahora. Espero que les guste, y por supuesto, sea de utilidad. Comentar no cuesta nada !! pero si vas a bardear, andá nomas...