Este es un post sobre ecuaciones diferenciales, es un post básico, no uso vocabulario científico como en un libro, pero trato de explicar cada método lo más explícito posible.
CONTENIDO
CLASIFICACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES
MÉTODO CAMBIO DE VARIABLE
MÉTODO FACTOR INTEGRANTE
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
ECUACIÓN DE BERNOULLI
MÉTODO ALTERNATIVO DE BERNOULLI
ECUACIÓN DE RICCATI
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CAUCHY-EULER
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
MÉTODO POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
MÉTODO VARIACIÓN DE PARÁMETROS
ECUACIONES DIFERENCIALES: APLICACIONES DE MODELADO
Definición: Se llama ecuación diferencial a aquella ecuación que relaciona una función y sus derivadas.
Forma más simple de expresar una Eq. Dif:
Donde:
En una ecuación diferencial envuelve variables dependientes e independientes
CLASIFICACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Es importante saber clasificarlas para saber qué método aplicar para resolverlas.
·Orden. - corresponde al orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación.
Ejemplo:
1º orden:
2º orden:
3º orden:
Obsérvese que en la ecuación de 2º orden y’ está elevada a la 5º potencia, sin embargo, no se trata de una ecuación de 5º grado, ya que eso no eleva el orden de la derivada.
·Linealidad. - una ecuación diferencial es lineal si se puede escribir de la forma:
*Cada coeficiente depende de (x)
Una ecuación diferencial es homogénea si:
Son ecuaciones diferenciales lineales, cuyo término independiente es nulo y se puede representar:
Es posible determinar el grado y comprobar si se trata de una ecuación homogénea o una no homogénea.
Una función f(x,y) es de grado n si:
Ejemplo:
Verificar el grado de la ecuación diferencial
Y así quedó comprobado el orden de la ecuación diferencial.
A partir del modelo de la siguiente ecuación diferencial:
Es homogénea si las funciones M y N son del mismo grado, y para comprobar el grado se tendrá que aplicar el método anterior.
Ejemplo:
Tomando el ejemplo anterior, es homogénea, puesto que ambas resultan ser de grado 3.
Ahora para la siguiente función es una ecuación diferencial no homogénea
Pues al hacer la comprobación quedaría:
Teniendo en cuenta lo anterior, ya se puede comenzar a ver los distintos métodos que existen para llegar a la solución de una ecuación diferencial.
MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES
Es el método más sencillo sólo podrá servir para ecuaciones diferenciales en los que se pueda separar las variables por medio de métodos algebraicos, además la ecuación debe ser de primer orden.
Modelo:
Separando las variables
Ahora integrando
Para dar la solución general busca siempre despejar a y, siempre toma la constante al integrar la variable dependiente (x en este caso), pero no la de la variable independiente (en este caso es y).
Solución general
Aunque es común que también sea expresado de la siguiente forma
Ahora otro ejemplo
Separando variables
Integrando
Si se aplica división sintética entre funciones
Solución general
* Para algunos casos no será posible despejar completamente la variable independiente, en este caso puede que sí, pero no quiero hacerlo.
En este método lo más importante quizá, es saber aplicar álgebra para poder despejar las variables y además ser hábil integrando, es más, no sólo en este método sino para todos los métodos de ecuaciones diferenciales.
MÉTODO CAMBIO DE VARIABLE
No siempre será posible despejar las variables y para eso, se cuenta con un método en el que se hace un cambio de variable, estos cambios de variable son comunes usarlos en otros métodos, usando una función estándar como base.
Ejemplo:
Es prácticamente imposible separar las variables por métodos algebraicos.
Ahora se buscará siempre aplicar álgebra con el fin de que quede al menos un término en especial para el cambio de variable (y/x)
Ahora nos ha quedado ese término especial
Cambio de variable
Así como también
Sustituyendo en la ecuación
Derivando ux con respecto a x
Ahora tenemos una ecuación más sencilla en el que podemos aplicar el método anterior
Integrando
Pero u es y/x y C es una constante, por lo que si se opera con logaritmo natural seguirá siendo una constante y la suma de dos logaritmos es la multiplicación de ambos, por lo que.
Solución general
Soluciones particulares
Las soluciones partículas son cuando a la ecuación diferencial se requiere una solución especifica en la frontera. Del ejemplo anterior si se pide la solución particular cuando y(2)=4
Tratando de despejar C con exponencial
Ahora que sabemos el valor de la constante de integración, podemos sustituirla en la solución general y así obtener la solución particular
MÉTODO FACTOR INTEGRANTE
Este método es aplicable en ecuaciones lineales homogéneas, se debe llevar la ecuación a un modelo definido, a eso se le llamará “normalizar”.
Forma general:
Al normalizar se tiene que encontrar un factor integrante, tal que:
Después multiplicar el factor integrante por la ecuación general:
Ejemplo:
Normalizar, buscar que la ecuación dada tenga la forma de la forma general
Despejando la derivada
Ahora queda determinar el factor integrante en la ecuación
Multiplicando
Ahora integrando por ambos lados la ecuación diferencial
De esta manera la integral se cancela y al integrar cero se conserva su constante de integración.
Despejando y(x) para para la solución general
Otro ejemplo
Despejando y’
Por propiedades de logaritmo y exponenciales la constante se vuelve potencia de x “quien se libera del logaritmo gracias al exponencial”.
Ahora μ multiplica a la ecuación diferencial
Integrando
Solución general
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Ahora este es un caso especial de ecuaciones, las cuales cumplen con ciertas condiciones. Tenemos una ecuación con el modelo
Para que sea una ecuación diferencial exacta debe cumplir lo siguiente:
La derivada parcial de M con respecto a y deberá ser igual a la derivada parcial de N con respecto a x
Nota. En algunos textos se escribe así:
Una vez que cumpla con la condición se seguirá una serie de pasos para resolver la ecuación dada.
En el paso 4 consiste en tomar g(y) del paso 3 y sustituirlo en lo obtenido del paso 1 y finalmente igualarlo a C.
Ejemplo:
Se ha determinado que la ecuación diferencial si es exacta
Ahora, como si se tratase de una doble integral con respecto a x y, al integrar M(x,y) trata a y cuan una constante
Ahora del resultado obtenido, se busca su derivada parcial con respecto a y
Ahora se busca la anti derivada de g’(x) para conocer g(x), pero es cero, así la solución particular es
Otro ejemplo
Al buscar la anti derivada de g’(y) se integra con respecto y
Solución particular
ECUACIÓN DE BERNOULLI
Le ecuación de Bernoulli es el modelo de una ecuación diferencial de primer orden no lineal, este método lleva un proceso un poco largo, sin embargo, no difícil.
Para llegar a la solución general se tiene que seguir el siguiente algoritmo.
1.Liberar a y’ si es que no está libre, luego encontrar a r
2.Hacer cambio de variable de tal modo que
3.Despejar y en el cambio de variable
4.Derivar lo anterior respecto a x
5.Con los nuevos valores sustituir en la ecuación diferencial
6.Hacer algebra hasta llegar a una ecuación modelo
7.A continuación, utilizar las siguientes formulas:
8.Hacer un último cambio de variable por y en vez de u
Ejemplo:
Despejar y’
Análogamente
Derivando respecto x
Ahora que se ha obtenido una nueva “equivalencia” para y’, se debe sustituir en la ecuación diferencial
Ahora despejando du/dx y reduciendo los demás términos
Se ha llegado al modelo de ecuación diferencial del paso 6, considera que para Up f(x) es -2x^3
Ahora se deberá encontrar Uc
Después se deberá encontrar Up
Ahora que se sabe Uc y Up queda sumarlos para obtener U
Pero
Entonces
Esa es la forma de resolver la ecuación diferencial de Bernoulli, pero no es la más sencilla, ya que esas fórmulas generan integrales complejas. Por lo que es mejor emplear un método alternativo más rápido de resolver, pero es importante conocer las formulas anteriores para futuros usos en la solución de ecuaciones diferenciales.
MÉTODO ALTERNATIVO DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI (RECOMENDADO)
Tomando el ejemplo anterior
Despejar y’
Análogamente
Derivando respecto x
Ahora que se ha obtenido una nueva “equivalencia” para y’, se debe sustituir en la ecuación diferencial
Ahora despejando du/dx y reduciendo los demás términos
Se ha llegado al modelo de ecuación diferencial del paso 6
Hasta ahora todo ha sido igual pero aquí es donde comienza la manera alternativa.
Lo siguiente es resolver por factor integrante.
Ahora se debe multiplicar la ecuación de Bernoulli por el factor integrante
Obsérvese en la ecuación resultante lo siguiente
Se ha conseguido las derivadas de cada término
Ahora es momento de aplicar asociación de derivada
Ahora sólo queda integrar por ambos lados
La integral de la izquierda se ve a anular con la derivada d/dx, y es importante que se conserve la constante de integración de la parte derecha
Despejando u
Pero
Entonces
Se ha llegado a la misma solución general, desde ahora en los demás ejemplos se utilizará este método por su facilidad, pero sobre todo porque este no genera integrales complejas.
ECUACIÓN DE RICCATI
La ecuación diferencial de Riccati es un método en el que se busca descomponer la ecuación en una más simple por medio de un cambio de variable como con el método anterior.
Se trata de llevar siempre la ecuación a un determinado modelo
Al igual que Bernoulli se debe seguir un algoritmo adecuado.
Ahora se busca una solución particular para la ecuación, en determinados casos ya la da. De no ser así se busca mediante un cambio de variable por y, el cual debe cumplir con la igualdad de la ecuación.
Una vez encontrado una posible solución particular, queda comenzar a resolver la ecuación con un cambio de variable otra vez, tal como con Bernoulli, hacer algebra para reducir lo más posible. De nuevo se ha obtenido una ecuación más sencilla de resolver, la ecuación resultante se podrá resolver con algún método ya visto.
Ejemplo. - Una ecuación diferencial con la solución particular:
El cambio de variable consiste en sumar u a la solución particular, y tomar ese valor como y
Reemplazando
Derivando con respecto a x
Ahora se tiene los nuevos valores para y ˄ y’
Sustituyendo en la ecuación diferencial
Desarrollando y reduciendo términos
Ahora se ha llegado a una ecuación diferencial de Bernoulli
Ahora
Sustituyendo en la ecuación diferencial de Bernoulli (no la de Riccati).
Despejando v’
Resolviendo por factor integrante
Ahora
Asociando la derivada
Integrando
Importante no olvidar la constante de integración en esta parte
Despejando v
Pero
Entonces
Ahora un ejemplo en el que se busca la solución particular de la ecuación.
Reacomodando
Se aprecia que ya tiene la forma del modelo P(x)y + Q(x)y^2 + R(x) = y’
Buscando una solución particular, comenzando con x, a veces x puede ser la posible solución para varias ecuaciones (no siempre es así).
Sustituyendo en la ecuación, para comprobar si es una posible solución particular.
Se ha comprobado que x si califica para ser una solución particular
Ahora sigue resolver la ecuación, comenzando con un cambio de variable, se le suma una u a la solución particular.
Ahora se deriva con respecto x
Con los nuevos valores obtenidos para y ˄ y’ se sustituye en la ecuación
Aplicar álgebra
Reacomodando se obtiene una ecuación diferencial de Bernoulli
Y el método para encontrar la solución es el mismo, así que aquí termina el ejemplo.
No siempre se va obtener una ecuación de Bernoulli al simplificar una ecuación de Riccati, a veces es más simple y se obtiene una ecuación que se puede resolver con algún método más sencillo como separación de variables.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
Comenzarán las ecuaciones diferenciales de segundo orden, primero se tratarán con las ecuaciones lineales de coeficientes constantes.
Se plantea una posible solución de la ecuación diferencial dada, para eso se hace uso de algo así como una función estándar y esta servirá para poder hacer el cambio de variable.
Para poder hacer el cambio de variable con la ecuación es necesario derivar esa función estándar, pero como se trata de una ecuación de segundo orden se aplicará doble derivada.
Una vez que se hizo el cambio de variable se factorizará la ecuación estándar para después obtener una ecuación algebraica de segundo orden.
Luego quedará resolver esa ecuación con cualquier método algebraico.
Se tiene una ecuación diferencial lineal de segundo orden
Ecuación diferencial estándar:
Derivando (1° y 2° derivada)
Sustituyendo en la ecuación diferencial
Factorizando e^rx
Pero no todas las ecuaciones tienen soluciones reales. Así que para eso se cuenta con tres posibles casos.
Caso I
Solución general
Caso II
Solución general
Nótese que a la C2 se le multiplica x, esto es con el fin de distinguirlas.
Caso III
A partir de la función
Solución general
Ejemplos
Usando la función estándar
Sustituyendo en la ecuación diferencial y factorizando
Encontrando los valores de r
Sustituyendo los valores encontrados en la fórmula de la solución general
Otro ejemplo:
Usando la función estándar
Sustituyendo en la ecuación diferencial y factorizando
Encontrando los valores de r
Sustituyendo los valores encontrados en la fórmula de la solución general
Otro ejemplo:
Usando la función estándar
Sustituyendo en la ecuación diferencial y factorizando
Encontrando los valores de r, pero el producto de 4ac es mayor a b^2 por lo que dará una solución imaginaria
Así que ahora se calculará beta y alpha
Sustituyendo en la fórmula de la solución general
Con la práctica ya no será necesario hacer los pasos de hacer la 1° y 2° derivada, y será fácil ver sólo se hace uso de los coeficientes de la ecuación diferencial para resolver la ecuación algebraica de segundo orden.
Más ejemplos
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CAUCHY-EULER
Para una ecuación diferencial con coeficientes variables
Al igual que en el anterior método se hace uso de una función estándar, se sustituye y dependiendo de la ecuación algebraica obtenida se obtendrá la solución general. Aquí las formulas cambiaran un poco a las anteriores, es importante no confundirlas.
Función estándar, donde m es una constante
La forma de encontrar la ecuación algebraica de segundo orden es idéntica para cualquiera de los casos, lo que va a cambiar será las fórmulas de las soluciones generales
Caso I
Solución general
Caso II
Solución general
Caso III
Solución general
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
Una solución de una ecuación diferencial se compone de la siguiente estructura
Donde:
Yh es la solución homogénea
Yp es la solución particular
Y es solución general
Ya se sabe cómo calcular la solución homogénea de una ecuación diferencial, pero ahora esta vez se trata de una no homogénea, por lo que se debe obtener la solución particular también, y así se podrá obtener la solución particular
Existen diferentes métodos para obtener la solución particular.
MÉTODO POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
En este método se utilizan formulas predeterminadas para poder resolver la solución particular, prácticamente se resuelve a base de métodos algebraicos.
En realidad, la solución particular es la misma que si se tratará de una ecuación homogénea de 2° orden, lo importante es obtener la solución particular.
Para encontrar la solución particular en este método se necesita de ciertas formulas, para ello hay una tabla con algunos de sus ejemplos más típicos.
El algoritmo para obtener la solución particular es el siguiente:
-Identificar que formula, o bien, que combinación de fórmulas se debe utilizar
- Una vez identificada la fórmula o combinación de fórmulas, se hará un cambio de variable, la formula tomará el lugar de y, pero al ser una ecuación diferencial de 2° orden, será necesario derivar dos veces para que pueda tomar el lugar de y, y’ ˄ y’’.
-Ahora queda sustituir en la ecuación diferencial y reducir al máximo de manera algebraica, es importante agrupar los términos semejantes por medio de la factorización y al igualarse con g(x) estos se podrán eliminar y así obtener los valores de A, B, C, etc., por medio un sistema de ecuaciones, una vez encontrado sus valores quedará sustituir en la fórmula escogida desde un principio.
Ejemplo. - Obtener la solución general de la ecuación diferencial.
Si se pide la solución general, significa que se tiene que obtener la solución homogénea y la solución particular, se recomienda comenzar por obtener la homogénea.
Ahora queda encontrar la solución particular, como se trata de una constante que es 6, es fácil ver que se trata únicamente de A
Sustituyendo la solución particular en la ecuación diferencial. Pero la derivada de una constante es 0.
Así la solución general será
Otro ejemplo, un poco más complejo.
Para la solución particular se tiene que.
Sustituyendo la solución particular en la ecuación diferencial
Reduciendo y factorizando.
Igualando con g(x)
Resolviendo el sistema de ecuaciones
En caso de no confiar en el resultado de los valores de A, B y C se puede comprobar de una manera sencilla, sustituyendo los valores en la ecuación diferencial.
Sustituyendo los valores obtenidos para la solución particular.
Entonces la solución general
Ahora otro ejemplo
Para la solución particular
Sustituyendo la solución particular en la ecuación diferencial.
Sustituyendo el valor de A para la solución particular.
Entonces la solución general
Otro ejemplo
La ecuación de 2° orden tiene soluciones imaginarias, por lo que al resolver con el método ya visto β=1 y α=0
Para la solución particular
Sustituyendo la solución particular en la ecuación diferencial.
Y al igualar con g(x) se tiene que
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales
Sustituyendo los valores para la solución particular.
Entonces la solución general
Este método es rápido y sencillo cuando g(x) es una función lineal o una función exponencial, sin embargo, cuando la solución particular resulta la combinación de dos o más funciones, las ecuaciones se vuelven más complejas y más aún cuando hay funciones trigonométricas. Por lo que se recomienda utilizar el siguiente método.
MÉTODO VARIACIÓN DE PARÁMETROS
En con este método se puede resolver ecuaciones diferenciales de orden superior no homogéneas, sin importar la naturaleza de g(x) o f(x), además se puede aplicar a una ecuación con coeficientes variables.
Se tiene el modelo
Se tiene que la solución homogénea de la ecuación es
La solución particular está definida por una formula
Donde U1 ˄ U2 son:
Donde W, W1, W2 son:
Así la solución general será
El resultado de la solución particular, depende la solución homogénea, por lo que es necesario obtenerla desde el principio.
Para obtener W, W1, W2 es un procedimiento especial conocido como wronskiano, consiste en el determinante (en este caso de 2x2) de funciones. <Se utiliza en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, donde a veces puede ser utilizado para mostrar que un conjunto de soluciones es linealmente independiente>
Ejemplo. –
Ahora el procedimiento wronskiano
Una vez que se ha obtenido W, W1 y W2 se puede encontrar U1 y U2
Formando la solución particular
Reduciendo
Finalmente la solución general
Otro ejemplo
Ahora el procedimiento wronskiano
Una vez que se ha obtenido W, W1 y W2 se puede encontrar U1 y U2. Como W resulta ser uno, entonces no es necesario dividir, tan sólo integrar directamente a W1 y W2.
Formando la solución particular
Finalmente la solución general
Otro ejemplo. –
Ahora el procedimiento wronskiano
Una vez que se ha obtenido W, W1 y W2 se puede encontrar U1 y U2.
Formando la solución particular
Finalmente la solución general
Por el usuario @akak92
El libro que recomiendo porque me sirvió mucho:
Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems
William E. Boyce · Richard C. DiPrimo
AUTOR: LFA-R35
CONTENIDO
CLASIFICACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES
MÉTODO CAMBIO DE VARIABLE
MÉTODO FACTOR INTEGRANTE
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
ECUACIÓN DE BERNOULLI
MÉTODO ALTERNATIVO DE BERNOULLI
ECUACIÓN DE RICCATI
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CAUCHY-EULER
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
MÉTODO POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
MÉTODO VARIACIÓN DE PARÁMETROS
ECUACIONES DIFERENCIALES: APLICACIONES DE MODELADO
Definición: Se llama ecuación diferencial a aquella ecuación que relaciona una función y sus derivadas.
Forma más simple de expresar una Eq. Dif:
Donde:
En una ecuación diferencial envuelve variables dependientes e independientes
CLASIFICACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Es importante saber clasificarlas para saber qué método aplicar para resolverlas.
·Orden. - corresponde al orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación.
Ejemplo:
1º orden:
2º orden:
3º orden:
Obsérvese que en la ecuación de 2º orden y’ está elevada a la 5º potencia, sin embargo, no se trata de una ecuación de 5º grado, ya que eso no eleva el orden de la derivada.
·Linealidad. - una ecuación diferencial es lineal si se puede escribir de la forma:
*Cada coeficiente depende de (x)
Una ecuación diferencial es homogénea si:
Son ecuaciones diferenciales lineales, cuyo término independiente es nulo y se puede representar:
Es posible determinar el grado y comprobar si se trata de una ecuación homogénea o una no homogénea.
Una función f(x,y) es de grado n si:
Ejemplo:
Verificar el grado de la ecuación diferencial
Y así quedó comprobado el orden de la ecuación diferencial.
A partir del modelo de la siguiente ecuación diferencial:
Es homogénea si las funciones M y N son del mismo grado, y para comprobar el grado se tendrá que aplicar el método anterior.
Ejemplo:
Tomando el ejemplo anterior, es homogénea, puesto que ambas resultan ser de grado 3.
Ahora para la siguiente función es una ecuación diferencial no homogénea
Pues al hacer la comprobación quedaría:
Teniendo en cuenta lo anterior, ya se puede comenzar a ver los distintos métodos que existen para llegar a la solución de una ecuación diferencial.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES
Es el método más sencillo sólo podrá servir para ecuaciones diferenciales en los que se pueda separar las variables por medio de métodos algebraicos, además la ecuación debe ser de primer orden.
Modelo:
Separando las variables
Ahora integrando
Para dar la solución general busca siempre despejar a y, siempre toma la constante al integrar la variable dependiente (x en este caso), pero no la de la variable independiente (en este caso es y).
Solución general
Aunque es común que también sea expresado de la siguiente forma
Ahora otro ejemplo
Separando variables
Integrando
Si se aplica división sintética entre funciones
Solución general
* Para algunos casos no será posible despejar completamente la variable independiente, en este caso puede que sí, pero no quiero hacerlo.
En este método lo más importante quizá, es saber aplicar álgebra para poder despejar las variables y además ser hábil integrando, es más, no sólo en este método sino para todos los métodos de ecuaciones diferenciales.
MÉTODO CAMBIO DE VARIABLE
No siempre será posible despejar las variables y para eso, se cuenta con un método en el que se hace un cambio de variable, estos cambios de variable son comunes usarlos en otros métodos, usando una función estándar como base.
Ejemplo:
Es prácticamente imposible separar las variables por métodos algebraicos.
Ahora se buscará siempre aplicar álgebra con el fin de que quede al menos un término en especial para el cambio de variable (y/x)
Ahora nos ha quedado ese término especial
Cambio de variable
Así como también
Sustituyendo en la ecuación
Derivando ux con respecto a x
Ahora tenemos una ecuación más sencilla en el que podemos aplicar el método anterior
Integrando
Pero u es y/x y C es una constante, por lo que si se opera con logaritmo natural seguirá siendo una constante y la suma de dos logaritmos es la multiplicación de ambos, por lo que.
Solución general
Soluciones particulares
Las soluciones partículas son cuando a la ecuación diferencial se requiere una solución especifica en la frontera. Del ejemplo anterior si se pide la solución particular cuando y(2)=4
Tratando de despejar C con exponencial
Ahora que sabemos el valor de la constante de integración, podemos sustituirla en la solución general y así obtener la solución particular
MÉTODO FACTOR INTEGRANTE
Este método es aplicable en ecuaciones lineales homogéneas, se debe llevar la ecuación a un modelo definido, a eso se le llamará “normalizar”.
Forma general:
Al normalizar se tiene que encontrar un factor integrante, tal que:
Después multiplicar el factor integrante por la ecuación general:
Ejemplo:
Normalizar, buscar que la ecuación dada tenga la forma de la forma general
Despejando la derivada
Ahora queda determinar el factor integrante en la ecuación
Multiplicando
Ahora integrando por ambos lados la ecuación diferencial
De esta manera la integral se cancela y al integrar cero se conserva su constante de integración.
Despejando y(x) para para la solución general
Otro ejemplo
Despejando y’
Por propiedades de logaritmo y exponenciales la constante se vuelve potencia de x “quien se libera del logaritmo gracias al exponencial”.
Ahora μ multiplica a la ecuación diferencial
Integrando
Solución general
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Ahora este es un caso especial de ecuaciones, las cuales cumplen con ciertas condiciones. Tenemos una ecuación con el modelo
Para que sea una ecuación diferencial exacta debe cumplir lo siguiente:
La derivada parcial de M con respecto a y deberá ser igual a la derivada parcial de N con respecto a x
Nota. En algunos textos se escribe así:
Una vez que cumpla con la condición se seguirá una serie de pasos para resolver la ecuación dada.
En el paso 4 consiste en tomar g(y) del paso 3 y sustituirlo en lo obtenido del paso 1 y finalmente igualarlo a C.
Ejemplo:
Se ha determinado que la ecuación diferencial si es exacta
Ahora, como si se tratase de una doble integral con respecto a x y, al integrar M(x,y) trata a y cuan una constante
Ahora del resultado obtenido, se busca su derivada parcial con respecto a y
Ahora se busca la anti derivada de g’(x) para conocer g(x), pero es cero, así la solución particular es
Otro ejemplo
Al buscar la anti derivada de g’(y) se integra con respecto y
Solución particular
ECUACIÓN DE BERNOULLI
Le ecuación de Bernoulli es el modelo de una ecuación diferencial de primer orden no lineal, este método lleva un proceso un poco largo, sin embargo, no difícil.
Para llegar a la solución general se tiene que seguir el siguiente algoritmo.
1.Liberar a y’ si es que no está libre, luego encontrar a r
2.Hacer cambio de variable de tal modo que
3.Despejar y en el cambio de variable
4.Derivar lo anterior respecto a x
5.Con los nuevos valores sustituir en la ecuación diferencial
6.Hacer algebra hasta llegar a una ecuación modelo
7.A continuación, utilizar las siguientes formulas:
8.Hacer un último cambio de variable por y en vez de u
Ejemplo:
Despejar y’
Análogamente
Derivando respecto x
Ahora que se ha obtenido una nueva “equivalencia” para y’, se debe sustituir en la ecuación diferencial
Ahora despejando du/dx y reduciendo los demás términos
Se ha llegado al modelo de ecuación diferencial del paso 6, considera que para Up f(x) es -2x^3
Ahora se deberá encontrar Uc
Después se deberá encontrar Up
Ahora que se sabe Uc y Up queda sumarlos para obtener U
Pero
Entonces
Esa es la forma de resolver la ecuación diferencial de Bernoulli, pero no es la más sencilla, ya que esas fórmulas generan integrales complejas. Por lo que es mejor emplear un método alternativo más rápido de resolver, pero es importante conocer las formulas anteriores para futuros usos en la solución de ecuaciones diferenciales.
MÉTODO ALTERNATIVO DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI (RECOMENDADO)
Tomando el ejemplo anterior
Despejar y’
Análogamente
Derivando respecto x
Ahora que se ha obtenido una nueva “equivalencia” para y’, se debe sustituir en la ecuación diferencial
Ahora despejando du/dx y reduciendo los demás términos
Se ha llegado al modelo de ecuación diferencial del paso 6
Hasta ahora todo ha sido igual pero aquí es donde comienza la manera alternativa.
Lo siguiente es resolver por factor integrante.
Ahora se debe multiplicar la ecuación de Bernoulli por el factor integrante
Obsérvese en la ecuación resultante lo siguiente
Se ha conseguido las derivadas de cada término
Ahora es momento de aplicar asociación de derivada
Ahora sólo queda integrar por ambos lados
La integral de la izquierda se ve a anular con la derivada d/dx, y es importante que se conserve la constante de integración de la parte derecha
Despejando u
Pero
Entonces
Se ha llegado a la misma solución general, desde ahora en los demás ejemplos se utilizará este método por su facilidad, pero sobre todo porque este no genera integrales complejas.
ECUACIÓN DE RICCATI
La ecuación diferencial de Riccati es un método en el que se busca descomponer la ecuación en una más simple por medio de un cambio de variable como con el método anterior.
Se trata de llevar siempre la ecuación a un determinado modelo
Al igual que Bernoulli se debe seguir un algoritmo adecuado.
Ahora se busca una solución particular para la ecuación, en determinados casos ya la da. De no ser así se busca mediante un cambio de variable por y, el cual debe cumplir con la igualdad de la ecuación.
Una vez encontrado una posible solución particular, queda comenzar a resolver la ecuación con un cambio de variable otra vez, tal como con Bernoulli, hacer algebra para reducir lo más posible. De nuevo se ha obtenido una ecuación más sencilla de resolver, la ecuación resultante se podrá resolver con algún método ya visto.
Ejemplo. - Una ecuación diferencial con la solución particular:
El cambio de variable consiste en sumar u a la solución particular, y tomar ese valor como y
Reemplazando
Derivando con respecto a x
Ahora se tiene los nuevos valores para y ˄ y’
Sustituyendo en la ecuación diferencial
Desarrollando y reduciendo términos
Ahora se ha llegado a una ecuación diferencial de Bernoulli
Ahora
Sustituyendo en la ecuación diferencial de Bernoulli (no la de Riccati).
Despejando v’
Resolviendo por factor integrante
Ahora
Asociando la derivada
Integrando
Importante no olvidar la constante de integración en esta parte
Despejando v
Pero
Entonces
Ahora un ejemplo en el que se busca la solución particular de la ecuación.
Reacomodando
Se aprecia que ya tiene la forma del modelo P(x)y + Q(x)y^2 + R(x) = y’
Buscando una solución particular, comenzando con x, a veces x puede ser la posible solución para varias ecuaciones (no siempre es así).
Sustituyendo en la ecuación, para comprobar si es una posible solución particular.
Se ha comprobado que x si califica para ser una solución particular
Ahora sigue resolver la ecuación, comenzando con un cambio de variable, se le suma una u a la solución particular.
Ahora se deriva con respecto x
Con los nuevos valores obtenidos para y ˄ y’ se sustituye en la ecuación
Aplicar álgebra
Reacomodando se obtiene una ecuación diferencial de Bernoulli
Y el método para encontrar la solución es el mismo, así que aquí termina el ejemplo.
No siempre se va obtener una ecuación de Bernoulli al simplificar una ecuación de Riccati, a veces es más simple y se obtiene una ecuación que se puede resolver con algún método más sencillo como separación de variables.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
Comenzarán las ecuaciones diferenciales de segundo orden, primero se tratarán con las ecuaciones lineales de coeficientes constantes.
Se plantea una posible solución de la ecuación diferencial dada, para eso se hace uso de algo así como una función estándar y esta servirá para poder hacer el cambio de variable.
Para poder hacer el cambio de variable con la ecuación es necesario derivar esa función estándar, pero como se trata de una ecuación de segundo orden se aplicará doble derivada.
Una vez que se hizo el cambio de variable se factorizará la ecuación estándar para después obtener una ecuación algebraica de segundo orden.
Luego quedará resolver esa ecuación con cualquier método algebraico.
Se tiene una ecuación diferencial lineal de segundo orden
Ecuación diferencial estándar:
Derivando (1° y 2° derivada)
Sustituyendo en la ecuación diferencial
Factorizando e^rx
Pero no todas las ecuaciones tienen soluciones reales. Así que para eso se cuenta con tres posibles casos.
Caso I
Solución general
Caso II
Solución general
Nótese que a la C2 se le multiplica x, esto es con el fin de distinguirlas.
Caso III
A partir de la función
Solución general
Ejemplos
Usando la función estándar
Sustituyendo en la ecuación diferencial y factorizando
Encontrando los valores de r
Sustituyendo los valores encontrados en la fórmula de la solución general
Otro ejemplo:
Usando la función estándar
Sustituyendo en la ecuación diferencial y factorizando
Encontrando los valores de r
Sustituyendo los valores encontrados en la fórmula de la solución general
Otro ejemplo:
Usando la función estándar
Sustituyendo en la ecuación diferencial y factorizando
Encontrando los valores de r, pero el producto de 4ac es mayor a b^2 por lo que dará una solución imaginaria
Así que ahora se calculará beta y alpha
Sustituyendo en la fórmula de la solución general
Con la práctica ya no será necesario hacer los pasos de hacer la 1° y 2° derivada, y será fácil ver sólo se hace uso de los coeficientes de la ecuación diferencial para resolver la ecuación algebraica de segundo orden.
Más ejemplos
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CAUCHY-EULER
Para una ecuación diferencial con coeficientes variables
Al igual que en el anterior método se hace uso de una función estándar, se sustituye y dependiendo de la ecuación algebraica obtenida se obtendrá la solución general. Aquí las formulas cambiaran un poco a las anteriores, es importante no confundirlas.
Función estándar, donde m es una constante
La forma de encontrar la ecuación algebraica de segundo orden es idéntica para cualquiera de los casos, lo que va a cambiar será las fórmulas de las soluciones generales
Caso I
Solución general
Caso II
Solución general
Caso III
Solución general
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN
Una solución de una ecuación diferencial se compone de la siguiente estructura
Donde:
Yh es la solución homogénea
Yp es la solución particular
Y es solución general
Ya se sabe cómo calcular la solución homogénea de una ecuación diferencial, pero ahora esta vez se trata de una no homogénea, por lo que se debe obtener la solución particular también, y así se podrá obtener la solución particular
Existen diferentes métodos para obtener la solución particular.
MÉTODO POR COEFICIENTES INDETERMINADOS
En este método se utilizan formulas predeterminadas para poder resolver la solución particular, prácticamente se resuelve a base de métodos algebraicos.
En realidad, la solución particular es la misma que si se tratará de una ecuación homogénea de 2° orden, lo importante es obtener la solución particular.
Para encontrar la solución particular en este método se necesita de ciertas formulas, para ello hay una tabla con algunos de sus ejemplos más típicos.
El algoritmo para obtener la solución particular es el siguiente:
-Identificar que formula, o bien, que combinación de fórmulas se debe utilizar
- Una vez identificada la fórmula o combinación de fórmulas, se hará un cambio de variable, la formula tomará el lugar de y, pero al ser una ecuación diferencial de 2° orden, será necesario derivar dos veces para que pueda tomar el lugar de y, y’ ˄ y’’.
-Ahora queda sustituir en la ecuación diferencial y reducir al máximo de manera algebraica, es importante agrupar los términos semejantes por medio de la factorización y al igualarse con g(x) estos se podrán eliminar y así obtener los valores de A, B, C, etc., por medio un sistema de ecuaciones, una vez encontrado sus valores quedará sustituir en la fórmula escogida desde un principio.
Ejemplo. - Obtener la solución general de la ecuación diferencial.
Si se pide la solución general, significa que se tiene que obtener la solución homogénea y la solución particular, se recomienda comenzar por obtener la homogénea.
Ahora queda encontrar la solución particular, como se trata de una constante que es 6, es fácil ver que se trata únicamente de A
Sustituyendo la solución particular en la ecuación diferencial. Pero la derivada de una constante es 0.
Así la solución general será
Otro ejemplo, un poco más complejo.
Para la solución particular se tiene que.
Sustituyendo la solución particular en la ecuación diferencial
Reduciendo y factorizando.
Igualando con g(x)
Resolviendo el sistema de ecuaciones
En caso de no confiar en el resultado de los valores de A, B y C se puede comprobar de una manera sencilla, sustituyendo los valores en la ecuación diferencial.
Sustituyendo los valores obtenidos para la solución particular.
Entonces la solución general
Ahora otro ejemplo
Para la solución particular
Sustituyendo la solución particular en la ecuación diferencial.
Sustituyendo el valor de A para la solución particular.
Entonces la solución general
Otro ejemplo
La ecuación de 2° orden tiene soluciones imaginarias, por lo que al resolver con el método ya visto β=1 y α=0
Para la solución particular
Sustituyendo la solución particular en la ecuación diferencial.
Y al igualar con g(x) se tiene que
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales
Sustituyendo los valores para la solución particular.
Entonces la solución general
Este método es rápido y sencillo cuando g(x) es una función lineal o una función exponencial, sin embargo, cuando la solución particular resulta la combinación de dos o más funciones, las ecuaciones se vuelven más complejas y más aún cuando hay funciones trigonométricas. Por lo que se recomienda utilizar el siguiente método.
MÉTODO VARIACIÓN DE PARÁMETROS
En con este método se puede resolver ecuaciones diferenciales de orden superior no homogéneas, sin importar la naturaleza de g(x) o f(x), además se puede aplicar a una ecuación con coeficientes variables.
Se tiene el modelo
Se tiene que la solución homogénea de la ecuación es
La solución particular está definida por una formula
Donde U1 ˄ U2 son:
Donde W, W1, W2 son:
Así la solución general será
El resultado de la solución particular, depende la solución homogénea, por lo que es necesario obtenerla desde el principio.
Para obtener W, W1, W2 es un procedimiento especial conocido como wronskiano, consiste en el determinante (en este caso de 2x2) de funciones. <Se utiliza en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, donde a veces puede ser utilizado para mostrar que un conjunto de soluciones es linealmente independiente>
Ejemplo. –
Ahora el procedimiento wronskiano
Una vez que se ha obtenido W, W1 y W2 se puede encontrar U1 y U2
Formando la solución particular
Reduciendo
Finalmente la solución general
Otro ejemplo
Ahora el procedimiento wronskiano
Una vez que se ha obtenido W, W1 y W2 se puede encontrar U1 y U2. Como W resulta ser uno, entonces no es necesario dividir, tan sólo integrar directamente a W1 y W2.
Formando la solución particular
Finalmente la solución general
Otro ejemplo. –
Ahora el procedimiento wronskiano
Una vez que se ha obtenido W, W1 y W2 se puede encontrar U1 y U2.
Formando la solución particular
Finalmente la solución general
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POST RECOMENDADO
Para complementar este post, en las siguientes ligas podrás ver las aplicaciones más comunes de las ecuaciónes diferenciales:
ECUACIONES DIFERENCIALES: APLICACIONES DE MODELADO
Por el usuario @akak92
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El libro que recomiendo porque me sirvió mucho:
Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems
William E. Boyce · Richard C. DiPrimo
AUTOR: LFA-R35