Hola amigos, aqui les dejo unos videos que tratan sobre las Dimensiones, de como son y cual es su historia a traves del tiempo, estos puntos a tratar les dara una vision mas diafana sobre algun cuestionamiento que tengan sobre estas,Hablaran tambien de los Numeros Complejos,la Fibracion,ETC.
se vera en este documental la geometría multidimensional, funciones y matemáticas avanzadas
Pero antes de estos videos,dejenme darles algunos conceptos claves para poder esclarecer algunas dudas que se les pueden presentar
Explicacion 1
Qué nos enseñan Hiparco y Ptolomeo?... La idea de lo que hoy llamamos sistema de coordenadas.
Hiparco nos invita a suponer que la Tierra es exactamente una esfera y nos explica entonces las bases de la geometría esférica. Por definición, una esfera es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto determinado, denominado centro, es siempre la misma. Una recta que pasa por el centro de una esfera la intersecta en dos puntos: a ésta se le llama eje de simetría de la esfera. Si escogimos una recta de este tipo, podemos pensar que se trata del eje de rotación de la Tierra, y que los dos puntos de intersección son los polos norte y sur.
Un plano que pasa por el centro de una esfera la corta en un círculo llamado gran círculo y éste separa a la esfera en dos hemisferios.
La cuestión importante a recordar es que para describir un punto sobre la superficie de la tierra, se necesitan dos números, y que es por esta razón que se dice que la Tierra es de dimensión 2. De hecho, para un matemático, una superficie es un objeto de dimensión 2; puede tratarse de la superficie de la Tierra, pero también el plano de una mesa o la superficie de un balón de futbol.
Que es una proyeccion?
El mapa que nos presenta Hiparco porta un nombre sabio: la proyección estereográfica. Hay que admitir que ésta no sirve mucho en los atlas de hoy en día, salvo quizás a la hora de representar las zonas polares. Sin embargo veremos poco a poco en la película que esta proyección tiene un interés matemático considerable y que es bastante útil.
Su definición es simple. Consideremos el plano tangente P a la Tierra en el polo Sur. Para cada punto p de la esfera distinto del polo Norte, podemos trazar la recta pn que une p al polo Norte. Esta recta intersecta el plano tangente P en el punto F(p). La proyección estereográfica es entonces una representación de la esfera privada del polo Norte sobre el plano P.
Esta proyección posee tres propiedades esenciales, fuertemente interconectadas.
La primera, ampliamente ilustrada en la película, es que la proyección transforma un círculo trazado sobre la esfera en un círculo o recta del plano.
La segunda, que no está ilustrada en la película, es que la proyección respeta los
ángulos.
La tercera, es que, si bien la proyección no alcanza el ideal de preservar las distancias, lo intenta de la mejor manera posible.
Después de este primer viaje, retengamos la lección de Hiparco: la esfera es de dimensión 2 pues sus puntos se describen con dos coordenadas, latitud y longitud, y es bastante práctico representarla en un plano gracias a la proyección estereográfica...
Explicacion 2
M. C. Escher narra las aventuras de unas criaturas bidimensionales que tratan de imaginar objetos tridimensionales.
Ésta es una imagen de un mundo plano: los lagartos que viven en ésta página sólo conocen el papel en el que están dibujados; ignorantes del espacio que les rodea. Les vemos, y sabemos que su mundo plano sólo es un cuaderno que se encuentra en nuestro espacio, pero los lagartos planos no saben esto.
Uno de estos lagartos ha encontrado un modo de escapar del plano y visitar nuestro mundo: le vemos en la parte inferior tomando espesor poco a poco, subiendo a un libro y usando un cartabón como puente hacia un dodecaedro antes de volver a bajar y reasumir su posición en su mundo plano, enriquecido por su nueva experiencia como un explorador que acaba de descubrir un nuevo continente.
Los sólidos Platónicos
Algunos de estos objetos son muy familiares para nosotros, como el cubo. En ocasiones, encontramos otros, como el tetraedro. Por último, otros son bastante raros, y es necesario ser muy atento para encontrarlos en la naturaleza.
Estos objetos se llaman poliedros, que en griego significa literalmente que tienen muchas caras. No es nuestra intención aquí entrar en una complicada teoría de los poliedros. Sólo queremos elegir a cinco bonitos objetos en el espacio y tratar de mostrárselos a los lagartos, o quizá de alguna manera explicar a una lagartija que es un balón de fútbol.
Cuando un poliedro se mueve en el espacio y se encuentra con el plano de los lagartos, la intersección con este plano es un polígono. Cuando el poliedro se mueve, el polígono se deforma, y, finalmente, desaparece cuando el poliedro ha acabado pasando por el plano (asumiendo que los poliedros pueden atravesar las paredes como el "atraviesa paredes" de Marcel Aymé). Los lagartos ven sólo los polígonos, pero los ven de una manera dinámica: pueden ver cómo se deforman. Con un poco de experiencia, pueden (tal vez) eventualmente obtener una idea intuitiva de lo que es en realidad un poliedro, a pesar de que no pueden verlo en el espacio.
Recuerda: ¡en un momento estarás en la posición de un pobre humano tridimensional incapaz de ver la cuarta dimensión!. Alguien con el don de ser capaz de ver en cuatro dimensiones tratará de mostrarte lo que él ve, y para ello usará las rodajas y las proyecciones.
Explicacion 3
El matemático Ludwig Schläfli nos habla de objetos en la cuarta dimensión y nos presenta un desfile de poliedros regulares en dimensión 4, objetos extraños de 24, 120 ¡incluso 600 caras!
Schläfli comienza recordándonos cosas que hemos visto en los capítulos anteriores, explicándose sobre la pizarra. Una recta es de dimensión 1 porque para situarse sobre una recta es suficiente un solo número. Se trata de la abscisa de un punto, negativa a la izquierda de un origen y positiva a su derecha.
"Ver” en dimensión 4.
¿Cómo “ver” en dimensión 4? Desdichadamente no podemos ofrecer “gafas 4D”, pero hay otras maneras.
El método de las secciones:
En primer lugar, podemos hacer como las lagartijas. Estamos en nuestro espacio de dimensión 3 e imaginamos que un objeto se desplaza progresivamente en el espacio de dimensión 4 cortando nuestro espacio.
La sección ahora, en lugar de ser un polígono que se deforma, es un poliedro que se deforma. Podemos obtener una apreciación intuitiva sobre la forma del poliedro observando las secciones que se deforman poco a poco y terminan por desaparecer. Reconocer el objeto de este modo no es fácil, es menos fácil incluso que para las las lagartijas
El método de las sombras:
El otro método presentado en este capítulo es casi más evidente que el de las secciones. También habríamos podido utilizarlo con las lagartijas. Es el método utilizado por el pintor que quiere representar un paisaje de dimensión 3 sobre su lienzo que es de dimensión 2. Proyecta la imagen sobre el lienzo. Por ejemplo, puede colocar una fuente luminosa detrás del objeto y observar su sombra sobre el lienzo. La sombra solo da información parcial del objeto, pero si se hace girar este delante de la luz y se observa cómo se deforma la sombra, a veces podemos hacernos una idea bien precisa de la forma del objeto. Esto es el arte de la perspectiva.
“Ver” en dimensión 4: la proyección estereográfica.
Schläfli nos presenta un último método para representar los objetos de la dimensión 4. Se trata simplemente de utilizar la proyección estereográfica. Aunque por supuesto, no se trata de la misma proyección que Hiparco nos ha enseñado en el capítulo 1.
Imaginemos que estamos en el espacio de dimensión 4 y consideremos una esfera. Para definirla, usamos la definición habitual, se trata del conjunto de puntos a la misma distancia de un punto que llamamos centro. Hemos visto que esta esfera en el espacio de dimensión 3 es de dimensión 2, dado que sus puntos pueden ser descritos por una longitud y una latitud. De algún modo podemos decir que la esfera en el espacio de dimensión 3 es solamente de dimensión 2 ya que “le falta” una dimensión, la altitud por encima de la esfera. Igualmente, la esfera en el espacio de dimensión 4 es de dimensión tres y “le falta” también una dimensión que de nuevo es la altitud por encima de la esfera.
¿Qué es la esfera en el plano, esto es en el espacio de dimensión 2? Es el conjunto de puntos a la misma distancia de un centro, es decir, una circunferencia. Así una circunferencia es una esfera en un espacio de dimensión 2, tiene dimensión 1 ya que para ubicarse en una circunferencia es preciso un solo número.
Más sorprendente: ¿qué es una esfera en un espacio de dimensión 1, es decir en una recta? Se trata del conjunto de puntos a la misma distancia de un centro. Solo hay dos, uno a la izquierda y otro a la derecha... Así la esfera en el espacio de dimensión 1 contiene únicamente dos puntos. Nada de extraño tiene pues que se diga que es de dimensión 0.
Resumamos: en el espacio de dimensión “n”, la esfera tiene dimensión “n-1”. Por eso los matemáticos la denotan Sn-1.
Explicacion 4
El matemático Adrien Douady explica los números complejos. La raíz cuadrada de números negativos se explica de manera sencilla. Transformando el plano, deformando fotografías, creando imágenes fractales.
Los números complejos constituyen uno de los capítulos más bellos de las matemáticas, y se han convertido en una herramienta esencial en las ciencias. El camino hasta su descubrimiento no fue fácil, y su terminología se debe en parte a esto; se les ha denominado números "imposibles" e "imaginarios", y la palabra "complejo" da la impresión de que no son algo sencillo de entender. Afortunadamente, esa no es la situación actual: podemos introducirlos de manera relativamente elemental.
Números y transformaciones
Hemos visto que la línea es unidimensional, ya que podemos colocar los números en una línea -- los positivos a la derecha del origen, los negativos a la izquierda. Los puntos son objetos geométricos, mientras que los números son objetos algebraicos. La idea de pensar en los números como puntos y en los puntos como números, es decir, de mezclar el álgebra y la geometría, es una de las ideas más fértiles en matemáticas. Como siempre, no es fácil atribuir esta idea a una sola persona, aunque generalmente se piensa en Descartes como la persona a la que atribuír este potente método de estudiar geometría usando álgebra: este fue el nacimiento de la geometría algebraica. Si los puntos de una línea son números, podemos entender geométricamente el significado de las operaciones elementales entre los números: suma y multiplicación. La clave para entender esto es la idea de transformación.
De nuevo, ¡la proyección estereográfica!
Recordemos la proyección estereográfica: transforma la esfera bidimensional, eliminando el polo norte, en el plano tangente al polo sur. A medida que un punto se acerca al polo norte, su proyección se mueve a lo lejos en el plano, de modo que decimos que tiende al infinito.
Ahora, si pensamos en el plano tangente al polo sur como en una línea compleja, entenderemos por qué la esfera bidimensional (¡con 2 dimensiones reales!) se describe a menudo como la línea proyectiva compleja. Este es un bonito ejemplo de acrobacia matemática: ¡llamar línea a una esfera!
¿Acaso no decía Henri Poincaré que las matemáticas consisten en darle el mismo nombre a cosas diferentes? Dinámica holomorfa
Se trata del estudio de los conjuntos de Julia (nombrados así en honor al matemático francés Gaston Julia) los cuales, más allá de su interés puramente matemático, son extraordinariamente hermosos (estas dos propiedades están por supuesto relacionadas). Es raro que una teoría matemática de tanta profundidad pueda ilustrarse de un modo tan atractivo, y numerosos artistas se han inspirado en estas imágenes.
La idea inicial es muy sencilla: elegimos un número complejo arbitrario c. Entonces consideramos la transformación Tc(z) = z2 + c. Esta transformación actúa primero elevando al cuadrado el número z y después aplicando sobre el resultado la traslación dada por c. El punto inicial z, se transforma en el punto z1= Tc(z). Desde aquí consideramos el valor transformado del valor transformado, z2= Tc(z1), y repetimos este proceso una y otra vez, obteniendo una sucesión zn de números complejos donde cada número es el transformado del anterior. Decimos que los números zn de esta sucesión están en la órbita del valor inicial z bajo la transformación Tc. Estudiar el comportamiento de la sucesión zn, equivale a entender la dinámica de la transformación Tc. En este caso nos estamos limitando a un ejemplo muy sencillo, pero este ejemplo es lo bastante rico como para dar lugar a matemáticas muy hermosas.
¿Por qué en ocasiones nos da la impresión de ver pequeñas copias negras del conjunto de Mandelbrot? Esto es mucho más difícil de explicar, y es uno de los importantes descubrimientos de Adrien Douady: el conjunto de Mandelbrot tiene la propiedad de auto-semejanza, una propiedad frecuente de los conjuntos fractales
Explicacion 5
El matemático Heinz Hopf describe su "fibración". Utilizando números complejos construye hermosas composiciones de círculos en el espacio.
Heinz Hopf y la topología
La Topología es la ciencia que estudia las deformaciones. Por ejemplo, la taza y el toro representados a la derecha son por supuesto objetos diferentes, pero se puede pasar del uno al otro mediante una deformación continua que no introduce ninguna rotura: los matemáticos dicen que la taza y el toro son homeomorfos (de la misma forma). Y un topólogo es ¡¡la persona que no sabe distinguir su taza de café de su dona!!
La fibración
Veremos de cerca esta "fibración". Para cada a, tenemos un círculo en S3. ¿Cómo visualizamos esto? ¡Con la projección estereográfica, por supuesto! Se proyecta la esfera S3 sobre el espacio de 3 dimensiones tangencial al polo opuesto al punto de proyección. Esta proyección es un círculo en el espacio que puede ser contemplado (¡recuérdese a los lagartos!). Por supuesto, puede suceder que el círculo de S3 pase por el Polo Norte, de forma que su proyección estereográfica es una línea (es decir, un círculo al que le falta un punto... ¡que se ha ido al infinito!).
Varias secuencias ilustran la fibración:
Primero vemos solo un círculo de Hopf, asociado con el valor de a. Este punto a se mueve sobre la esfera S2 (recuérdese, el plano complejo más un punto en infinito) y vemos que el círculo se mueve en el espacio y se convierte en una línea de vez en cuando, cuando a pasa por el punto en infinito.
Después vemos dos círculos de Hopf, asociados con dos valores de a, ambos en movimiento. En la parte inferior vemos los dos puntos a moviéndose, y simultáneamente, los dos círculos también en movimiento. Casualmente, nótese que los dos círculos están enlazados, como dos eslabones de una cadena. No se pueden separar sin romperlos.
A continuación vemos tres círculos de Hopf para tres valores de a en movimiento coreografiado ... los círculos se separan, se aproximan.
Finalmente, vemos muchos círculos de Hopf al mismo tiempo. Los valores de a se escogen al azar y los círculos correspondientes aparecen poco a poco. Así podemos "ver" cómo el espacio se llena de círculos, y que esos círculos no intersectan unos con otros. Pero además, ahora podemos comprender el origen de la palabra "fibración": todos estos círculos están dispuestos como fibras de material: localmente están bien ordenadas como un paquete de espaguetis. Este concepto de fibración, cuyo prototipo es la aplicación de Hopf, se convirtió en un concepto clave en la topología y la física de las matemáticas. Algunas fibraciones son mucho más complicadas, en espacios de dimensión mucho más elevada, ¡pero es ciertamente instructivo tener una visión clara de este ejemplo histórico!
Imaginar el plano real como una línea compleja es útil, pero imaginar el espacio de dimensión real 4 como un plano de dimensión compleja 2 ¡es incluso más útil!
Sin mas preambulos paso a dejarles los videos
La Dimension Dos
La Dimension Tres
La Dimension Cuatro
La Dimension Cuatro(Continuacion)
Los Numeros Complejos
Los Numeros Complejos(Continuacion)
La Fibracion
La Fibracion(Continuacion)
Las Pruebas
se vera en este documental la geometría multidimensional, funciones y matemáticas avanzadas
Pero antes de estos videos,dejenme darles algunos conceptos claves para poder esclarecer algunas dudas que se les pueden presentar
Explicacion 1
Qué nos enseñan Hiparco y Ptolomeo?... La idea de lo que hoy llamamos sistema de coordenadas.
Hiparco nos invita a suponer que la Tierra es exactamente una esfera y nos explica entonces las bases de la geometría esférica. Por definición, una esfera es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto determinado, denominado centro, es siempre la misma. Una recta que pasa por el centro de una esfera la intersecta en dos puntos: a ésta se le llama eje de simetría de la esfera. Si escogimos una recta de este tipo, podemos pensar que se trata del eje de rotación de la Tierra, y que los dos puntos de intersección son los polos norte y sur.
Un plano que pasa por el centro de una esfera la corta en un círculo llamado gran círculo y éste separa a la esfera en dos hemisferios.
La cuestión importante a recordar es que para describir un punto sobre la superficie de la tierra, se necesitan dos números, y que es por esta razón que se dice que la Tierra es de dimensión 2. De hecho, para un matemático, una superficie es un objeto de dimensión 2; puede tratarse de la superficie de la Tierra, pero también el plano de una mesa o la superficie de un balón de futbol.
Que es una proyeccion?
El mapa que nos presenta Hiparco porta un nombre sabio: la proyección estereográfica. Hay que admitir que ésta no sirve mucho en los atlas de hoy en día, salvo quizás a la hora de representar las zonas polares. Sin embargo veremos poco a poco en la película que esta proyección tiene un interés matemático considerable y que es bastante útil.
Su definición es simple. Consideremos el plano tangente P a la Tierra en el polo Sur. Para cada punto p de la esfera distinto del polo Norte, podemos trazar la recta pn que une p al polo Norte. Esta recta intersecta el plano tangente P en el punto F(p). La proyección estereográfica es entonces una representación de la esfera privada del polo Norte sobre el plano P.
Esta proyección posee tres propiedades esenciales, fuertemente interconectadas.
La primera, ampliamente ilustrada en la película, es que la proyección transforma un círculo trazado sobre la esfera en un círculo o recta del plano.
La segunda, que no está ilustrada en la película, es que la proyección respeta los
ángulos.
La tercera, es que, si bien la proyección no alcanza el ideal de preservar las distancias, lo intenta de la mejor manera posible.
Después de este primer viaje, retengamos la lección de Hiparco: la esfera es de dimensión 2 pues sus puntos se describen con dos coordenadas, latitud y longitud, y es bastante práctico representarla en un plano gracias a la proyección estereográfica...
Explicacion 2
M. C. Escher narra las aventuras de unas criaturas bidimensionales que tratan de imaginar objetos tridimensionales.
Ésta es una imagen de un mundo plano: los lagartos que viven en ésta página sólo conocen el papel en el que están dibujados; ignorantes del espacio que les rodea. Les vemos, y sabemos que su mundo plano sólo es un cuaderno que se encuentra en nuestro espacio, pero los lagartos planos no saben esto.
Uno de estos lagartos ha encontrado un modo de escapar del plano y visitar nuestro mundo: le vemos en la parte inferior tomando espesor poco a poco, subiendo a un libro y usando un cartabón como puente hacia un dodecaedro antes de volver a bajar y reasumir su posición en su mundo plano, enriquecido por su nueva experiencia como un explorador que acaba de descubrir un nuevo continente.
Los sólidos Platónicos
Algunos de estos objetos son muy familiares para nosotros, como el cubo. En ocasiones, encontramos otros, como el tetraedro. Por último, otros son bastante raros, y es necesario ser muy atento para encontrarlos en la naturaleza.
Estos objetos se llaman poliedros, que en griego significa literalmente que tienen muchas caras. No es nuestra intención aquí entrar en una complicada teoría de los poliedros. Sólo queremos elegir a cinco bonitos objetos en el espacio y tratar de mostrárselos a los lagartos, o quizá de alguna manera explicar a una lagartija que es un balón de fútbol.
Cuando un poliedro se mueve en el espacio y se encuentra con el plano de los lagartos, la intersección con este plano es un polígono. Cuando el poliedro se mueve, el polígono se deforma, y, finalmente, desaparece cuando el poliedro ha acabado pasando por el plano (asumiendo que los poliedros pueden atravesar las paredes como el "atraviesa paredes" de Marcel Aymé). Los lagartos ven sólo los polígonos, pero los ven de una manera dinámica: pueden ver cómo se deforman. Con un poco de experiencia, pueden (tal vez) eventualmente obtener una idea intuitiva de lo que es en realidad un poliedro, a pesar de que no pueden verlo en el espacio.
Recuerda: ¡en un momento estarás en la posición de un pobre humano tridimensional incapaz de ver la cuarta dimensión!. Alguien con el don de ser capaz de ver en cuatro dimensiones tratará de mostrarte lo que él ve, y para ello usará las rodajas y las proyecciones.
Explicacion 3
El matemático Ludwig Schläfli nos habla de objetos en la cuarta dimensión y nos presenta un desfile de poliedros regulares en dimensión 4, objetos extraños de 24, 120 ¡incluso 600 caras!
Schläfli comienza recordándonos cosas que hemos visto en los capítulos anteriores, explicándose sobre la pizarra. Una recta es de dimensión 1 porque para situarse sobre una recta es suficiente un solo número. Se trata de la abscisa de un punto, negativa a la izquierda de un origen y positiva a su derecha.
"Ver” en dimensión 4.
¿Cómo “ver” en dimensión 4? Desdichadamente no podemos ofrecer “gafas 4D”, pero hay otras maneras.
El método de las secciones:
En primer lugar, podemos hacer como las lagartijas. Estamos en nuestro espacio de dimensión 3 e imaginamos que un objeto se desplaza progresivamente en el espacio de dimensión 4 cortando nuestro espacio.
La sección ahora, en lugar de ser un polígono que se deforma, es un poliedro que se deforma. Podemos obtener una apreciación intuitiva sobre la forma del poliedro observando las secciones que se deforman poco a poco y terminan por desaparecer. Reconocer el objeto de este modo no es fácil, es menos fácil incluso que para las las lagartijas
El método de las sombras:
El otro método presentado en este capítulo es casi más evidente que el de las secciones. También habríamos podido utilizarlo con las lagartijas. Es el método utilizado por el pintor que quiere representar un paisaje de dimensión 3 sobre su lienzo que es de dimensión 2. Proyecta la imagen sobre el lienzo. Por ejemplo, puede colocar una fuente luminosa detrás del objeto y observar su sombra sobre el lienzo. La sombra solo da información parcial del objeto, pero si se hace girar este delante de la luz y se observa cómo se deforma la sombra, a veces podemos hacernos una idea bien precisa de la forma del objeto. Esto es el arte de la perspectiva.
“Ver” en dimensión 4: la proyección estereográfica.
Schläfli nos presenta un último método para representar los objetos de la dimensión 4. Se trata simplemente de utilizar la proyección estereográfica. Aunque por supuesto, no se trata de la misma proyección que Hiparco nos ha enseñado en el capítulo 1.
Imaginemos que estamos en el espacio de dimensión 4 y consideremos una esfera. Para definirla, usamos la definición habitual, se trata del conjunto de puntos a la misma distancia de un punto que llamamos centro. Hemos visto que esta esfera en el espacio de dimensión 3 es de dimensión 2, dado que sus puntos pueden ser descritos por una longitud y una latitud. De algún modo podemos decir que la esfera en el espacio de dimensión 3 es solamente de dimensión 2 ya que “le falta” una dimensión, la altitud por encima de la esfera. Igualmente, la esfera en el espacio de dimensión 4 es de dimensión tres y “le falta” también una dimensión que de nuevo es la altitud por encima de la esfera.
¿Qué es la esfera en el plano, esto es en el espacio de dimensión 2? Es el conjunto de puntos a la misma distancia de un centro, es decir, una circunferencia. Así una circunferencia es una esfera en un espacio de dimensión 2, tiene dimensión 1 ya que para ubicarse en una circunferencia es preciso un solo número.
Más sorprendente: ¿qué es una esfera en un espacio de dimensión 1, es decir en una recta? Se trata del conjunto de puntos a la misma distancia de un centro. Solo hay dos, uno a la izquierda y otro a la derecha... Así la esfera en el espacio de dimensión 1 contiene únicamente dos puntos. Nada de extraño tiene pues que se diga que es de dimensión 0.
Resumamos: en el espacio de dimensión “n”, la esfera tiene dimensión “n-1”. Por eso los matemáticos la denotan Sn-1.
Explicacion 4
El matemático Adrien Douady explica los números complejos. La raíz cuadrada de números negativos se explica de manera sencilla. Transformando el plano, deformando fotografías, creando imágenes fractales.
Los números complejos constituyen uno de los capítulos más bellos de las matemáticas, y se han convertido en una herramienta esencial en las ciencias. El camino hasta su descubrimiento no fue fácil, y su terminología se debe en parte a esto; se les ha denominado números "imposibles" e "imaginarios", y la palabra "complejo" da la impresión de que no son algo sencillo de entender. Afortunadamente, esa no es la situación actual: podemos introducirlos de manera relativamente elemental.
Números y transformaciones
Hemos visto que la línea es unidimensional, ya que podemos colocar los números en una línea -- los positivos a la derecha del origen, los negativos a la izquierda. Los puntos son objetos geométricos, mientras que los números son objetos algebraicos. La idea de pensar en los números como puntos y en los puntos como números, es decir, de mezclar el álgebra y la geometría, es una de las ideas más fértiles en matemáticas. Como siempre, no es fácil atribuir esta idea a una sola persona, aunque generalmente se piensa en Descartes como la persona a la que atribuír este potente método de estudiar geometría usando álgebra: este fue el nacimiento de la geometría algebraica. Si los puntos de una línea son números, podemos entender geométricamente el significado de las operaciones elementales entre los números: suma y multiplicación. La clave para entender esto es la idea de transformación.
De nuevo, ¡la proyección estereográfica!
Recordemos la proyección estereográfica: transforma la esfera bidimensional, eliminando el polo norte, en el plano tangente al polo sur. A medida que un punto se acerca al polo norte, su proyección se mueve a lo lejos en el plano, de modo que decimos que tiende al infinito.
Ahora, si pensamos en el plano tangente al polo sur como en una línea compleja, entenderemos por qué la esfera bidimensional (¡con 2 dimensiones reales!) se describe a menudo como la línea proyectiva compleja. Este es un bonito ejemplo de acrobacia matemática: ¡llamar línea a una esfera!
¿Acaso no decía Henri Poincaré que las matemáticas consisten en darle el mismo nombre a cosas diferentes? Dinámica holomorfa
Se trata del estudio de los conjuntos de Julia (nombrados así en honor al matemático francés Gaston Julia) los cuales, más allá de su interés puramente matemático, son extraordinariamente hermosos (estas dos propiedades están por supuesto relacionadas). Es raro que una teoría matemática de tanta profundidad pueda ilustrarse de un modo tan atractivo, y numerosos artistas se han inspirado en estas imágenes.
La idea inicial es muy sencilla: elegimos un número complejo arbitrario c. Entonces consideramos la transformación Tc(z) = z2 + c. Esta transformación actúa primero elevando al cuadrado el número z y después aplicando sobre el resultado la traslación dada por c. El punto inicial z, se transforma en el punto z1= Tc(z). Desde aquí consideramos el valor transformado del valor transformado, z2= Tc(z1), y repetimos este proceso una y otra vez, obteniendo una sucesión zn de números complejos donde cada número es el transformado del anterior. Decimos que los números zn de esta sucesión están en la órbita del valor inicial z bajo la transformación Tc. Estudiar el comportamiento de la sucesión zn, equivale a entender la dinámica de la transformación Tc. En este caso nos estamos limitando a un ejemplo muy sencillo, pero este ejemplo es lo bastante rico como para dar lugar a matemáticas muy hermosas.
¿Por qué en ocasiones nos da la impresión de ver pequeñas copias negras del conjunto de Mandelbrot? Esto es mucho más difícil de explicar, y es uno de los importantes descubrimientos de Adrien Douady: el conjunto de Mandelbrot tiene la propiedad de auto-semejanza, una propiedad frecuente de los conjuntos fractales
Explicacion 5
El matemático Heinz Hopf describe su "fibración". Utilizando números complejos construye hermosas composiciones de círculos en el espacio.
Heinz Hopf y la topología
La Topología es la ciencia que estudia las deformaciones. Por ejemplo, la taza y el toro representados a la derecha son por supuesto objetos diferentes, pero se puede pasar del uno al otro mediante una deformación continua que no introduce ninguna rotura: los matemáticos dicen que la taza y el toro son homeomorfos (de la misma forma). Y un topólogo es ¡¡la persona que no sabe distinguir su taza de café de su dona!!
La fibración
Veremos de cerca esta "fibración". Para cada a, tenemos un círculo en S3. ¿Cómo visualizamos esto? ¡Con la projección estereográfica, por supuesto! Se proyecta la esfera S3 sobre el espacio de 3 dimensiones tangencial al polo opuesto al punto de proyección. Esta proyección es un círculo en el espacio que puede ser contemplado (¡recuérdese a los lagartos!). Por supuesto, puede suceder que el círculo de S3 pase por el Polo Norte, de forma que su proyección estereográfica es una línea (es decir, un círculo al que le falta un punto... ¡que se ha ido al infinito!).
Varias secuencias ilustran la fibración:
Primero vemos solo un círculo de Hopf, asociado con el valor de a. Este punto a se mueve sobre la esfera S2 (recuérdese, el plano complejo más un punto en infinito) y vemos que el círculo se mueve en el espacio y se convierte en una línea de vez en cuando, cuando a pasa por el punto en infinito.
Después vemos dos círculos de Hopf, asociados con dos valores de a, ambos en movimiento. En la parte inferior vemos los dos puntos a moviéndose, y simultáneamente, los dos círculos también en movimiento. Casualmente, nótese que los dos círculos están enlazados, como dos eslabones de una cadena. No se pueden separar sin romperlos.
A continuación vemos tres círculos de Hopf para tres valores de a en movimiento coreografiado ... los círculos se separan, se aproximan.
Finalmente, vemos muchos círculos de Hopf al mismo tiempo. Los valores de a se escogen al azar y los círculos correspondientes aparecen poco a poco. Así podemos "ver" cómo el espacio se llena de círculos, y que esos círculos no intersectan unos con otros. Pero además, ahora podemos comprender el origen de la palabra "fibración": todos estos círculos están dispuestos como fibras de material: localmente están bien ordenadas como un paquete de espaguetis. Este concepto de fibración, cuyo prototipo es la aplicación de Hopf, se convirtió en un concepto clave en la topología y la física de las matemáticas. Algunas fibraciones son mucho más complicadas, en espacios de dimensión mucho más elevada, ¡pero es ciertamente instructivo tener una visión clara de este ejemplo histórico!
Imaginar el plano real como una línea compleja es útil, pero imaginar el espacio de dimensión real 4 como un plano de dimensión compleja 2 ¡es incluso más útil!
Sin mas preambulos paso a dejarles los videos
La Dimension Dos
La Dimension Tres
La Dimension Cuatro
La Dimension Cuatro(Continuacion)
Los Numeros Complejos
Los Numeros Complejos(Continuacion)
La Fibracion
La Fibracion(Continuacion)
Las Pruebas