El Papiro de Rhind
Existió una civilización en Egipto que alcanzó un elevado nivel en un período muy temprano de la historia. Esta comarca gozaba de buen clima y de tierras fértiles gracias al río Nilo, lo cual proporcionaba un paraje confortante para sus habitantes. Su fácil defensa se sumaba a sus cualidades ventajosas que hacían de estas tierras un entorno de ensueño. Esto era posible gracias a que su emplazamiento, en medio del desierto, actuaba como barrera natural, defendiéndola de las fuerzas invasoras de los escasos vecinos que poseía esta nación. Como consecuencia, Egipto disfrutó de largos periodos de paz durante los cuales la sociedad avanzó a gran velocidad.
Aproximadamente hacia el año 3000 A.C., dos antiguas naciones se unieron para formar una única nación Egipcia bajo el mando de un solo gobernante. La agricultura gozó de un asombroso desarrollo, beneficiándose de los periodos regulares de lluvia y de sequedad que se daban a lo largo del año. El Nilo anegaba los terrenos durante la estación de las lluvias proporcionando tierras fértiles, las cuales con complejos sistemas de irrigación, se convertían en suelos propicios para el crecimiento de los cultivos. Conocer el momento en que llegaban estas lluvias fue vital, por lo que el estudio de la astronomía evolucionó, proporcionando un completo calendario con la información pertinente para este evento. La gran zona cubierta por la nación egipcia precisaba una sofisticada administración, un sistema de impuestos y de archivos que registraran todos aquellos bienes que cada persona quería intercambiar. Surgió la necesidad de realizar diversos recuentos y fue entonces cuando se preciso la existencia de la escritura y los números con el fin de crear un historial con todas y cada una de las transacciones que se llevaran a cabo.
El papiro más importante, de unos 30 cm. de alto y 6 metros de largo se encuentra en el Museo Británico. Se denomina papiro de Rhind o de Ahmes. El otro gran papiro es el de Moscú, de 8 cm. de ancho y casi la misma longitud que el anterior. Ambos están escritos en forma jeroglífica y constan de una colección de problemas de los cuales se deducen los conocimientos matemáticos de la época.
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Hacia el año 3000 A.C., los egipcios ya habían desarrollado su escritura jeroglífica. Esto marcaba el comienzo del periodo del Viejo Reino durante el cual fueron construidas las pirámides. Un ejemplo de ello, es la Gran Pirámide de Giza, que fue edificada en torno al año 2650 A.C. y es una admirable proeza de la ingeniería. Tales hechos, proporcionaron las más claras indicaciones de que la sociedad de este periodo había alcanzado un alto nivel de rendimiento.Los jeroglíficos empleados para la escritura y las cuentas cedieron el paso a un escrito hierático empleado para ambas empresas, la escritura y los números. A continuación, nos ocuparemos de los métodos aritméticos que idearon para trabajar con dichos números.
LA GRAN CASTA DE CONTABLES
Los egipcios consideraron tan importantes las matemáticas que sus misterios fueron confiados a una clase hereditaria privilegiada de escribientes. El fragmento de un mural representa un escribiente en su mesa. La sección inferior muestra al escribiente desplegando un nuevo papiro, así como a unos ansareros, uno de los cuales llena los cestos de gansos.
Los egipcios consideraron tan importantes las matemáticas que sus misterios fueron confiados a una clase hereditaria privilegiada de escribientes. El fragmento de un mural representa un escribiente en su mesa. La sección inferior muestra al escribiente desplegando un nuevo papiro, así como a unos ansareros, uno de los cuales llena los cestos de gansos.
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El sistema numérico egipcio no era el adecuado para cálculos aritméticos. A día de hoy, este sistema aun nos parece familiar al de los números romanos, donde la suma es totalmente satisfactoria, pero la multiplicación y la división resultan esencialmente imposibles. Así pues, nos es fácil comprender, por el parecido que les une, que el sistema egipcio tuviera inconvenientes similares al de los dígitos romanos. Sin embargo, los egipcios fueron muy prácticos en cuanto a la metodología que emplearon para las matemáticas, en parte debido a que su comercio requería que pudieran comerciar usando fracciones. Estas negociaciones también precisaban el empleo de la multiplicación y la división de modo eventual, razón por la cual idearon asombrosos métodos para vencer las deficiencias del sistema numérico con el que tenían que trabajar. Básicamente, tuvieron que ingeniar procedimientos de multiplicación y división que solamente involucraran el uso de la suma.
Pronto los números jeroglíficos se pudieron ver en templos, monumentos de piedra y jarrones. Los egipcios fueron los primeros en proporcionar la noción sobre algunos cálculos matemáticos que nunca se habían logrado realizar con los sistemas numéricos. Entretanto, los mencionados jeroglíficos fueron grabados en piedra, allí donde no era necesario desarrollar símbolos que pudieran ser escritos más rápidamente. En cambio, una vez que los egipcios comenzaron a usar hojas aplastadas, una vez que el papiro estaba seco, provenientes de la caña, como ‘papel’ y las puntas de las mismas cañas como ‘pluma’, surgió una razón para la rápida evolución de los instrumentos de escritura. Impulsando así el desarrollo de la escritura y los números hieráticos.
Pronto los números jeroglíficos se pudieron ver en templos, monumentos de piedra y jarrones. Los egipcios fueron los primeros en proporcionar la noción sobre algunos cálculos matemáticos que nunca se habían logrado realizar con los sistemas numéricos. Entretanto, los mencionados jeroglíficos fueron grabados en piedra, allí donde no era necesario desarrollar símbolos que pudieran ser escritos más rápidamente. En cambio, una vez que los egipcios comenzaron a usar hojas aplastadas, una vez que el papiro estaba seco, provenientes de la caña, como ‘papel’ y las puntas de las mismas cañas como ‘pluma’, surgió una razón para la rápida evolución de los instrumentos de escritura. Impulsando así el desarrollo de la escritura y los números hieráticos.
En aquella época debió de existir una gran cantidad de papiros, muchos de los cuales hacían referencia a las matemáticas de una u otra forma, pero, desgraciadamente, debido a que el material es sumamente delicado casi todos ellos se estropearon. Sin embargo, cabe destacar que algunos de los mismos han perdurado hasta nuestros días, y esto es gracias a las condiciones climáticas secas de las cuales disfrutaba Egipto. Entre ellos es digno de mención, la supervivencia de dos de los mayores documentos matemáticos que se describen unas líneas más abajo.
Se puede contemplar un ejemplo de matemáticas egipcias manuscritas en el papiro Rhind y en el papiro de Moscow, con una interpretación dentro de la escritura hierática. En estos dos documentos se encuentra la mayor parte del conocimiento que ha llegado hasta nuestros tiempos a cerca de las matemáticas egipcias. Además, cabe subrayar que la gran parte de la información de este artículo has sido extraía de estos dos antiguos papiros.
Se puede contemplar un ejemplo de matemáticas egipcias manuscritas en el papiro Rhind y en el papiro de Moscow, con una interpretación dentro de la escritura hierática. En estos dos documentos se encuentra la mayor parte del conocimiento que ha llegado hasta nuestros tiempos a cerca de las matemáticas egipcias. Además, cabe subrayar que la gran parte de la información de este artículo has sido extraía de estos dos antiguos papiros.
El Papiro de Rhind
El papiro Rhind fue bautizado con tal nombre tras su descubrimiento en Luxor en 1858 por el egiptólogo escocés A. Henry Rhind. El papiro, un rollo de papel de unos seis metros de longitud y un tercio de metro de anchura, fue redactado alrededor del año 1650 A.C. por el escribano Ahmes, quien afirmó que él simplemente se dedicó a copiar un manuscrito que era doscientos años más antiguo. Es decir, que el papiro original en el cual está basado el de Rhind data, aproximadamente, del año 1850 A.C.
De esta misma fecha, el siglo XIX, data el papiro de Moscú. A día de hoy, resulta más habitual el nombre de papiro Rhind en lugar de pariro de Ahmes, debido a la mayor aceptación que tuvo el nombre de aquel que lo encontró y adquirió recientemente, por encima del de su propio escribano. Del mismo modo, tampoco es posible que el papiro de Moscú reciba el nombre de quien lo redactó, pero, en este caso, las circunstancias son muy distintas, puesto que, el nombre de dicha persona no ha perdurado a lo lardo del tiempo, haciendo que actualmente desconozcamos el auto de tan valioso manuscrito. Pero, al igual que antes, este papiro también es conocido, aunque en menor medida, por papiro Goleneschew en honor a la persona que lo compró y sacó a la luz. El papiro de Moscú se encuentra presente en el Museo de las Finas artes de Moscú, mientras que el papiro Rhind se halla en el Museo Británico de Londres.
El papiro Rhind contiene nada más y nada menos que ochenta y siete problemas mientras que el papiro de Moscú comprende la tampoco nada despreciable cantidad, teniendo en cuenta la fecha de que data, de veinticinco problemas. La mayoría de estas cuestiones son de tipo práctico, pero unas pocas de éstas fueron planteadas para la enseñanza de la manipulación del sistema numérico, es decir, no tenían en mente abarcar ninguna aplicación práctica. Por ejemplo, los primeros seis problemas del papiro Rhind indagan en cómo se pueden dividir n barras de pan entre diez hombres. Estos seis problemas surgen de ir fijando distintos valores para nuestra incógnita n, de este modo tenemos, n = 1 para el problema 1, n = 2 para el problema 2, n = 6 para el problema 3, n = 7 para el problema 4, n = 8 para el problema 5 y n = 9 para el problema 6. Evidentemente, las fracciones se encuentran involucradas de uno u otro modo en estos seis problemas, y, de hecho, ochenta y uno de los ochenta y siete problemas precisan del uso de operaciones con fracciones para su resolución. Rising argumentó que estos problemas de la división las barras de pan resultaron especialmente importantes en el desarrollo de las matemáticas egipcias.
Algunos de estos problemas pregunta por la solución de una ecuación. Por ejemplo, el problema 26: ¿cuál es la cifra que sumada a la cuarta parte de dicha cantidad dé 15? Otros problemas implican series geométricas como puede ser el problema 64: dividir diez hekats (unidad de medida) de cebada entre diez hombres de manera que cada uno reciba un octavo de un hekat más que el anterior. Otros problemas precisan del uso de la geometría, como por ejemplo el problema 50: un campo circular tiene un diámetro de nueve khet (unidad de medida). ¿Cuál es su área?. Cabe mencionar, que el papiro de Moscú también presenta problemas geométricos.
Al contrario que los griegos, quienes razonaban de forma abstracta todos los conceptos matemáticos, los egipcios estaban solamente preocupados con la aritmética a nivel práctico. La mayor parte de los historiadores sostenían la creencia de que los egipcios no consideraban los números como cantidades abstractas, sino que siempre pensaban en colección especifica de ocho objetos cuando se hablaba de la cifra ocho. Para superar las deficiencias de su sistema numérico, los egipcios diseñaron ingeniosos caminos para bordear los problemas que éste presentaba, evitando así el hecho de que sus números fueran poco apropiados para la multiplicación, así como se muestra en el papiro Rhind.
Joseph, junto con otros muchos autores, dieron a conocer varias de las medidas de la Gran Pirámide, las cuales habían sido calculadas por unas personas que mantenían la opinión de que ésta fue construida con ciertas constantes matemáticas que ya tenían en mente. El ángulo entre la base y unas de las caras de la pirámide es de 51° 50’ 35’’. La secante de dicho ángulo es 1.61806, la cual se encuentra notablemente cerca de la proporción áurea 1.618034. No es que nadie crea que los egipcios conocieran la función secante, pero, asombrosamente, este número coincide exactamente con la proporción entre la altura de una de las caras inclinadas de la pirámide y un medio de la longitud de un lado de la base (al cuadrado o cuadrada). Por otro lado, la cotangente del ángulo que ya se había calculado para la pendiente resulta estar muy próximo a pi/4. Una vez más, cabe tener en cuenta que, por supuesto, nadie pretende insinuar que la civilización egipcia inventara la cotangente, pero, nuevamente, esta cifra representa el ratio de las caras, el cual se cree que fue confeccionado para ajustarse de la forma más exacta posible a dicho número. Ahora es el momento de que el observador lector se dé cuenta, al pensar en las proporciones citadas, de que debe de producirse algún tipo de relación entre el número áureo y pi para que estas dos afirmaciones sean matemáticamente correctas. De hecho, existe una coincidencia numérica: la cifra que surge al multiplicar la raíz cuadrada del número áureo por pi se encuentra muy próxima a cuatro, en efecto, este producto da como resultado 3.99618.
Robins sostiene, nuevamente, la creencia de que tanto la proporción áurea como el número pi se encuentran involucrados, de forma deliberada, en la construcción de la pirámide. Afirmó que el ratio de la pendiente vertical con la distancia horizontal fue escogida para que fuera exactamente cinco medios a siete, y el hecho de que (11/14)x4=3.1428 sea tan próximo a pi no es nada más que una simple coincidencia. De forma similar, Robins afirmó que ciertas construcciones eran realizadas a fin de que el triángulo formado por la base, la altura y el nivel de la pendiente de la pirámide constituyesen 3, 4 y 5 triángulos. Sin duda, nos parecerá muy probable que los ingenieros vayan a usar conocimientos matemáticos para construir ángulos rectos, cuya estructuración se realice de manera que sus ratios estén relacionados con el número áureo y con pi.
Robins sostiene, nuevamente, la creencia de que tanto la proporción áurea como el número pi se encuentran involucrados, de forma deliberada, en la construcción de la pirámide. Afirmó que el ratio de la pendiente vertical con la distancia horizontal fue escogida para que fuera exactamente cinco medios a siete, y el hecho de que (11/14)x4=3.1428 sea tan próximo a pi no es nada más que una simple coincidencia. De forma similar, Robins afirmó que ciertas construcciones eran realizadas a fin de que el triángulo formado por la base, la altura y el nivel de la pendiente de la pirámide constituyesen 3, 4 y 5 triángulos. Sin duda, nos parecerá muy probable que los ingenieros vayan a usar conocimientos matemáticos para construir ángulos rectos, cuya estructuración se realice de manera que sus ratios estén relacionados con el número áureo y con pi.
Fuentes
http://mundomatematico.webcindario.com/proyecto_mactutor/textos/visgenegipcios.html
http://fisicarecreativa.net/matematicalife/capitulo03.html
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