Como 2 + 2 terminó siendo igual a 5
El concepto matemático de “prueba inválida”, planteos lógicos falaces en los cuales un error de diseño es intencionalmente ubicado como pieza fundamental del desarrollo, por ende haciéndolo imperceptible a simple vista, es conocido desde tiempos inmemorables. Estas falacias lógicas fueron desarrolladas por vez primera hace miles de años en Grecia, sin embargo, fue en el siglo 16 y 17 en el que tomaron popularidad ya que eran utilizadas para demostrar que “ni siquiera la más exacta de las ciencias está libre de la corrupción y de la mentira humana”. Desde Pitágoras hasta Newton y pasando por Descartes y Fibonacci, todos, en algún momento de sus vidas, pusieron empeño en desarrollar pruebas inválidas.
La más simple de estas contradicciones lógicas, y la que generalmente se utiliza como punto de partida para explicar el concepto, es demostrar que 2 es igual a 1.
a = b
a² = ab
a² - b² = ab - b²
(a - b)(a + b) = b(a - b)
a + b = b
b + b = b
2b = b
2 = 1
No obstante, hubo una prueba inválida tan curiosa que durante más de dos mil quinientos años algunos de los mejores matemáticos de la historia intentaron demostrar: 2 + 2 = 5. Su origen bordea con la leyenda y remarca que fue en la escuela de los Pitagóricos donde primeramente se demostró la tan famosa e infame ecuación. Sin embargo, éstos, al igual que hicieron con la raíz cuadrada de 2, temiendo a desafiar la lógica de la matemática decidieron “taparla” del conocimiento público -otros dicen que simplemente no tenían el dinero para pagarle al escriba-. Sea como sea la ecuación permanecería “dormida” durante poco menos de dos mil años y sería redescubierta por el legendario Fibonacci en el siglo 13. Quien tras reflexionar y estudiar en profundidad los principios Euclidianos dijo: “Es más probable que 2 + 2 esté más cerca de 5 que de 4″.
Durante años Fibonacci intentó demostrarlo de todas las maneras posibles, incluso gracias a esto realizó una de las primeras experiencias científicas rigurosas al estudiar la reproducción en poblaciones de conejos. Tan testarudo fue que prontamente le pusieron el apodo de “Cabeza de ladrillo”.
Unos 4 siglos más tarde Descartes retomaría el concepto, y más importante aun el mismísimo Fermat daría el primer paso en desarrollar una “demostración inválida” de que 2 + 2 es igual a 5. Desgraciadamente su editor, temeroso de que el libro fuese un fracaso al ser considerado “no serio” decidió descartar el teorema.
Pasaron mas años y un renovado interes en los siglos 17 y 18 llevaron a que Riemann desarrollara la primer operacion aritmetica que resultara en 5 al sumar 2 y 2, trayendo con esto un caotico y candente debate en el mundo matematico. Para colmo de males Gauss salia con una demostracion que establecia que 2 + 2 = 3. La confusion fue tal que las instituciones academicas dudaban sobre si seguir la tradicion Euclidiana de 2 + 2 = 4 o comenzar a escuchar a los que decian que la suma de 2 y 2 tenia otros valores al punto que, por ejemplo, Kempe demoro 11 años mas en dar a la luz su teorema de los 4 colores por temor a estar errado a causa de las dudas que habian en el momento sobre la suma de 2 por si mismo. Decidido a terminar con la confusion el mismo simo Gottlob Frege desarrollo un teorema demostrando que 2 + 2 era igual a 5, sin embargo el legendario Bertrand Russell prontamente le envia una carta recordandole que hacaa unos años, fue el mismo, Frege, quien habia demostrado que 2 + 2 era igual a 5. Imposible de resolver la cuestion Frege perdia la fe en la matematica y la abandono por completo dedicandose a trabajos de oficina.
El problema en el mundo acadamico se solucionara no de manera logica, sino estableciendo por de facto que 2 + 2 era igual a 4.
Hoy en dia gracias a la asistencia de las computadoras cientos de demostraciones, algunas complejisimas, han surgido demostrando todo tipo de resultados “incoherentes” que años atras hubieran sido imposibles de imaginar.
En matemáticas, hay múltiples demostraciones matemáticas de contradicciones obvias. A pesar de que las demostraciones son erróneas, los errores son sutiles, y la mayor parte de las veces, intencionados. Estas falacias se consideran normalmente meras curiosidades, pero pueden ser usadas para ilustrar la importancia del rigor en esta área.
La mayoría de estas demostraciones dependen de variantes del mismo error. El error consisten en usar una función f que no es biyectiva, para observar que f(x) = f(y) para ciertas x e y, concluyendo (erróneamente) que por tanto x = y. La división por cero es un caso particular: la función f es x → x × 0, y el paso erróneo es comenzar con x × 0 = y × 0 y con ello concluir que x = y.
Ejemplos:
Comenzamos con
Ahora, los convertimos en fracciones
Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados obtenemos
Que equivale a
Pero ya que (ver número imaginario), podemos sustituirlo, obteniendo
Reordenando la ecuación para eliminar las fracciones, obtenemos
Y ya que i2 = − 1 tenemos como resultado
Q.E.D.
Esta demostración no es válida, ya que aplica mal el siguiente principio de las raíces cuadradas:
Este principio sólo es correcto cuando tanto x como y son números positivos. En la "demostración" anterior, una de estas dos variables es un número negativo, lo que invalida toda la demostración.
Demostración de que 1 es menor que 0
Supongamos que
x < 1
Ahora tomamos el logaritmo en ambos lados de la desigualdad. Podemos hacerlo siempre que x > 0, porque los logaritmos crecen monótonamente. Si tenemos en cuenta que el logaritmo de 1 es 0, obtendremos
lnx < 0
Dividir por ln x da como resultado
1 < 0
Q.E.D.
El error se encuentra en el último paso, la división. Este paso es erróneo porque el número por el que estamos dividiendo es negativo, lo que a su vez es porque el argumento del logaritmo es menor que 1, por nuestra suposición original. Una multiplicación o división por un número negativo invierte el símbolo de desigualdad. En otras palabras, deberíamos obtener 1 > 0, lo que es, por cierto, correcto.
Demostración de que 2 equivale a 1
Sean a y b dos cantidades iguales. Se sigue que:
a = b
a² = ab
a² - b² = ab - b²
(a - b)(a + b) = b(a - b)
a + b = b
b + b = b
2b = b
2 = 1
Q.E.D.
La falacia se encuentra en la línea 5: el paso de la línea 4 a la 5 implica una división por a-b, que es cero ya que a equivale a b (por la suposición). Como la división por cero no está definida, la demostración no es válida."
La otra falacia es que también se demostraría que a = 0, pues si: a + b = b => a = b - b => a = 0
Otra demostración de que 2 equivale a 1
Por definición de la multiplicación, se tiene que, para x ≠ 0,
x = 1 + 1 + ... + 1 (x términos)
Multiplicando ambos lados por x,
x2 = x + x + ... + x (x términos)
Derivando con respecto a x,
2x = 1 + 1 + ... + 1 (x términos)
Ahora bien, volviendo a la primera línea, se ve que el lado derecho de esa igualdad es x, y por lo tanto,
2x = x
Dividiendo ambos lados por x (lo cual es posible, pues x ≠ 0), se tiene
2 = 1
Q.E.D.
El error: en la primera línea de la supuesta demostración se asumió que x era entero; dicha expresión no tiene sentido para números no enteros. Por otro lado, para derivar funciones hace falta un dominio continuo como los reales, no los enteros; para cada x entero se tiene una ecuación correcta, pero para derivar ambos lados hace falta una ecuación de funciones, no de enteros, y la función x + x +... + x "con x términos" no tiene sentido en general (¿cómo se pueden tener x términos?), con lo cual no es derivable.
Demostración de que 4 equivale a 2
4 = 4
Restamos a ambos lados de la ecuación
4 - 4 = 4 - 4
En un lado factorizamos usando la "suma por su diferencia" y en el otro lado se factoriza por 2
(2 - 2) (2 + 2) = 2 (2 - 2)
Cancelamos los términos iguales a cada lado de la ecuación (2 - 2)
(2 + 2) = 2
Nos queda como resultado
4 = 2
Q.E.D.
La falacia se encuentra en el paso de la línea 3 a la 4, ya que implica una división por (2 - 2), que es cero. Como la división por cero no está definida, la demostración no es válida.
Demostración de que a equivale a b
Comenzamos con
a - b = c
Elevamos al cuadrado ambos lados
a² - 2ab + b² = c²
Como (a - b)(c) = c² = ac - bc, podemos reescribirlo como
a² - 2ab + b² = ac - bc
Si lo reordenamos, obtenemos
a² - ab - ac = ab - b² - bc
Factorizamos ambos miembros
a(a - b - c) = b(a - b - c)
Dividimos ambos miembros por (a - b -c)
a(a - b - c) = b(a - b - c)
Al final
a = b
Q.E.D.
La falacia consiste en que si a - b = c, entonces a - b - c = 0, por lo que hemos realizado una división por cero, que invalida la demostración
Demostración de que 0 equivale a 1
0 = 0 + 0 + 0 +...
= (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +...
= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +... (ley asociativa)
= 1 + 0 + 0 + 0 +...
= 1
Q.E.D.
El error se encuentra en que la ley asociativa no se puede aplicar libremente a sumas infinitas a menos que sean absolutamente convergentes. De hecho, es posible demostrar que en cualquier cuerpo, 0 no es igual a 1.
fuentes:
www.anfrix.com
www.wikipedia.com
El concepto matemático de “prueba inválida”, planteos lógicos falaces en los cuales un error de diseño es intencionalmente ubicado como pieza fundamental del desarrollo, por ende haciéndolo imperceptible a simple vista, es conocido desde tiempos inmemorables. Estas falacias lógicas fueron desarrolladas por vez primera hace miles de años en Grecia, sin embargo, fue en el siglo 16 y 17 en el que tomaron popularidad ya que eran utilizadas para demostrar que “ni siquiera la más exacta de las ciencias está libre de la corrupción y de la mentira humana”. Desde Pitágoras hasta Newton y pasando por Descartes y Fibonacci, todos, en algún momento de sus vidas, pusieron empeño en desarrollar pruebas inválidas.
La más simple de estas contradicciones lógicas, y la que generalmente se utiliza como punto de partida para explicar el concepto, es demostrar que 2 es igual a 1.
a = b
a² = ab
a² - b² = ab - b²
(a - b)(a + b) = b(a - b)
a + b = b
b + b = b
2b = b
2 = 1
No obstante, hubo una prueba inválida tan curiosa que durante más de dos mil quinientos años algunos de los mejores matemáticos de la historia intentaron demostrar: 2 + 2 = 5. Su origen bordea con la leyenda y remarca que fue en la escuela de los Pitagóricos donde primeramente se demostró la tan famosa e infame ecuación. Sin embargo, éstos, al igual que hicieron con la raíz cuadrada de 2, temiendo a desafiar la lógica de la matemática decidieron “taparla” del conocimiento público -otros dicen que simplemente no tenían el dinero para pagarle al escriba-. Sea como sea la ecuación permanecería “dormida” durante poco menos de dos mil años y sería redescubierta por el legendario Fibonacci en el siglo 13. Quien tras reflexionar y estudiar en profundidad los principios Euclidianos dijo: “Es más probable que 2 + 2 esté más cerca de 5 que de 4″.
Durante años Fibonacci intentó demostrarlo de todas las maneras posibles, incluso gracias a esto realizó una de las primeras experiencias científicas rigurosas al estudiar la reproducción en poblaciones de conejos. Tan testarudo fue que prontamente le pusieron el apodo de “Cabeza de ladrillo”.
Unos 4 siglos más tarde Descartes retomaría el concepto, y más importante aun el mismísimo Fermat daría el primer paso en desarrollar una “demostración inválida” de que 2 + 2 es igual a 5. Desgraciadamente su editor, temeroso de que el libro fuese un fracaso al ser considerado “no serio” decidió descartar el teorema.
Pasaron mas años y un renovado interes en los siglos 17 y 18 llevaron a que Riemann desarrollara la primer operacion aritmetica que resultara en 5 al sumar 2 y 2, trayendo con esto un caotico y candente debate en el mundo matematico. Para colmo de males Gauss salia con una demostracion que establecia que 2 + 2 = 3. La confusion fue tal que las instituciones academicas dudaban sobre si seguir la tradicion Euclidiana de 2 + 2 = 4 o comenzar a escuchar a los que decian que la suma de 2 y 2 tenia otros valores al punto que, por ejemplo, Kempe demoro 11 años mas en dar a la luz su teorema de los 4 colores por temor a estar errado a causa de las dudas que habian en el momento sobre la suma de 2 por si mismo. Decidido a terminar con la confusion el mismo simo Gottlob Frege desarrollo un teorema demostrando que 2 + 2 era igual a 5, sin embargo el legendario Bertrand Russell prontamente le envia una carta recordandole que hacaa unos años, fue el mismo, Frege, quien habia demostrado que 2 + 2 era igual a 5. Imposible de resolver la cuestion Frege perdia la fe en la matematica y la abandono por completo dedicandose a trabajos de oficina.
El problema en el mundo acadamico se solucionara no de manera logica, sino estableciendo por de facto que 2 + 2 era igual a 4.
Hoy en dia gracias a la asistencia de las computadoras cientos de demostraciones, algunas complejisimas, han surgido demostrando todo tipo de resultados “incoherentes” que años atras hubieran sido imposibles de imaginar.
En matemáticas, hay múltiples demostraciones matemáticas de contradicciones obvias. A pesar de que las demostraciones son erróneas, los errores son sutiles, y la mayor parte de las veces, intencionados. Estas falacias se consideran normalmente meras curiosidades, pero pueden ser usadas para ilustrar la importancia del rigor en esta área.
La mayoría de estas demostraciones dependen de variantes del mismo error. El error consisten en usar una función f que no es biyectiva, para observar que f(x) = f(y) para ciertas x e y, concluyendo (erróneamente) que por tanto x = y. La división por cero es un caso particular: la función f es x → x × 0, y el paso erróneo es comenzar con x × 0 = y × 0 y con ello concluir que x = y.
Ejemplos:
Comenzamos con
Ahora, los convertimos en fracciones
Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados obtenemos
Que equivale a
Pero ya que (ver número imaginario), podemos sustituirlo, obteniendo
Reordenando la ecuación para eliminar las fracciones, obtenemos
Y ya que i2 = − 1 tenemos como resultado
Q.E.D.
Esta demostración no es válida, ya que aplica mal el siguiente principio de las raíces cuadradas:
Este principio sólo es correcto cuando tanto x como y son números positivos. En la "demostración" anterior, una de estas dos variables es un número negativo, lo que invalida toda la demostración.
Demostración de que 1 es menor que 0
Supongamos que
x < 1
Ahora tomamos el logaritmo en ambos lados de la desigualdad. Podemos hacerlo siempre que x > 0, porque los logaritmos crecen monótonamente. Si tenemos en cuenta que el logaritmo de 1 es 0, obtendremos
lnx < 0
Dividir por ln x da como resultado
1 < 0
Q.E.D.
El error se encuentra en el último paso, la división. Este paso es erróneo porque el número por el que estamos dividiendo es negativo, lo que a su vez es porque el argumento del logaritmo es menor que 1, por nuestra suposición original. Una multiplicación o división por un número negativo invierte el símbolo de desigualdad. En otras palabras, deberíamos obtener 1 > 0, lo que es, por cierto, correcto.
Demostración de que 2 equivale a 1
Sean a y b dos cantidades iguales. Se sigue que:
a = b
a² = ab
a² - b² = ab - b²
(a - b)(a + b) = b(a - b)
a + b = b
b + b = b
2b = b
2 = 1
Q.E.D.
La falacia se encuentra en la línea 5: el paso de la línea 4 a la 5 implica una división por a-b, que es cero ya que a equivale a b (por la suposición). Como la división por cero no está definida, la demostración no es válida."
La otra falacia es que también se demostraría que a = 0, pues si: a + b = b => a = b - b => a = 0
Otra demostración de que 2 equivale a 1
Por definición de la multiplicación, se tiene que, para x ≠ 0,
x = 1 + 1 + ... + 1 (x términos)
Multiplicando ambos lados por x,
x2 = x + x + ... + x (x términos)
Derivando con respecto a x,
2x = 1 + 1 + ... + 1 (x términos)
Ahora bien, volviendo a la primera línea, se ve que el lado derecho de esa igualdad es x, y por lo tanto,
2x = x
Dividiendo ambos lados por x (lo cual es posible, pues x ≠ 0), se tiene
2 = 1
Q.E.D.
El error: en la primera línea de la supuesta demostración se asumió que x era entero; dicha expresión no tiene sentido para números no enteros. Por otro lado, para derivar funciones hace falta un dominio continuo como los reales, no los enteros; para cada x entero se tiene una ecuación correcta, pero para derivar ambos lados hace falta una ecuación de funciones, no de enteros, y la función x + x +... + x "con x términos" no tiene sentido en general (¿cómo se pueden tener x términos?), con lo cual no es derivable.
Demostración de que 4 equivale a 2
4 = 4
Restamos a ambos lados de la ecuación
4 - 4 = 4 - 4
En un lado factorizamos usando la "suma por su diferencia" y en el otro lado se factoriza por 2
(2 - 2) (2 + 2) = 2 (2 - 2)
Cancelamos los términos iguales a cada lado de la ecuación (2 - 2)
(2 + 2) = 2
Nos queda como resultado
4 = 2
Q.E.D.
La falacia se encuentra en el paso de la línea 3 a la 4, ya que implica una división por (2 - 2), que es cero. Como la división por cero no está definida, la demostración no es válida.
Demostración de que a equivale a b
Comenzamos con
a - b = c
Elevamos al cuadrado ambos lados
a² - 2ab + b² = c²
Como (a - b)(c) = c² = ac - bc, podemos reescribirlo como
a² - 2ab + b² = ac - bc
Si lo reordenamos, obtenemos
a² - ab - ac = ab - b² - bc
Factorizamos ambos miembros
a(a - b - c) = b(a - b - c)
Dividimos ambos miembros por (a - b -c)
a(a - b - c) = b(a - b - c)
Al final
a = b
Q.E.D.
La falacia consiste en que si a - b = c, entonces a - b - c = 0, por lo que hemos realizado una división por cero, que invalida la demostración
Demostración de que 0 equivale a 1
0 = 0 + 0 + 0 +...
= (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +...
= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +... (ley asociativa)
= 1 + 0 + 0 + 0 +...
= 1
Q.E.D.
El error se encuentra en que la ley asociativa no se puede aplicar libremente a sumas infinitas a menos que sean absolutamente convergentes. De hecho, es posible demostrar que en cualquier cuerpo, 0 no es igual a 1.
fuentes:
www.anfrix.com
www.wikipedia.com