Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601;1 Castres, Francia, 12 de enero de 1665) fue un jurista y matemático francés apodado por Eric Temple Bell con el sobrenombre de «príncipe de los aficionados».2
Fermat fue junto con René Descartes uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII.
Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue demostrado en 1995 por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor.
Fermat es uno de los pocos matemáticos que cuentan con un asteroide con su nombre, (12007) Fermat. También se le ha dado la denominación de Fermat a un cráter lunar de 39 km de diámetro.
Biografía
La mansión del siglo XV donde nació es en la actualidad un museo. La escuela más antigua y prestigiosa de Toulouse se llama Pierre de Fermat y en ella se imparten clases de ingeniería y comercio. Está situada entre las diez mejores de Francia para clases preparatorias. Cabe destacar que Fermat estudió y analizó las matemáticas en sus tiempos libres ya que él tenía otra profesión.
Obra matemática
Espiral de Fermat
Artículo principal: Espiral de Fermat
También conocida como espiral parabólica, es una curva que responde a la siguiente ecuación:
Es un caso particular de la espiral de Arquímedes.
Números amigos
Artículo principal: Números amigos
Dos números amigos son dos números naturales a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b, y b es la suma de los divisores propios de a. (La unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número.)
En 1636, Fermat descubrió que 17.296 y 18.416 eran una pareja de números amigos, además de redescubrir una fórmula general para calcularlos, conocida por Tabit ibn Qurra, alrededor del año 850.
Números primos
Artículo principal: Número primo de Fermat
Un número de Fermat es un número natural de la forma:
donde n es natural.
Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de esta forma con n natural eran números primos, pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:
Teorema sobre la suma de dos cuadrados
Artículo principal: Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados
El teorema sobre la suma de dos cuadrados afirma que todo número primo p, tal que p-1 es divisible entre 4, se puede escribir como suma de dos cuadrados. El 2 también se incluye, ya que 12+12=2. Fermat anunció su teorema en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640, razón por la cual se le conoce también como Teorema de navidad de Fermat
Pequeño teorema de Fermat
Artículo principal: Pequeño teorema de Fermat
El pequeño teorema de Fermat, referente a la divisibilidad de números, afirma que, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p, siendo p un número primo. Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía.
Principio de Fermat
Artículo principal: Principio de Fermat
Último teorema de Fermat
Artículo principal: Último teorema de Fermat
Pierre de Fermat acostumbraba a escribir las soluciones a los problemas en el margen de los libros. Una de las notas que escribió en su ejemplar del texto griego de La Aritmética de Diofanto (editada por Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621) dice lo siguiente:
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratosquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado, en la suma de dos potencias de la misma clase. He descubierto para el hecho una demostración excelente. Pero este margen es demasiado pequeño para que (la demostración) quepa en él.
Pierre de Fermat
Esta afirmación, más tarde ya conocida como Último teorema de Fermat, se convirtió en uno de los teoremas más importantes en Matemáticas. No se sabe si Fermat halló realmente la demostración, ya que no dejó rastro de ella para que otros matemáticos pudiesen verificarla. Este problema mantuvo en vilo a los matemáticos durante más de tres siglos (se dice que, frustrado, Euler incluso pidió a un amigo que registrara de arriba a abajo la casa de Fermat en busca de la demostración), hasta que en 1995 Andrew Wiles pudo demostrar el teorema. Wiles utilizó para ello herramientas matemáticas que surgieron mucho después de la muerte de Fermat, de forma que éste debió de encontrar la solución por otro camino, si es que lo hizo. En cualquier caso, tenía razón.
Número de Fermat
(Redirigido desde Número primo de Fermat)
Un número de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el primero que estudió estos números, es un número natural de la forma:
donde n es natural. De particular interés son los números primos de Fermat.
Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma
con n natural eran números primos (después de todo, los cinco primeros términos, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4) lo son), pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:
4294967297 es el número más pequeño que, siendo número de Fermat, no es primo.
Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que ya se conocían en tiempos del propio Fermat, y, a fecha de enero de 2009 sólo se conoce la factorización completa de los doce primeros números de Fermat (desde n=0 hasta n=11). Estas son algunas de las conjeturas que existen hoy día sobre estos números:
¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?
¿Existen infinitos primos de Fermat?
Algunos números de Fermat y su factorización
Los nueve primeros números de Fermat son los siguientes:
F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65.537
F5 = 232 + 1 = 4.294.967.297
= 641 × 6.700.417
F6 = 264 + 1 = 18.446.744.073.709.551.617
= 274.177 × 67.280.421.310.721
F7 = 2128 + 1 = 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457
= 59.649.589.127.497.217 × 5.704.689.200.685.129.054.721
F8 = 2256 + 1 = 115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937
= 1.238.926.361.552.897 × 93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321
Propiedades de los números de Fermat
Un número de Fermat es igual al producto de todos los anteriores más 2. Esto se puede demostrar por inducción como sigue:
Si n=1, es verdad: F1 = F0 + 2 (5 = 3 + 2).
Si se cumple para k igual a n-1, se cumple para n:
Corolario de la propiedad anterior: Ningún número de Fermat puede ser la suma de dos números primos. Como todos los números de Fermat son impares, uno de los sumandos debe ser 2. Entonces, el otro tendrá que ser, o bien 1 (en el caso de F0 = 3) o bien el producto de todos los anteriores... pero precisamente al ser un producto de números naturales no puede ser primo.
Dos números de Fermat distintos siempre son primos entre sí (es decir, no tienen ningún factor común). Se sabe que Fn = F0·F1·...·Fn-1 + 2. Como todos los números de Fermat son impares (y por tanto 2 no puede ser un factor común), se concluye que Fn no es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat. Un corolario de esto es una demostración de la infinitud de los números primos (ver artículo).
Carl Friedrich Gauss demostró que existe una relación entre la construcción de polígonos regulares con regla y compás y los números primos de Fermat: un polígono regular de n lados puede ser construido con regla y compás si y sólo si n es, o bien una potencia de 2, o bien el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos entre sí.
Todo número compuesto de Fermat se puede descomponer en factores primos de la forma k·2n+2 + 1, con k entero positivo.
La representación hexadecimal de un número de Fermat mayor es especialmente sencilla: para cada n mayor o igual que 2, Fn = 10...01hex, donde hay 2n-2 - 1 ceros.
Saludos! y espero que les sirva.
Fermat fue junto con René Descartes uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII.
Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue demostrado en 1995 por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor.
Fermat es uno de los pocos matemáticos que cuentan con un asteroide con su nombre, (12007) Fermat. También se le ha dado la denominación de Fermat a un cráter lunar de 39 km de diámetro.
Biografía
La mansión del siglo XV donde nació es en la actualidad un museo. La escuela más antigua y prestigiosa de Toulouse se llama Pierre de Fermat y en ella se imparten clases de ingeniería y comercio. Está situada entre las diez mejores de Francia para clases preparatorias. Cabe destacar que Fermat estudió y analizó las matemáticas en sus tiempos libres ya que él tenía otra profesión.
Obra matemática
Espiral de Fermat
Artículo principal: Espiral de Fermat
También conocida como espiral parabólica, es una curva que responde a la siguiente ecuación:
Es un caso particular de la espiral de Arquímedes.
Números amigos
Artículo principal: Números amigos
Dos números amigos son dos números naturales a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b, y b es la suma de los divisores propios de a. (La unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número.)
En 1636, Fermat descubrió que 17.296 y 18.416 eran una pareja de números amigos, además de redescubrir una fórmula general para calcularlos, conocida por Tabit ibn Qurra, alrededor del año 850.
Números primos
Artículo principal: Número primo de Fermat
Un número de Fermat es un número natural de la forma:
donde n es natural.
Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de esta forma con n natural eran números primos, pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:
Teorema sobre la suma de dos cuadrados
Artículo principal: Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados
El teorema sobre la suma de dos cuadrados afirma que todo número primo p, tal que p-1 es divisible entre 4, se puede escribir como suma de dos cuadrados. El 2 también se incluye, ya que 12+12=2. Fermat anunció su teorema en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640, razón por la cual se le conoce también como Teorema de navidad de Fermat
Pequeño teorema de Fermat
Artículo principal: Pequeño teorema de Fermat
El pequeño teorema de Fermat, referente a la divisibilidad de números, afirma que, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p, siendo p un número primo. Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía.
Principio de Fermat
Artículo principal: Principio de Fermat
Último teorema de Fermat
Artículo principal: Último teorema de Fermat
Pierre de Fermat acostumbraba a escribir las soluciones a los problemas en el margen de los libros. Una de las notas que escribió en su ejemplar del texto griego de La Aritmética de Diofanto (editada por Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621) dice lo siguiente:
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratosquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado, en la suma de dos potencias de la misma clase. He descubierto para el hecho una demostración excelente. Pero este margen es demasiado pequeño para que (la demostración) quepa en él.
Pierre de Fermat
Esta afirmación, más tarde ya conocida como Último teorema de Fermat, se convirtió en uno de los teoremas más importantes en Matemáticas. No se sabe si Fermat halló realmente la demostración, ya que no dejó rastro de ella para que otros matemáticos pudiesen verificarla. Este problema mantuvo en vilo a los matemáticos durante más de tres siglos (se dice que, frustrado, Euler incluso pidió a un amigo que registrara de arriba a abajo la casa de Fermat en busca de la demostración), hasta que en 1995 Andrew Wiles pudo demostrar el teorema. Wiles utilizó para ello herramientas matemáticas que surgieron mucho después de la muerte de Fermat, de forma que éste debió de encontrar la solución por otro camino, si es que lo hizo. En cualquier caso, tenía razón.
Número de Fermat
(Redirigido desde Número primo de Fermat)
Un número de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el primero que estudió estos números, es un número natural de la forma:
donde n es natural. De particular interés son los números primos de Fermat.
Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma
con n natural eran números primos (después de todo, los cinco primeros términos, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4) lo son), pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:
4294967297 es el número más pequeño que, siendo número de Fermat, no es primo.
Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que ya se conocían en tiempos del propio Fermat, y, a fecha de enero de 2009 sólo se conoce la factorización completa de los doce primeros números de Fermat (desde n=0 hasta n=11). Estas son algunas de las conjeturas que existen hoy día sobre estos números:
¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?
¿Existen infinitos primos de Fermat?
Algunos números de Fermat y su factorización
Los nueve primeros números de Fermat son los siguientes:
F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65.537
F5 = 232 + 1 = 4.294.967.297
= 641 × 6.700.417
F6 = 264 + 1 = 18.446.744.073.709.551.617
= 274.177 × 67.280.421.310.721
F7 = 2128 + 1 = 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457
= 59.649.589.127.497.217 × 5.704.689.200.685.129.054.721
F8 = 2256 + 1 = 115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937
= 1.238.926.361.552.897 × 93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321
Propiedades de los números de Fermat
Un número de Fermat es igual al producto de todos los anteriores más 2. Esto se puede demostrar por inducción como sigue:
Si n=1, es verdad: F1 = F0 + 2 (5 = 3 + 2).
Si se cumple para k igual a n-1, se cumple para n:
Corolario de la propiedad anterior: Ningún número de Fermat puede ser la suma de dos números primos. Como todos los números de Fermat son impares, uno de los sumandos debe ser 2. Entonces, el otro tendrá que ser, o bien 1 (en el caso de F0 = 3) o bien el producto de todos los anteriores... pero precisamente al ser un producto de números naturales no puede ser primo.
Dos números de Fermat distintos siempre son primos entre sí (es decir, no tienen ningún factor común). Se sabe que Fn = F0·F1·...·Fn-1 + 2. Como todos los números de Fermat son impares (y por tanto 2 no puede ser un factor común), se concluye que Fn no es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat. Un corolario de esto es una demostración de la infinitud de los números primos (ver artículo).
Carl Friedrich Gauss demostró que existe una relación entre la construcción de polígonos regulares con regla y compás y los números primos de Fermat: un polígono regular de n lados puede ser construido con regla y compás si y sólo si n es, o bien una potencia de 2, o bien el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos entre sí.
Todo número compuesto de Fermat se puede descomponer en factores primos de la forma k·2n+2 + 1, con k entero positivo.
La representación hexadecimal de un número de Fermat mayor es especialmente sencilla: para cada n mayor o igual que 2, Fn = 10...01hex, donde hay 2n-2 - 1 ceros.
Saludos! y espero que les sirva.