matematicas discretas capitulo II

CAPITULO II  ALGEBRA BOLEANA  DEFINICION: Algebra para expresar relaciones lógicas denominadas en honor del científico George Boole (1815-1864).  MECANISMOS DE LA ALGEBRA DE BOOLE Y LA NORMAL CONJUNTOS BOOLE 0 1 1 0 0 U 0 0 U 1 * U + U O  AXIOMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE: 1_ (1) (1) = 1 1_ 1+1 = 1 2_ (1) (0) = 0 2_ 0+1 = 1 3_ (0) (0) = 0 3_ 0+0 = 0 4_ 1 = 0 4_ 0 = 1  TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE: 1.- 0. x = 0 0 x = 0 1.- 0 + x = x 0Ux 0 x 2.- 1. x = x u x = x 2.- 1 + x = 1 uUx = x 3.- x. x = x x x = x 3.- x + x = x xUx = x 4.- x. x = x x x = 0 4.- x + x = 1 xUx = u 5.- XY = YX PROP.CONM. 5.- x + y = y+x 6.- xyz = (x)(yz)ó (xy)(z) prop. Aso. 6.- x + y + z = x+(y+z)ó(x+y)+z 4.1. REOMENDACIONES PARA LA COMPROBACION DE TEOREMAS DE BOOLE 1. Se tratara de comprobar aplicando teoremas básicos del (1 al 16) 2. se realizara el miembro más complicado, ejecutando operaciones y se tratara de igualar con el más simple. 3. Después de realizar el miembro mas complicado, se agregan literales en forma de unos o ceros según el caso 4. Se tratara de comprobar con algún teorema no básico pero previamente comprobado. 4.2. FORMA DE AGRAGAR UNOS EN UNA FUNCION BOLEANA Ej. Agregar al teorema xy la variable u en forma de unos (1’s) 1ero xy ( u + u ) = xyu + xyu :. Esto es = xy ( u + u) = xy (1) :. xy 2do xy ( 1+ u ) = xy + xyu :. Esto es = xy ( 1 + u ) = xy (1) :. xy 3er xy ( 1+ u ) = xy + xyu:. Esto es = xy ( 1 + 0 ) = xy (1) :. xy 4.3. PLANTEAMIENTO Y SOLUCION DE TEOREMAS: Ejemplo demostrativo: 1_a) x + y z = x + y z 1_b) x + y z = x + y z x(y+y)+yz = x + y z x(y+1)+yz = x + y z xy+xy+yz = x + y z xy+x+yz = x + y z x(y+y)+yz = x + y z x(1+y)+yz = x + y z x (1) + y z = x + y z x (1) + y z = x + y z x + y z = x + y z x + y z = x + y z 1_c) x + y z = x + y z x(y+1)+yz = x + y z xy+x+yz = x + y z x(1+y)+yz = x + y z x(1) + y z = x + y z x + y z = x + y z 1A x y + x z = x (y+z) 1B_ (x+y) (x+z) = x + y z x ( y z ) = x (y+z) x+xz+xy+yz = x + y z x(1+z+y)+yz = x + y z x(1) + yz = x + y z x + y z = x + y z 2A_ x y + x y = x 2B_ (x+y) (x+y) = x x (y+y) = x x+xy+xy+yy = x x(1) = x x(1+y+y)+0 = x x = x x(1) = x x = x 3A_ x + x y = x 3B_ x (x+y) = x x (1+y) = x x + xy = x x(1) = x x (1+y) = x x = x x (1) = x x = x 4A_ x + x y = x + y 4B_ x (x+y) = x y x(y+1)+xy = x + y x x + x y = x y xy+x+xy = x + y 0 + x y = x y x+y+(x+x) = x + y x y = x y x + y(1) = x + y x + y = x + y 5A_ zx + zxy = zx + zy 5A'_ xy + xz + yz = xy + xz zx(y+1)+zxy = zx + zy xy+xz+yz(x+x) = xy + xz zxy+zx+zxy = zx + zy xy+xz+xyz+xyz = xy + xz zx+zy(x+x) = zx + zy xy(1+z)+xz(1+y) = xy + xz zx + zy(1) = zx + zy xy (1) +xz (1) = xy + xz zx+zy = zx +zy xy + xz = xy + xz 4.5. TEOREMAS DE DEMORGAM El teorema o ley de de morgan se puede explicar de la siguiente forma: 1.- Si cada variable se sustituye por su complemento 2.- Cada suma por multiplicación y c/multiplicación por suma 3.- En último se obtiene la función complemento  FUNCIONES DUALES: Dos funciones serán duales si difieren únicamente por el intercambio simultáneo: (+ sust. Por x ) ( x sust. Por + ) Ej. (x,y,z)= x.y.z + x y z + x y z  FUNCION COMPLEMENTO Esto se obtiene 1ero buscando el dual de la función 2do complementando c/una de las variables. FUNCION: F (x,y,z) = (x+y+z) (x+y+z) (x+y+z) DUAL : F (x,y,z) = x y z + x y z + x y z COMPLEMENTO: F (x, y , z) = x y z + x y z + x y z  Ahora puede aplicar la Ley De Demorgan así:  DEMORGAN F(x, y, z ) = x y z +x y z + x y z  Realizar los siguientes problemas y aplique la ley de demorgan 1_ F= X1 X2 X3 + X1 X2 X3 + X1 X2 X3 DUAL F= (X1 X2 X3) + (X1 X2 X3) +(X1 X2 X3) COMPLEMENTO F= (X1 X2 X3) + (X1 X2 X3) +(X1 X2 X3) DE DEMORGAN F= (X1 X2 X3) + (X1 X2 X3) +(X1 X2 X3) 2_ F= (X1 X2 X3) + (X1 X2 X3) +(X1 X2 X3) DUAL F= X1 X2 X3 + X1 X2 X3 +X1 X2 X3 COMPLEMENTO F= X1 X2 X3 + X1 X2 X3 +X1 X2 X3 DE DEMORGAN F= X1 X2 X3 + X1 X2 X3 +X1 X2 X3 3_ F= c + xy = x (x+y) :. = x (x+y) 4_ F= (A+B) c+D E:.= (AB+C)D+E 5_ F= AB+(CD+AB)E F:.= (A+B) (((C+D)(A+B)+E)+ F 6_ F= (AB+C) D+E:.= (A+B) C+D E  EJERCICIOS PROPUESTOS: FUNCIONES DE BOOLE 1_ BC + AC + AB = AB + AC 2_ (A+C) (A+B+C) = (A+C) (B+C) 3_ X1+X1 X2 = X1+X2 4_ (A+B) (A+C) = A + BC 5_ zx + zxy = zx +y 6_ xy + xz +yz = xy + xz 7_ (x+y) (x+y) = x 8_ zx + zxy = zx + zy 9_ X1 X2 X3 + X1 X2 + X1 X2 X3 + X2 X3: TEOREMAS DE DEMORGAN 10_ (z+x) (x+z+y) (x+z+y) 11_ (ABC) + (AB)+B C 12_ X1 (X2+X3+X4) +X5 X6 13_ P(Q+Y) 14_ (M+B) K+D W 15_ (ABC) (ABC) E 6B_ x+y = xy x+y = xy (x+y) (xy) = 0 x+y + xy = 1 (x+y) (xy) = 0 x+y + xy = 1 (0+y)(x 0) = 0 x(y+y)+y(x+x)+xy = 1 (y) (0) = 0 xy+xy+xy+xy = 1 0 = 0 x(y+y)+x(y+y) = 1 x(1)+x(1) = 1 x+x = 1 EJERCICIOS PROPUESTOS 1_ BC + AC + AB = AB + AC 2_ (A+C) (A+B+C) = (A+C) (B+C) 3_ X1 + X1X2 = X1+X2 4_ (A+B) (A+C) = A + BC 5_ zx + zxy = zx + y 6_ xy + xz + yz = xy +xz 7_ (x+y) (x+y) = x 8_ zx + zxy = zx + zy 9_ X1X2X3 + X1X2 + X1X2X3 + X2X3 (DE DEMORGAN) 10_ (z+x) (x+z+y) (x+z+y) 11_ (ABC)+(AB)+B C 12_ (X1+X2X3X4)+ X5 X6 13_ (X1+X2X3X4) X5+X6 14_ P(Q+Y) 15_ (M+B)K+D W TABLAS DE VERDAD Y MINIMIZACION DE FUNCIONES DE BOOLE CON LA APLICACION DE TEOREMAS 1_ TABLAS DE VERDAD, VERACIDAD O PRUEBA DE INDUCCION PERFECTA. Esta tabla e una forma de comprobación que contiene todas las combinaciones posibles de una función de BOOLE o de un grupo de variables. La forma de cómo se desarrolla una tabla de verdad se describe con el siguiente ejemplo: Ej: desarrolle una tabla de verdad para cuatro variables (A,B,C,D) N variables tiene 2n combinaciones distintas, por lo que para este ejemplo tendremos 24 combinaciones distintas TABLA No 2 2 2 2 A B C D 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 RELACION DE NUMEROS DECIMALES Y SU EQUIVALENCIA A N2 BINARIA 2 2 2 2 2 2 1410 = N2 1 1 1 0 3310 = N2 1 0 0 0 0 1 610 = N2 1 1 0 1010 = N2 1 0 1 0 4310 = N2 1 0 1 0 1 1 4410 = N2 1 0 1 1 0 0 6010 = N2 1 1 1 1 0 0 6310 = N2 1 1 1 1 1 1 ETC N2 6.2. UTILIZACION DE LA TABLA DE VERDAD COMO MEDIO DE VERDAD 6.2.1 COMPROBACION DE TEOREMAS: 1_ XY = X + Y x y x . y F1 x + y F2 0 0 0 . 0 1 1 + 1 1 0 1 0 . 1 1 1 + 0 1 1 0 1 . 0 1 0 + 1 1 1 1 1 . 1 0 0 + 0 0 2_ xy = xy x y x . y F1 x y F2 1 1 1 . 1 0 0 0 0 1 0 1 . 0 1 0 1 0 0 1 0 . 1 1 1 0 0 0 0 0 . 0 1 1 1 1 F1 F2 = :. xy = xy = F1 = F2 3_ xy +xz = (x+z) (x+y) x y z xy + xz F1 (x+z) (x+y) F2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 F1 F2 = :. xy + xz = (x+z) (x+y) 6.3_ MINIMIZACION DE FUNCIONES DE BOOLE CON APLICAION DE TEOREMAS. 1_ A + B + AB + (A+B) AB A+B + AB + AB + AB (A+AB) + (B+AB) A(1+B) + B(1+A) A(1) + B(1) A+B 2_ x + y xy + (x+y)xy x+y + xy + xxy + xyy x + y+xy x(y+y)+ y(x+x)+xy xy+xy+xy+xy+xy xy+xy+xy+xy+xy x(y+y)+x(y+y) x+x 3_ (A+B+AB) (A+B) (AB) (A+B+AB) (0B+A0) (A+B+AB) (0+0) (A+B + AB) (0) 0 + 0 + 0 0 4_ ABC+ABCD+AC ABC(D+D) +ABCD+AC ABCD+ABCD+ABCD+AC ABCD+ABCD+AC AC(1+BC+BD) AC(1) = AC 7_ MINIMIZACION DE FUNCIONES DE BOOLE ATRAVES DE LOS MAPAS DE KARNAUGH (PARA 2,3 Y VARIABLES) 7._ INTRODUCCION Los mapas de KARNAUGH se utilizan para la minimización de funciones de BOOLE. Estos mapas consisten en representar los valores tomados por una función lógica en una tabla rectangular o cuadrara en la cual cada casilla corresponde a una combinación distinta de las variables, esas casilla están dispuestas de tal manera que las combinaciones asociadas a do casilla difieren únicamente por el valor de una variable; en la practica pueden utilizarse llaves que designan las casillas para las cuales c/variable toma el valor de 1. 0 2 6 4 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 3 7 5 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 ABC + ABC = AB(C+C) = AB ABC+ABC=BC(A+A=BC) Los mapas de KARNAUGH tienen 2n casillas en donde n es igual al numero de variables. Estos mapas pueden dibujarse de la siguiente manera: mapas 2 variables. A=0 A=1 A B A B B=0 0 0 1 0 A B A B B=1 0 1 1 1 Mapas para 3 variables (8casilla) A=1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 2 6 4 C=1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 3 7 5 Mapas para cuatro variables (16 casillas) A=1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 4 12 8 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 5 13 9 D=1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 3 7 15 11 C=1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 2 6 14 10 B=1 Las relaciones de las variables que tiene el mapa KARNAUGH no tienen que ser necesariamente las anteriores estas regiones se pueden determinar en otras posiciones siguiendo las siguientes reglas: a) Cada variable debe ocupar la mitad del total de las casillas del mapa. b) Cada variable debe compartir la mitad de sus casillas con el resto de las variables. C 1 0 1 1 9 8 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 A 1 4 1 5 1 3 1 2 B 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 6 7 5 4 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 D Aun cuando las regiones en los mapas no tienen necesariamente una posición fija; es muy conveniente en la minimización de funciones adaptar una posición determinada con la finalidad de adquirir más rapidez en la solución de problemas. Los mapas descritos al inicio de este objetivo son comúnmente usados y llamados por algunos autores mapas estándar Otra forma comúnmente utilizada para elaborar mapas de KARNAUGH es la siguiente: BA 0 1 A B A B 0 0 0 1 0 A B A B 1 0 1 1 1 CAB 00 01 11 10 A B C A B C A B C A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 A B C A B C A B C A B C 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 Mapa para dos variables Mapa para tres variables CDAB 0 0 0 1 1 1 1 0 A B C D A B C D A B C D A B C D 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 A B C D A B C D A B C D A B C D 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 A B C D A B C D A B C D A B C D 11 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 A B C D A B C D A B C D A B C D 10 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 Mapa para cuatro variables Puede decirse que los mapas de KARNAUGH son una forma diagramática de la tabla de verdad. Puesto que todas las combinaciones posibles de un grupo de variables se encuentran contenidas en el mapa. Con el objeto de agilizar la minimización de funciones las casillas de los mapas que en este curso se utilizaran como estándar, que darían numeradas de la siguiente forma. 7.1_ REPRESENTACION DE UNA FUNCION DE BOOLE EN UNA MAPA DE KARNAUGH. SUMA DE - Forma canónica F(A,B,C)= ABC+ABC+ABC PRODUCTOS - Forma binaria F(A,B,C)= 001+011+110+100 1's - Forma técnica F(A,B,C) = Em (1,3,4,6) FUNCIONES - Forma no canónica F(ABC)=ABC+AB+ABC+BC DE BOOLE PRODUCTO - Forma canónica F(ABC)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) DE SUMA - Forma binaria F(ABC)=(1+1+1)(1+0+1)(0+1+0)(1+0+1) 0's - Forma técnica F(ABC)= (0,2,3,4,5) - Forma no canónica F(ABC)=(A+B)(A+B+C)(A+C)(A+B+C) Por lo pronto solo se estudiarían las funciones que representan unos (1’s) en los mapas. Como ya se dijo anteriormente una función de BOOLE puede representar 1’s o 0’s en un mapa; y esto puede realizarse de diversas formas, las cuales explicaremos con los siguientes ejemplos: Representar en un mapa la siguiente funcion: F= ABC+ABC+ABC+ABC F=(x,y,z,w)= Em (0,3,5,6,7,11,13,15) ZWXY 00 01 11 10 00 1 01 1 1 11 1 1 1 1 10 1 A 1 1 1 C 1 B 7.2_ ASOCIACION DE 1’s EN LOS MAPAS En un mapa de KARNAUGH se pueden asociar los 1’s que se encuentren en casillas adyacentes o vecinas. La adyacencia o vecindad entre dos casillas puede ser de manera vertical u horizontal, y en términos generales se dice que 2 o mas casillas son adyacentes si solo difieren en l valor de una variable. .- Se pueden asociar 1’s en cantidades que provengan de 2n. .- Un 1 puede formar parte en más de una ocasión. .- Debe asociarse siempre la mayor cantidad permitida de 1’s y no cometer redundancias. Ej:1) F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC A 1 1 1 1 C 1 B FUNCION MINIMIZADA F C + AB 2._ F= ABC+AC+BC+ABC A 1 1 C 1 1 1 B FUNCION MINIMIZADA F=AB+BC+AB A 1 1 C 1 1 1 1 B 3._ F=BC+AB+BC+AC FUNCION MINIMIZADA F=B+C 4._ F(w,x,y,z)= Em(3,4,5,7,11,12,14,15) YZWX 00 01 11 10 00 1 1 01 1 11 1 1 1 1 10 1 FUNCION MINIMIZADA F = yz + wxy + wxz 5._ f(X0,X1,X2,X3) = Em (0,2,10,11,12,14) X2X3X0X1 0 1 11 10 0 1 1 1 11 1 10 1 1 1 FUNCION MINIMIZADA F= X0X1X3 + X0X1X2 + X0X1X2 6._ F=ABCD+ABC+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD A 1 1 D C 1 1 1 1 1 1 B FUNCION MINIMIZADA F= CD+BD 7.3 ASOCIACION COMUN DE 1’s EN LOS MAPAS DE 3 VARIABLES 1. 1 1 1 2. 1 1 1 3. 1 1 1 1 4. 1 1 5. 1 1 1 1 7.4_ ASOCIACION COMUN DE 1’s EN LOS MAPAS DE 4 VARIABLES 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 2. 1 1 1 1 3. 1 1 1 1 1 1 1 1 4. 1 1 1 1 1 1 5. 1 1 1 1 1 1 1 1 7.4_ PROBLEMAS PROPUESTOS a) F(W,X,Y,Z) =Em (3,4,5,7,11,12,14,15) b) F=ABCD+ABC+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD c) F= ABCD+ABCD+ABCD+ABC+ABCD+ABCD+ACD+ABCD d) F(K,L,M,N) = Em (0,4,6,10,11,13) e) F=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD f) F(A,B,C,D)= Em (1,5,6,7,11,12,13,15) g) F(X,Y,Z,W)= Em (0,1,2,4,5,8,10) 8._ FUNCION LOGICAS 0 0 VOLTIOS (TEORICO) PRACTICO 0 a 1.2V 1 3.6 VOLTIOS (RIORICO) PRACTICO 3.6 a 9V 8.1._ COMPUERTAS 8.1.1 COMPUERTAS BASICAS NOT (NO) AND (Y) OR (Ó) 8.1.2 COMPUERTAS NO BASICAS NAND MOR OR EXCLUSIVO 8.1.3 OPERACIÓN DE LAS COMPUERTAS BASICAS NOT SIMBOLO OPERACIÓN (INVERTIDO COMPLEMENTAR) TABLA DE VERDAD X F=X 0 1 1 0 AND SIMBOLO OPERACIÓN (MULTIPLICACION) TALA DE VERDAD A B F = A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 OR SIMBOLO OPERACIÓN (SUMA) TABLA DE VERDAD A B F= A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 + + 8.1.4 OPERACIONDE LA COMPUERTAS NO BASICAS NAND SIMBOLO OPERACION (MULTIPLICACION Y COMPLEMENTA) COMPLEMENTA EL PRODUCTO TABLA DE VERDAD A B F = A B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 NOR SIMBOLO OPERACIÓN: SUMA Y COMPLEMENTA (COMPLEMENTA LA SUMA) TABLA DE VERDAD A B F = A+B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 OR EXCLUSIVO (XOR) SIMBOLO OPERACIÓN: SACA UN (1) CUANDO EXCLUSIVAMENTE UNA DE SUS ENTRADAS ES UN (1) A B F = AB+ AB 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 TABLA DE VERDAD 8.1.3. IMPLEMENTACION DE FUNCIONES DE BOOLE Implementar una función de BOOLE es llenarla a la practica por medio de un circuito que puede ser electrónico hidráulico, neumático o electrónico a base de compuertas lógicas. Ej. Implementar la sig. Función por medio de compuertas lógicas 1._ F= X0 X1 X3 + X0 X1 X3 + X0 X1 X2 2._ IMPLEMENTAR LA SIGUIENTE FUNCION F= YZ + XWZ + XYW 3._ IMPLEMENTAR LA SIGUIENTE FUNCION CON LAS RESTRICCIONES INICIALES 2 SALIDAS. 3_ F= (A+D) (A+B)(B+D)(A+B+C) 4_ IMPLEMENTAR LA SIGUIENTE FUNCION CON COMPUERTAS OR Y NOT F= A B C = A+B+C 5_ IMPLEMENTAR LA SIGUIENTE FUNCION CON COMPUERTAS AND Y NOT F= (X+Y+Z) (X+Y+Z)= XYZ+ XYZ 6_ Se tienen 2 números de 2 bits cada uno: a que estará formado por A1 A0 y B que estará formado por B1 B0 diseñe un circuito que indique con un uno”1” cuando se cumpla cada una de las siguientes condiciones: a) Que A =B b) Que A< B c) Que A> B A B A1 A0 B1 B0 Fa Fb Fc 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 0 0 1 0 3 0 0 1 1 0 1 0 4 0 1 0 0 0 0 1 5 0 1 0 1 1 0 0 6 0 1 1 0 0 1 0 7 0 1 1 1 0 1 0 8 1 0 0 0 0 0 1 9 1 0 0 1 0 0 1 10 1 0 1 0 1 0 0 11 1 0 1 1 0 1 0 12 1 1 0 0 0 0 1 13 1 1 0 1 0 0 1 14 1 1 1 0 0 0 1 15 1 1 1 1 1 0 0 B1B0A1A0 00 01 11 10 00 1 01 1 11 1 10 1 A=B F=Em (0,5,10,15) F= A+A0B1B0+A1A0B1B0+A1A0B1B0+A1A0B1B0 B1B0A1A0 00 01 11 10 00 01 1 11 1 1 10 1 1 AB F= Em (4,8,9,12,13,14) F= A1 B1+ A0 B1 B0 + A1 A0 B0 DISEÑAR UN GENERADOR DE PARIDAD PAR Y OTRP GENERADOR DE PARTIDA IMPAR, PARA 4 BITS tomando en consideración la serie de unos o que integran c/series de bits y haga que el cuanto corra en una sola salida. F(A,B,C,D) = (1,2,4,6,7,8,9,11,12,14) = (1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14) A B C D F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 1 5 0 1 0 1 0 6 0 1 1 0 1 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 1 9 1 0 0 1 1 10 1 0 1 0 0 11 1 0 1 1 1 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 1 15 1 1 1 1 0 CDAB 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 1 11 1 1 10 1 1 1 F= AC+D+ABD+ABC+ACD+BCD CDAB 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 1 11 1 1 1 10 1 1 F= AC+AC+BD+BD F= (A,B,C,D)=(0,3,5,10,15) F(A,B,C,D)=(0,5,10,15) CDAB 00 01 11 10 00 1 01 1 11 1 10 1 CDAB 00 01 11 10 00 1 01 1 11 1 1 10 1 F=ABCD+ABCD+ABC+BCD F=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD PROBLEMAS PROPUESTOS 1._ Se desea minimizar para luego implementar con compuertas lógicas básicas las siguientes BOOLEANAS: a) ABCD+ ABCD +ABCD + ABCD + ABCD + ABCD+ ABCD b) F(K,L,M,N)=Em (0,4,6,10,11,13) c) F(A,B,C,D)= Em (0,1,3,5,7,9,11,13,15) d) F(X0,X1,X2,X3)=Em(1,4,5,8,9,11,12,14,15) e) F= ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABCD 2._ Diseñar un circuito detector de números primos (que reconozca los números primos con un cero) 3._ Diseñe un circuito detector de números pares y nomes (pares con 0’s y nomes con 1’s) 9._ INTERPRETAR DE LOS TEOREMAS DE LOS MINITERMINOS Y MAXTERMINOS A parir de la siguiente tabla de verdad obtenga la siguiente función; una con minitérminos (1’s) y otra con maxtérminos (0’s) X Y Z F MINITERMINOS MAXTERMINOS 0 0 0 0 0 X+Y+Z 1 0 0 1 1 X Y Z 2 0 1 0 0 X+Y+Z 3 0 1 1 0 X+Y+Z 4 1 0 0 1 X Y Z 5 1 0 1 0 X+Y+Z 6 1 1 0 1 X Y Z 7 1 1 1 0 X+Y+Z :. Fmin = XYZ+XYZ+XYZ F(X,Y,Z)=Em (1,4,6) Fmax = (X+Y+Z) (X+Y+Z) (X+Y+Z) (X+Y+Z) (X+Y+Z)= (0,2,3,5,7) NOTAS: 1._ Breve explicación de los minitérminos: Cada ves que la función tome un (1’s) se formara un termino que es el producto de las variables de que consta la función; complementando las variables que en esa connimacion valgan 0’s y dejando tal cual las variables que valgan 1’s 2._ Breve explicación de los maxtérninos: Cada vez que la función tome el valor de 0’s se formara un maxtérmino, el cual será la suma de las variables que consta la función; complementando todas las variable que en esa combinación valgan 1’s. la función maxtérminos se formara del producto de todas las sumas obtenidas. zxy 00 01 11 10 0 1 1 1 1 Fmin = xz + xyz zxy 00 01 11 10 0 0 0 1 0 0 0 Fmax = (x+z) (x+z) (x+y) Maximizar con maxtérminos lo siguiente función F= (A+B+C) (A+B+C+D) (A+B+C+D) (A+B+C+D) (A+B+C+D) (A+B+C) 1 2 3 4 5 6 CDAB0 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 0 1 1 0 11 0 0 0 0 10 1 1 1 1 Fmax M= (C+D)(B+C) Fmin = CD +BC Ej_ Función (A,B,C,D) = (1,3,4,5,6,7,8,9,13,15) CD AB 00 01 11 10 00 0 0 01 0 0 0 0 11 0 0 0 10 0 Función M= (A+D)(B+D)(A+B)(A+B+C) Ej. F(XYZW)= (0,2,8,12,13) X 00 01 11 10 00 0 0 0 01 0 W 11 Z 10 0 Y Fmin M= (X+YW)(Y+Z+W)(X+Y+Z) PROBLEMAS: De las siguientes funciones obtenga los maxitérminos y los minitérminos primero obtenga los maxitérminos y luego los minitérminos: a) F(A,B,C,D)= M(0,2,6,10,14,15,9,1) b) F(X,Y,Z,W)= M(1,4,6,5,2,14,12,10,15) c) F(A,B,C,D)= M(2,6,8,9,10,11,13,14,15) d) F(X,Y,Z,W)= M(3,4,5,9,14,15,11,10,7) 10._IMPLEMENTACION DE FUNCIONES UTILIZANDO SOLO COMPUERTAS NAND O SOLO COMPUERTAS NOR 10.1_ FORMULAS PARA IMPLEMENTAR CON NAND SIMBOLO ALGEBRAICO NAND / a) X= X/1 b) X.Y.Z =(X/Y/Z)/1 c) X+Y+Z=(X/1)(Y/1)(Z/1) Ó (X/Y/Z) d) SUMA DE PRODUCTOS AB+CDE+F= (A/B)/(C/D/E)/F e) PRODUCTO DE SUMAS (A+B)(C+D+E)(F)= (A/B)(C/D/E)/F/1 PROBLEMAS PROPUESTOS: 1._ Implementar con NAND’S F=BD+BC+ABCD=(B/D)/(B/C)/(A/B/C/D) 2._ Implementar con NAND’S la siguiente función F=(X+Z)(X+Y)(Y+W) = (X/Z)/(X/Y)(Y/W) /1 3._ Implementar con NAND’S la siguiente función: F= (A+B+C+D)(B+D)(B+C) = (A/B/C/D)(B/D)(B/C)/1 10.2_ FORMULAS PARA IMPLEMENTAR CON NOR’S SIMBOLO ALGEBRAICO a) A = A 0 ó A A b) MULTIPLICACION ABC = A B C c) SUMA A+B+C= (A+B+C) 0 d) SUMA DE PRODUCTOS AB+CDE+F= (A B)( C D E ) F 0 e) PRODUCTO DE SUMAS (A+B)(C+D+E)(F)(A B)(C D E ) F PROBLEMAS PROPUESTOS: a) Los 2 ejercicios efectuados anteriormente con NAND ahora realícelos con NOR (aplicar las formulas dadas) b) Realizar llos siguientes problemas con compuertas NAN’S y NOR’S b.1_ F= A B C D b.2_ F= A+B+C+D b.3_ F= ABC+ ABC+ BC+ AC b.4_ F=(A+B)(B+C+D)(D+E) b.5_ F=AB+A+D+ABC+E 11._ MINIMIZACION DE FUNCIONESDE 5 VARIABLES CON MAPAS DE KARNAUGH. El mapa de cinco variables que usaremos en este curso estar estructurado de la siguiente forma. A=0 A B 0 4 12 8 1 5 13 9 E D 3 7 15 11 2 6 14 10 C B 16 20 28 24 17 21 29 25 E D 19 23 31 27 18 22 30 26 C DEBC 00 01 11 10 00 00000 00100 01100 01000 01 00001 00101 01101 01001 11 00011 00111 01111 01011 10 00010 00110 01110 01010 DEBC 00 01 11 10 00 10000 10100 11100 11000 01 10001 10101 11101 11001 11 10011 10111 11111 11011 10 10010 10110 11110 11010 A=0 A=1 La adyacencia en este caso puede se da dos formas en cada mapa y entre mapas. En cada mapa seria igual que en mapas de 4 variables; entre mapas la adyacencia puede determinarse de manera rápida y sencilla imaginándonos que uno de los 2 mapas es todo y colocado sobre el otro, y las casillas que queden encima son adyacente o vecinas por ejemplo la casilla 0-16,1-17 ,11-27,8-24, etc todas las reglas aplicadas para los mapas de cuatro variables son validas a las de n variables. Debe notarse que mapa de 5 variables no es mas que una de 4 repetida 2 veces. 1_ Ej minimizar en mapas de KARNAUG la siguiente función: F(x,y,z,w,v)= Em(1,3,4,5,7,8,9,10,12,13,21,24,25,26,28,29) W VYZ 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 1 1 11 1 1 10 1 wvyz 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 1 11 10 1 F = Em(I,II,II,IV,V) I = Y W II= Y Z V III= Z W V IV=X W V= X Y V 2._ F= ACDE+ABCDE+BCDE+ACD+ABCD+ABCD+ABCDE+ABCDE+ACDC+ABCDE 0 1 11 10 0 1 1 1 1 1 11 1 10 1 1 1 A=0 A=B DEBC 00 01 11 10 00 1 1 1 01 1 11 1 1 1 10 1 1 1 I=BE II=CE III=ABD IV=BCD V=BCDE TRABAJO 1._ F(XYZWV)=Em(0,4,6,8,9,10,13,14,15,17,23,26,29,30) 2._ F(A,B,C,D,E)=Em (1,6,10,14,15,20,23,24,27,30,31) 3._ F=ABCD+ABC+ABCD+BCDE+CDE+ACDE 4._ F=ACD+ABCD+ABCD+ABC+BCDE+ABCDE+CDE 5._ F= ACDE+ABCD+ABCD+ABC+ABCDE+ABCDE+d(ABC+ACD+ABCD+ABCDE+ABCDE FUNCIONES IMCOMPLETAS ESPECIFICADAS: P A Q F 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 0 6 1 1 0 X 7 1 1 1 X QPA 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 = F= PQ+PA 00 01 11 10 0 1 X 1 1 1 X EXPRESIONES TECNICA F(P,A,Q)=Em(1,2,3)+d(6,7) Obtener la realización mínima de suma de productos de la F=(A,B,C,D,E)=Emin(1,2,3,4,5,11,18,19,20,21,22,23,31)+d(0,1,2,15,27,30) A=0 A=1 00 01 11 10 00 X 1 X 01 1 1 11 1 X 1 10 1 00 01 11 10 00 1 01 1 11 1 1 1 X 10 1 1 X F= ABC+BDE+BCD+ABD UNIDAD III 3._ CIRCUITOS DE SALIDA MULTIPLES, CONTADORES EMPAQUETADOS Y EXHIBIDORES CON 7 SEGMENTOS (DISPLAY). 3.1._ CIRCUITOS DE SALIDA MULTIPLE: a) CIRCUITO DE SALIDA UNICA b) CIRCUITO DE SALIDA MULTIPLE -SALIDA UNICA -COMBINACIONALES -SALIDA MULTIPLE c) CIRCUITO LOGICOS -SECUENCIALES CIRCUITO DE SALIDA MULTIPLE