Arquímedes
Arquímedes de Siracusa (en griego antiguo Ἀρχιμήδης) (c. 287 a. C. – c. 212 a. C.) fue un matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad clásica. Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Es reconocido por haber diseñado innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre. Generalmente, se considera a Arquímedes como el matemático más grande de la antigüedad, y uno de los más grandes de la historia.
Biografía
Arquímedes nació c. 287 a. C. en el puerto marítimo de Siracusa (Sicilia, Italia), ciudad que en aquel tiempo era una colonia de la Magna Grecia. Es posible que, durante su juventud, Arquímedes estudiase en Alejandría, en Egipto.
En mecánica, Arquímedes definió la ley de la palanca y se le reconoce como el inventor de la polea compuesta. Durante su estancia en Egipto inventó el ‘tornillo sin fin’ para elevar el agua de nivel, sacándola de un río. Su célebre frase: “Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”, resume el principio de la palanca. Como el rey Hierón lo puso en duda, Arquímedes pidió que se cargara un barco con pasajeros y abundantes mercancías, de manera que harían falta muchos hombres para, tirando de él, sacarlo del agua y dejarlo varado sobre el muelle. Arquímedes, sentado a cierta distancia en una silla, tirando gradualmente y sin esfuerzo de los extremos de las cuerdas que pasaban por un sistema de poleas, arrastró el barco en línea recta, sacándolo del agua. Se cuenta que Hierón publicó al día siguiente un edicto por el que a partir de ese día, todo lo que dijera Arquímedes se considerara cierto.
Arquímedes pasó la mayor parte de su vida en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores, dedicado a la investigación y los experimentos. Aunque no tuvo ningún cargo público, durante la conquista de Sicilia por los romanos se puso a disposición de las autoridades de la ciudad y muchos de sus instrumentos mecánicos se utilizaron en la defensa de Siracusa. Entre la maquinaria de guerra cuya invención se le atribuye está la catapulta y un sistema de espejos —quizá legendario— que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol.
Al ser conquistada Siracusa, durante la segunda Guerra Púnica, fue asesinado por un soldado romano que le encontró dibujando un diagrama matemático en la arena. Se cuenta que Arquímedes estaba tan absorto en las operaciones que ofendió al intruso al decirle: “No desordenes mis diagramas”. En un mosaico hallado en las ruinas de Herculano aparece representada esta escena.
Se calcula que Arquímedes vivió hasta la edad de 75 años. Se desconoce varios aspectos de su vida, por ejemplo, si alguna vez se casó o tuvo hijos.
Escritos
Las obras de Arquímedes fueron originalmente escritas en griego dórico, el dialecto hablado en la antigua Siracusa.
El trabajo escrito de Arquímedes no se ha conservado tan bien como el de Euclides, y siete de sus tratados sólo se conocen a través de referencias hechas por otros autores. Pappus de Alejandría, por ejemplo, menciona Sobre hacer esferas y otro trabajo sobre poliedros, mientras que Teón de Alejandría cita un comentario sobre la refracción de una obra perdida titulada Catoptrica. Durante su vida, Arquímedes difundió los resultados de su trabajo a través de la correspondencia que mantenía con los matemáticos de Alejandría. Los escritos de Arquímedes fueron recolectados por el arquitecto bizantino Isidoro de Mileto (c. 530 d. C.), mientras que los comentarios sobre los trabajos de Arquímedes escritos por Eutocio en el siglo VI ayudaron a difundir su trabajo a un público más amplio. La obra de Arquímedes fue traducida al árabe por Thābit ibn Qurra (836–901 d. C.), y al latín por Gerardo de Cremona (c. 1114–1187 d. C.). Durante el Renacimiento, en 1544, el Editio Princeps (Primera edición) fue publicado por Johann Herwagen en Basilea, con la obra de Arquímedes en griego y latín. Alrededor del año 1586, Galileo Galilei inventó una balanza hidrostática para pesar metales en aire y agua que aparentemente estaba inspirada en la obra de Arquímedes.
Trabajos conservados
1. Sobre el equilibrio de los planos (dos volúmenes)
El primer libro consta de quince proposiciones con siete axiomas, mientras que el segundo consta de diez proposiciones. En esta obra, Arquímedes explica la ley de la palanca, afirmando lo siguiente:
Las magnitudes están en equilibrio a distancias recíprocamente proporcionales a sus pesos.
Arquímedes usa los principios derivados para calcular las áreas y los centros de gravedad de varias figuras geométricas, incluyendo triángulos, paralelogramos y parábolas.
2. Sobre la medida de un círculo
Se trata de una obra corta, consistente en tres proposiciones. Está escrito en forma de una carta a Dositeo de Pelusio, un alumno de Conón de Samos. En la proposición II, Arquímedes muestra que el valor del número π (Pi) es mayor que 223/71 y menor que 22/7. Esta cifra fue utilizada como aproximación de π a lo largo de la Edad Media e incluso aún hoy se utiliza cuando se requiere de una cifra aproximada.
3. Sobre las espirales
Esta obra, compuesta de 28 proposiciones, también está dirigida a Dositeo. El tratado define lo que hoy se conoce como la espiral de Arquímedes. Esta espiral representa el lugar geométrico en el que se ubican los puntos correspondientes a las posiciones de un punto que es desplazado hacia afuera desde un punto fijo con una velocidad constante y a lo largo de una línea que rota con una velocidad angular constante. En coordenadas polares, (r, θ) la elipse puede definirse a través de la ecuación
siendo a y b números reales. Este es uno de los primeros ejemplos en los que un matemático griego define una curva mecánica (una curva trazada por un punto en movimiento).
4. Sobre la esfera y el cilindro (dos volúmenes)
En este tratado, dirigido también a Dositeo, Arquímedes llega a la conclusión matemática de la que estaría más orgulloso, esto es, la relación entre una esfera y un cilindro cirscunscrito con la misma altura y diámetro. El volumen es para la esfera, y 2πr3 para el cilindro. El área de la superficie es 4πr2 para la esfera, y 6πr2 para el cilindro (incluyendo sus dos bases), donde r es el radio de la esfera y del cilindro. La esfera tiene un área y un volumen equivalentes a dos tercios de los del cilindro. A pedido del propio Arquímedes, se colocaron sobre su tumba las esculturas de estos dos cuerpos geométricos.
5. Sobre los conoides y esferoides
Este es un trabajo en 32 proposiciones y también dirigido a Dositeo en el que Arquímedes calcula las áreas y los volúmenes de las secciones de conos, esferas y paraboloides.
6. Sobre los cuerpos flotantes (dos volúmenes)
En la primera parte de este tratado, Arquímedes explica la ley del equilibrio de los fluidos, y prueba que el agua adopta una forma esférica alrededor de un centro de gravedad. Esto puede haber sido un intento de explicar las teorías de astrónomos griegos contemporáneos, como Eratóstenes, que afirmaban que la tierra es esférica. Los fluidos descritos por Arquímedes no son auto-gravitatorios, debido a que él asume la existencia de un punto hacia el cual caen todas las cosas, del cual deriva la forma esférica.
En la segunda parte, Arquímedes calcula las posiciones de equilibrio de las secciones de los paraboloides. Esto fue, probablemente, una idealización de las formas de los cascos de los barcos. Algunas de sus secciones flotan con la base bajo el agua y la parte superior sobre el agua, de una manera similar a como flotan los icebergs. Arquímedes define en su obra el principio de flotabilidad de la siguiente manera:
Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.
7. La cuadratura de la parábola
En este trabajo de 24 proposiciones, dirigido a Dositeo, Arquímedes prueba a través de dos métodos distintos que el área cercada por una parábola y una línea recta es 4/3 multiplicado por el área de un triángulo de igual base y altura. Obtiene este resultado calculando el valor de una serie geométrica que suma al infinito con el radio 1/4.
8. [O)stomachion
En esta obra, cuyo tratado más completo que lo describe se encontró dentro del Palimpsesto de Arquímedes, Arquímedes presenta un rompecabezas de disección similar a un Tangram. Arquímedes calcula las áreas de 14 piezas que pueden ser ensambladas para formar un cuadrado. Una investigación publicada en 2003 por el Doctor Dr. Reviel Netz de la Universidad de Stanford argumentaba que Arquímedes estaba intentando determinar en cuántas formas se podía ensamblar las piezas para formar un cuadrado. Según Netz, las piezas pueden formar un cuadrado de 17.152 maneras distintas. El número de disposiciones se reduce a 536 cuando se excluyen las soluciones que son equivalentes por rotación y reflexión. Este puzle representa un ejemplo temprano de un problema de combinatoria.
El origen del nombre del puzzle es incierto; se ha sugerido que puede haber surgido de la palabra griega para garganta, stómakhos (στόμαχος). Ausonio se refiere al puzzle como Ostomachion, una palabra griega compuesta por las raíces ὀστέον (osteon, ‘hueso’) y μάχη (machē, ‘lucha’). El puzzle es también conocido como el Loculus de Arquímedes o como la Caja de Arquímedes.
9. El problema del ganado de Arquímedes
Esta obra fue descubierta por Gotthold Ephraim Lessing en un manuscrito griego consistente en un poema de 44 líneas, en la Herzog August Library en Wolfenbüttel, Alemania, en 1773. Está dirigida a Eratóstenes y a los matemáticos de Alejandría y, en ella, Arquímedes los reta a contar el número de reses en la Manada del Sol, resolviendo un número de ecuaciones diofánticas simultáneas. Hay una versión más difícil del problema en la cual se requiere que algunas de las respuestas sean números cuadrados. Esta versión del problema fue resuelta por primera vez por A. Amthor en 1880, y la respuesta es un número muy grande, aproximadamente 7,760271×10206544
10. El contador de arena
En este tratado, Arquímedes cuenta el número de granos de arena que entrarían en el universo. Este libro menciona la teoría heliocéntrica del Sistema solar propuesta por Aristarco de Samos, e ideas contemporáneas acerca del tamaño de la Tierra y las distancias de varios cuerpos celestes. Usando un sistema de números basado en la capacidad de la miríada, Arquímedes concluye que el número de granos de arena que se requerirían para llenar el universo sería de 8×1063, en notación moderna. La carta introductoria afirma que el padre de Arquímedes era un astrónomo llamado Phidias. El contador de arena o Psammites es la única obra superviviente de Arquímedes en la que se trata su visión de la astronomía.
11. El método de teoremas mecánicos
Este tratado, que se considerado perdido, fue reencontrado gracias al descubrimiento del Palimpsesto de Arquímedes en 1906. En esta obra, Arquímedes emplea el cálculo infinitesimal, y muestra cómo el método de fraccionar una figura en un número infinito de partes infinitamente pequeñas puede ser usado para calcular su área o volumen. Arquímedes pudo haber considerado que este método carecía del su ficiente rigor formal, por lo que utilizó también el método de exhausción para llegar a los resultados. Al igual que El problema del ganado, El método de teoremas mecánicos fue escrito en forma de una carta dirigida a Eratóstenes de Alejandría.
Descubrimientos
La corona de oro
Arquímedes es conocido sobre todo por el descubrimiento de la ley fundamental de la hidrostática, el llamado principio de Arquímedes, que establece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja. Se dice que este descubrimiento lo hizo mientras se bañaba, al comprobar cómo el agua se desplazaba y se desbordaba; sorprendido por su hallazgo saltó fuera de la bañera, y corrió por las calles de Siracusa gritando: “¡Eureka!, ¡Eureka!”, que significa “lo encontré”. Aplicando este principio comprobó que la corona de oro que había mandado fabricar su protector, el rey Hierón, no tenía la misma densidad que el oro puro, por lo que supo que el orfebre le había engañado, no había utilizado solamente el oro que el rey le había proporcionado.
Resumen: Sobre la corona actúan dos fuerzas, su peso (la fuerza con que lo atrae la Tierra) y el empuje (la fuerza que hace hacia arriba el agua).
Si el peso es mayor que el empuje, la corona se hunde. En caso contrario flota y si son iguales, queda entre dos aguas.
El tornillo de arquimides
Una gran parte del trabajo de Arquímedes en el campo de la ingeniería surgió para satisfacer las necesidades de su ciudad natal, Siracusa. El escritor griego Ateneo de Náucratis describía cómo Hierón II le encargó a Arquímedes el diseño de un enorme barco, el Siracusia, barco que podría ser usado para viajes lujosos, cargar suministros y como barco de guerra. Se dice que el Siracusia fue el barco más grande de la antigüedad clásica.
Según Ateneo, era capaz de cargar 600 personas e incluía entre sus instalaciones jardines decorativos, un gimnasio y un templo dedicado a la diosa Afrodita. Debido a que un barco de esta envergadura dejaría pasar grandes cantidades de agua a través del casco, el tornillo de Arquímedes supuestamente fue inventado a fin de extraer el agua de la sentina.
La máquina de Arquímedes era un mecanismo con una hoja con forma de tornillo dentro de un cilindro. Se hacía girar a mano, y también podía utilizarse para transferir agua desde masas de aguas bajas a canales de irrigación. De hecho, el tornillo de Arquímedes sigue usándose hoy en día para bombear líquidos y sólidos semifluidos, como carbón y cereales. El tornillo de Arquímedes, tal como lo describió Marco Vitruvio en los tiempos de Roma, puede haber sido una mejora del tornillo de bombeo que fue usado para irrigar los jardines colgantes de Babilonia.
La garra de Arquímedes
La garra de Arquímedes es un arma que supuestamente fue diseñada por Arquímedes para defender la ciudad de Siracusa del asedio al que la habían sometido los romanos. También conocida como "el agitador de barcos", la garra consistía en un brazo semejante a una grúa del cual pendía un enorme gancho de metal. Cuando se dejaba caer la garra sobre un barco enemigo el brazo se balancearía en sentido ascendente, levantando el barco fuera del agua y posiblemente hundiéndolo. Ha habido experimentos modernos con la finalidad de probar la viabilidad de la garra, y en un documental del año 2005 titulado Superarmas del mundo antiguo (Superweapons of the Ancient World) se construyó una versión de la garra y se concluyó que era un dispositivo factible.
El rayo de calor de Arquímedes, ¿mito o realidad?
Luciano de Samosata, historiador del siglo II, escribió que, durante el sitio de Siracusa (213-211 a. C.), Arquímedes repelió un ataque llevado a cabo por soldados romanos con fuego. Siglos más tarde, Antemio de Tralles menciona los espejos ustorios como arma utilizada por Arquímedes. El artefacto, que en ocasiones es denominado como el "rayo de calor de Arquímedes", servía para enfocar la luz solar en los barcos que se acercaban, haciendo que estos ardieran.
La credibilidad de esta historia ha sido objeto de debate desde el Renacimiento. René Descartes la rechazó como falsa, mientras que investigadores modernos han intentado recrear el efecto considerando para ello tan sólo las capacidades técnicas de las que disponía Arquímedes. Se ha sugerido que una gran cantidad de escudos bien pulidos de bronce o cobre podrían haber sido utilizados como espejos, para así enfocar la luz solar hacia un solo barco. De este modo se habría podido utilizar el principio del reflector parabólico, en una manera similar a un horno solar.
En 1973 el científico griego Ioannis Sakkas llevó a cabo una prueba del rayo de calor de Arquímedes. El experimento tuvo lugar en la base naval de Skaramangas, en las afueras de Atenas, y en esta ocasión se usaron 70 espejos, cada uno cubierto con una cubierta de cobre y con alrededor de 1,5 m de alto y 1 m de ancho. Los espejos se dirigieron contra una maqueta de madera contrachapada de un barco de guerra romano a una distancia de alrededor de 50 m. Cuando los espejos fueron enfocados con precisión, el barco ardió en llamas en cuestión de unos pocos segundos. La maqueta estaba pintada con una capa de betún, lo cual podría haber ayudado a la combustión.
En octubre de 2005 un grupo de estudiantes del Instituto Tecnológico de Massachusetts llevó a cabo un experimento con 127 espejos cuadrados de 30 cm de lado enfocados en una maqueta de madera de un barco a una distancia de 30 m. Brotaron llamas en una parte del barco, pero únicamente después de que el cielo se despejara y de que el barco permaneciera inmóvil alrededor de diez minutos. Se concluyó que el arma era un mecanismo viable bajo estas condiciones. El grupo del instituto repitió el experimento para el show televisivo MythBusters (cazadores de mitos), usando un barco de pesca de madera como blanco, en San Francisco. Nuevamente hubo carbonización, además de una pequeña cantidad de llamas. Para prenderse fuego, la madera necesita alcanzar su punto de inflamabilidad, el cual ronda los 300 °C.
Cuando los cazadores de mitos emitieron el experimento llevado a cabo en San Francisco en enero de 2006, la afirmación fue categorizada como mentira, debido a la duración del tiempo y el clima necesarios para la combustión. También señalaron que, debido a que Siracusa mira el mar hacia el Este, la flota romana debería haber atacado durante la mañana para una óptima reflexión de la luz por los espejos. Además, armas convencionales como flechas en llamas o catapultas hubieran sido una forma mucho más fácil de prender fuego un barco a cortas distancias.
El Palimpsesto de Arquímedes
El Palimpsesto de Arquímedes es una de las principales fuentes a partir de las cuales se conoce la obra de Arquímedes. En 1906, el profesor Johan Ludvig Heiberg visitó Constantinopla y examinó un pergamino de piel de cabra de 174 páginas con oraciones escritas en el siglo XIII d. C. Descubrió que se trataba de un palimpsesto, un documento con texto que ha sido sobreescrito encima de una obra anterior borrada. Los palimpsestos se creaban mediante el rascado de la tinta de obras existentes para luego reusar el material sobre el que estaban impresas, lo cual era una práctica común en la Edad Media debido a que el papel vitela era caro. Las obras más viejas que se podían encontrar en el palimpsesto fueron identificadas por los académicos como copias del siglo X de tratados de Arquímedes que anteriormente eran desconocidos. El pergamino pasó cientos de años en la biblioteca de un monasterio de Constantinopla, antes de ser vendido a un coleccionista privado en la década de 1920. El 29 de octubre de 1998 fue vendido en una subasta a un comprador anónimo por dos millones de dólares en Christie's, Nueva York. El palimpsesto contiene siete tratados, incluyendo la única copia hasta entonces conocida de la obra Sobre los cuerpos flotantes en el original en griego. Es también la única fuente de El método de los teoremas mecánicos, al que se refirió Suidas y que se creyó perdido para siempre. Stomachion también fue descubierto en el palimpsesto, con un análisis más completo del puzzle que el que se podía encontrar en textos anteriores.
El palimpsesto está guardado en el Walters Art Museum en Baltimore, Maryland, donde ha pasado por diversas pruebas modernas, incluyendo el uso de luz ultravioleta y de rayos X para leer el texto sobrescrito.
Los tratados que contiene el Palimpsesto de Arquímedes son: Sobre el equilibrio de los planos, Sobre las espirales, Medida de un círculo, Sobre la esfera y el cilindro, Sobre los cuerpos flotantes, El método de los teoremas mecánicos y Stomachion.
Reconocimientos
En 1935 se decide en su honor llamarle «Arquímedes» a un cráter lunar (29.7° N, 4.0° W) ubicado en la zona oriental del Mare Imbrium. También lleva su nombre la cordillera lunar «Montes de Arquímides» (25.3° N, 4.6° W). El asteroide 3600 Arquímedes fue también nombrado debido a él. También el asteroide 3600 Archimedes recibió ese nombre en su honor.
La Medalla Fields, galardón otorgado a los logros matemáticos más destacados, lleva un retrato de Arquímedes, junto con su prueba acerca de la relación matemática entre las áreas y volúmenes de la esfera y el cilindro. La inscripción alrededor de la cabeza de Arquímedes es una cita atribuida a él, que dice en latín: "Transire suum pectus mundoque potiri" (Superarse uno mismo y dominar el mundo).
Arquímedes ha aparecido en emisiones de sellos de Alemania del Este (1973), Grecia (1983), Italia (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982), y España (1963).
La exclamación ¡Eureka!, atribuida a Arquímedes, es el lema del estado de California. En este caso, sin embargo, la palabra hace referencia al momento del descubrimento de oro cerca de Sutter's Mill en 1848, que desató la Fiebre del oro en California.
Fuente
"Arquímedes." Microsoft® Student 2008 . Microsoft Corporation, 2007.
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