El término de proporción, tomado de las matemáticas, designa una relación de magnitud entre las diferentes partes de un todo. Su aplicación se extiende a todos los saberes cuantificables y dio lugar, en el transcurso de los siglos, a desarrollos la mayoría de las veces místicos.
El número áureo está presente en las obras de arte del Egipto antiguo. Su teoría es expuesta por primera vez en Elementos de geometría de Euclides, en el siglo III antes de Cristo, pero esta obra es, en realidad, una síntesis del pensamiento matemático griego de épocas anteriores. En este caso, las ideas sobre el número áureo están inspiradas en el pensamiento del matemático Pitágoras, fundador, en el siglo VI, de una escuela científica y mística destinada a ejercer una influencia considerable sobre el pensamiento antiguo y moderno.
Los misterios de los números:
Una tradición muy antigua, de Egipto al cristianismo, asocia a cada uno de los diez primeros números un valor simbólico.
El uno es el símbolo de la unidad, del todo, del absoluto y por lo tanto de Dios. El dos manifiesta la dualidad del mundo, la oposición o el equilibrio de los principios: masculino-femenino, materia-espíritu, día-noche. El tres es un símbolo particularmente importante en Catolicismo, para el que manifiesta la Trinidad (el Padre, el Hijo y el Espíritu santo). El cuatro, que se relaciona con el cuadrado, es signo de solidez. El cinco, en el pensamiento pitagórico, significa unión, matrimonio, por que procede de la suma del primer número par –el dos- y el primer numero impar –el tres-. Pero cinco son también nuestros sentidos en la tradición judía, es símbolo de la vida (candelabro de cinco brazos).
El significado del seis es menos preciso, este numero esta asociado en la antigüedad a Venus, luego al amor. El siete, número de días de la semana, pausa que sigue la creación en el Génesis, marca el fin de un ciclo y el comienzo de otro. El ocho es un número de regeneración, de juicio y sacrificio. El nueve, ultimo día de la serie decimal, marca el desenlace, el fin de un esfuerzo, de una gestación –es después de nueve meses que nace la cría humana. El cero permite crear el diez, suma de los cuatro primeros números (1+2+3+4), es el símbolo de la creación universal, en el que se encuentra la fuente y la raíz de la naturaleza eterna.
Armonía perfecta
Pitágoras parte de la idea de que el universo está constituido de una misma materia (materia primaria) cuyos elementos, aunque estén separados, están unidos según un orden inmutable. Ninguna modificación, ningún cambio que afecte a uno de estos elementos puede producirse sin provocar una alteración en el conjunto. Una ley establecida por la divinidad suprema organizo este orden inmutable, creando de esta manera una armonía perfecta entre los distintos elementos. El concepto de proporción, o de número áureo, deriva entonces del concepto de orden. Descansa sobre el principal axioma elaborado por Pitágoras: “Todo esta ordenado según el numero”. En efecto, la armonía perfecta se expresa en números. Comparando el largo de las cuerdas con la altura de los sonidos de las siete notas de la escala musical griega, Pitágoras descubre relaciones que son el fundamento de los acordes musicales. Estas relaciones –descubrimiento capital del filósofo- son matemáticas: los intervalos musicales pueden ser expresados en forma simple, combinando los cuatro primeros números cuya adición suma 10.
Pitágoras estima que la naturaleza responde a la lógica matemática y que de ella saca su belleza. Así como el número áureo explica todas las cosas, particularmente la acústica, la física y la geometría, también esta inscrito en la naturaleza entera de la que revela armonía.
Una ley de la naturaleza y de la moral
Proporción invariable, instrumento de medida que es posible aplicar a todo, la ley del número áureo se generaliza desde entonces a las artes griegas y en la arquitectura. La astronomía esta igualmente “armonizada” por el régimen de la “música de las esferas”. El alemán Johannes Kelper (1571-1630), uno de los creadores de la astronomía moderna, encuentra, en la perfección aritmético-musical de la maquina celeste evocada por Pitágoras, la inspiración de una importante cantidad de sus trabajos. En la Edad Media, la ley matemática del número áureo es incluso extendida a la vida moral. La virtud está comprendida como una medida “armónica” entre los extremos que constituyen los distintos vicios. La idea de que todo cuerpo físico obedece a proporciones que guardan relación con aquellas que rigen el universo es, por otra parte, una constante en los partidarios de una relación entre el macrocosmos cósmico y el microcosmos humano. Este tema esta magníficamente desarrollado a comienzos de la época moderna por el monje italiano Luca Pacioli, conocido como Luca di Borgo, en su obra De divina proporcione (1950). Esta obra esta ilustrada con dibujos de Leonardo de Vinci, particularmente por el dodecaedro, figura de doce caras que representa la síntesis geométrica de esta relación.
La medida del hombre y de las cosas
El número áureo es también aplicado a las proporciones del cuerpo humano. Encontramos el origen de esta aplicación en el romano Vitruvio, autor del primer tratado importante sobre arquitectura. En el libro III de su obra De architectura redactado hacia el año 25 antes de Cristo, Vitruvio o desarrolla la idea de que la proporción en materia de construcción debe aplicarse por analogía con el cuerpo humano, es decir, que la geometría de los edificios debe calcarse de la armonía del cuerpo humano. Siglos mas tarde, artistas y arquitectos del Renacimiento italiano desarrollan esta idea; Piero della Francesca, Leonardo de Vinci y el alemán Alberto Durero reflexionaron sobre las proporciones ideales del cuerpo humano.
Más tarde, el la época contemporánea, el número áureo sigue fascinando: los espíritus románticos buscan la ley secreta y universal que explique la belleza de las obras maestras de la humanidad. En 1946, nuevamente, el arquitecto francés Le Corbusier descubre el secreto de una construcción en serie, inventando el Modulor (módulo de oro), sistema de proporciones arquitectónicas que permite levantar edificios armoniosos y rapidos de construir.
Tres números con nombre
Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una letra. Estos números son:
El número designado con la letra griega = 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud = 2..radio= .diámetro).
El número e = 2´71828......, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de la sucesión de término general .
El número designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.
Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). A estos números se les llama irracionales. Cuándo se utilizan se escriben solamente unas cuantas cifras decimales (en los tres ejemplos de arriba hemos tomado 5).
Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos primeros y el número de oro es que los primeros no son solución de ninguna ecuación polinómica (a estos números se les llama trascendentes), mientras que el número de oro si que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de la ecuación de segundo grado es que da como resultado el número de oro.
El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza
El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, ...
Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.
En la figura se puede comprobar que AB/CD=. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA=.
Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2.
Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.
Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de tabaco.
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.
En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas.
La espiral logarítmica
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.
La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.
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