La razón de la organización decimal y otras alternativas para contar muchas cosas
¿De dónde surgió la necesitad de agrupar jerárquicamente los números según unas ciertas unidades? La base 10 nos resulta tan familiar que es difícil imaginar que puedan haber existido otras bases. Pero si existen otras, ¿cuáles son más efectivas?
Por razones prácticas, no es posible vivir teniendo únicamente un sistema de símbolos que tenga un nombre diferente o un objeto diferente que represente cada uno de los números. En algún momento de la historia, los seres humanos se enfrentaron al reto de ser capaces de representar y manipular cifras altas.
Así que, del mismo modo que las letras del alfabeto sirven para construir todas las palabras que necesitemos para describir la realidad con un mínimo de caracteres, debía adoptarse un conjunto mínimo de símbolos con el que todos los números pudiesen representarse para contar las cosas de esa realidad.
Nosotros usamos la base decimal. La idea de base 10 es bastante simple, lo cual nos indica que no tardó mucho en desarrollarse. Consiste en agrupar los números de modo que 10 unidades en un nivel correspondan a una unidad en un nivel superior en la jerarquía. Es decir: 10 “unos” corresponde a 1 “diez”, por ejemplo. Y así sucesivamente.
La posición de los dígitos también representa esta agrupación jerárquica. 555 es el mismo dígito repetido, pero cada uno de los dígitos significa algo diferente: 5 unidades, 5 decenas y 5 centenas. Esta idea de posición numérica fue inventada por los babilonios (usando el 60 como base) en el segundo milenio a.C. Luego el sistema fue reinventado sucesivamente en China, América Central y la India.
En sánscrito, los números del 1 al 10 tienen nombres diferentes: eka, dvau, trayas, catvaras, pañca, sat, sapta, astau, náva, dasa. Los números del 11 al 19 son una combinación del número de la unidad y 10. Por ejemplo, 15 es: pañca-dasa. En inglés, esto esquivale a los números “teen”. Excepto “eleven” y “twelve”. Aunque “eleven” deriva de “an” (uno) y “lif” (left, lo que queda), y “twelve” de “two” (dos) y “lift”. Es decir, que estos números representan “one left” y “two left” después de diez.
Todas las lenguas indoeuropeas poseen una estructura muy similar en su vocabulario para los números. Aunque, como os contaré en la segunda parte del artículo, no todas las civilizaciones han adoptado la popular base 10 basada en el hecho de que tengamos 10 dedos, a pesar de lo que expresaba el filósofo griego Aristóteles cuando se preguntaba en Problemata: “¿Por qué todos los hombres, tanto griegos como bárbaros, cuentan hasta diez y no hasta cualquier otro número?”
La base 10 no presenta ninguna ventaja especial para organizar jerárquicamente los números. Imaginad, por ejemplo, la base 13. El 13 es un número primo, divisible solo por 1 y por sí mismo. Esto le otorgaría cierta superioridad sobre el número 10, pues la mayoría de fracciones serían irreductibles en un sistema semejante. Con la base 10, por ejemplo, se puede expresar el número 36/100 también como 18/50 o 9/25. Pero con una base prima como 13, estas representaciones múltiples no se darían.
Sin embargo, si finalmente los humanos se decantaron por la base 10 fue porque diez dedos destacaban ante los ojos de cualquiera y eran fáciles de usar. En algunas lenguas malayo-polinesias, la palabra “mano”, “lima”, es en realidad la misma que para la palabra “cinco”.
Pero no todas las civilizaciones conocidas han escogido 10 como base.
Aparte de la base 10, la más común en el mundo es la base 20, conocida como base vigesimal. Fue tremendamente popular en muchos territorios de Europa Occidental. También se basaron en los dedos para escoger esta base, pero no sólo en los dedos de las manos sino en los dedos de manos y de pies, conjuntamente. Por ejemplo, para los inuit, el número “veinte” se expresa con una frase que significa “un hombre está completo”.
Algunas lenguas modernas también conservan vestigios de este uso de base 20. En francés, el número 80 es “Quatre-vingts” (cuatro veintes). En irlandés, 40 es “daichead”, que deriva de “da fiche” (dos veces veinte). En danés, los números 60 y 80 (“tresindstyve” y “firsindstyve”, respectivamente, “tres” y “firs” abreviados) son literalmente “tres veintes y “cuatro veintes”.
Una de las bases más extrañas de la Antigüedad es la base 60 o sistema sexagesimal. Lo empleaban los sumerios en Mesopotamia, aunque sus orígenes se remontan al cuarto milenio a.C. Su legado lo podemos observar hoy en día en cómo todos nosotros representamos el tiempo en horas, minutos y segundos, o en los grados del círculo (y la subdivisión de los grados en minutos y segundos).
La razón de que los sumerios escogieran una base tan grande no está clara. Algunas especulaciones apuntan a las especiales propiedades matemáticas que posee el número 60: es el primer número divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6. Otras hipótesis pretenden relacionar el 60 con conceptos como el número de meses en un año o los días en un año (redondeado hasta 360), combinados de alguna forma con el número 5 o 6.
En el libro del año 2000, The Universal History of Numbers, del profesor de matemáticas y escritor Georges Ifrah, se argumentaba que el número 60 podría haber sido consecuencia de la mezcla de dos poblaciones inmigrantes. Una que usaba la base 5 y otra que usaba la base 12. La 5 tuvo su origen en el número de dedos de una mano. La base 12 (con muchos ejemplos actuales, como el sistema de pesos y medidas británico), pudo haber tenido sus orígenes en el número de articulaciones en los cuatro dedos (excluyendo el pulgar, que se usa para contar).
Aunque la base más extravagante de todas, sin embargo, la hallamos en una obra de ficción. En Las aventuras de Alicia en el País de las Maravillas, Alicia dice lo siguiente para asegurarse de que entiende todo lo extraño que sucede a su alrededor:
Intentaré, si sé, todas las cosas que solía saber. Veamos: cuatro por cinco son doce, y cuatro por seis son 13, y cuatro por siete son, ¡cielos!, jamás llegaré a veinte si sigo así.
En sus anotaciones al libro de Carroll, Alicia Anotada, del matemático Martin Gardner, ofrece una buena explicación para la extraña tabla de multiplicar de Alicia. Nos propone que Alicia simplemente usa bases diferentes a 10. Por ejemplo, si usamos la base 18, entonces, 4 × 5 = 20 es evidente que será 12 porque 20 es 1 unidad de 18, y 2 unidades de 1.
La hipótesis podría ser ciertamente muy endeble, si no fuera porque Lewis Carroll era un seudónimo de Charles Dodgson, profesor de matemáticas en Oxford.
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