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Número áureo


Este artículo trata sobre un número algebraico. Para otros usos de este término, véase  Áureo (desambiguación) .El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media, 1  razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción 2  ) es un  número irracional , 3  representado por la  letra griega   φ (phi)  (en minúscula) o  Φ (Phi)  (en mayúscula) en honor al escultor griego  Fidias .
La ecuación se expresa de la siguiente manera:
{displaystyle varphi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}approx 1,61803398874988...}
 es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.También se representa con la letra griega  Tau  (Τ τ), 4  por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque es más común encontrarlo representado con la letra  fi (phi)  (Φ,φ). También se representa con la letra griega alpha minúscula. 5
Se trata de un  número   algebraico  irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (Φ2 = 2,61803398874988...) y su inverso (1/Φ = 0,61803398874988...) tienen las mismas infinitas cifras decimales.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia  mística . A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de  arquitectura  y otras  artes , aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.


Definición
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos  segmentos  de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:
La longitud total, suma de los dos segmentos a y b, es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b. Escrito como  ecuación algebraica :{displaystyle {frac {a+b}{a}}={frac {a}{b}}}
Siendo el valor del número áureo φ el cociente: {displaystyle phi =a/b} Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.
Cálculo del valor del número áureo[ editar ]
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
{displaystyle {frac {a+b}{a}}={frac {a}{b}}}
Si {displaystyle varphi =a/b} entonces la ecuación queda:
{displaystyle 1+varphi ^{-1}=varphi ,qquad Rightarrow varphi +1=varphi ^{2},qquad Rightarrow varphi ^{2}-varphi -1=0}
La solución positiva de la  ecuación de segundo grado  es:
{displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}=1{textrm {.}}6180339887498948482045868343656381177203ldots }
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación {displaystyle a/b}.
Historia del número áureo[ editar ]
Algunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de  Babilonia  y  Asiria  de alrededor de  2000 a. C.  Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo. 6
Antigüedad[ editar ]
El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue  Euclides  (c.  300 - 265 a. C. ), quien lo  definió  de la siguiente manera:
"Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor".
Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; es decir, es un  número irracional .
Platón  (c.  428 - 347 a. C. ) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo. Sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griego  Proclo  escribió:
" Eudoxo ... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen".
Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los  pitagóricos , eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los  neoplatónicos .
A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se ocupó de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco  sólidos platónicos , construidos y estudiados por  Teeteto . En particular, combinó la idea de  Empédocles  sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de  Demócrito . Para Platón, cada uno de los sólidos correspondía a una de las partículas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada al  cubo , el fuego al  tetraedro , el aire al  octaedro , el agua al  icosaedro , y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el  dodecaedro .
Edad Moderna[ editar ]
En  1509  el matemático y  teólogo  italiano  Luca Pacioli  publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción), donde plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al número áureo:
La  unicidad ; Pacioli compara el valor único del número áureo con la  unicidad de Dios .El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la  Trinidad .La  inconmensurabilidad ; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.La  autosimilaridad  asociada al número áureo; Pacioli la compara con la  omnipresencia  e invariabilidad de Dios.Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el  dodecaedro , el número áureo dio ser al dodecaedro.En  1525 ,  Alberto Durero  publicó Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde describe cómo trazar con  regla y compás  la  espiral áurea  basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.
El astrónomo  Johannes Kepler  ( 1571 - 1630 ) desarrolló un modelo platónico del  Sistema Solar  utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos:
“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el  teorema de Pitágoras ; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de plata; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”.
El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de plata, para referirse a este número lo hace el matemático alemán  Martin Ohm , hermano del célebre físico  Georg Simon Ohm , en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras elementales). Ohm escribe en una nota al pie:
"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada".
A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.
En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ, del griego τομή, que significa ‘corte o sección’. Sin embargo, la moderna denominación Φ o φ la efectuó en  1900  el matemático  Mark Barr  en honor a  Fidias , ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Life, de sir Theodore Cook.
El número áureo en las matemáticas[ editar ]
Propiedades y representaciones[ editar ]
Ángulo de plata[ editar ]
{displaystyle {frac {360^{circ }}{varphi +{1}}}approx 137{,}5^{circ }} razón número áureoPropiedades aritméticas[ editar ]
{displaystyle textstyle varphi approx 1,618033988749894848204586834365638117720309...} es el único  número real  positivo tal que:{displaystyle varphi ^{2}=varphi +1 }φ posee además las siguientes propiedades:{displaystyle varphi -1={frac {1}{varphi }} }{displaystyle varphi ^{3}={frac {varphi +1}{varphi -1}} }Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, establecida una verdadera  sucesión recurrente  de potencias.El caso más simple es: {displaystyle Phi ^{n}=Phi ^{n-1}+Phi ^{n-2},}, cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma:{displaystyle a_{1}u_{n+k-1}+a_{2}u_{n+k-2}+...+a_{k}u_{n},},donde {displaystyle a_{i},} es cualquier  número real  o  complejo  y k es un  número natural  menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es {displaystyle scriptstyle k=2,}, {displaystyle scriptstyle a_{1}=1,} y {displaystyle scriptstyle a_{2}=1,}.Pero podemos «saltar» la potencia inmediatamente anterior y escribir:{displaystyle Phi ^{n}=Phi ^{n-2}+2Phi ^{n-3}+Phi ^{n-4},}. Aquí {displaystyle scriptstyle k=4,}, {displaystyle scriptstyle a_{1}=0,}, {displaystyle scriptstyle a_{2}=1,}, {displaystyle scriptstyle a_{3}=2,} y {displaystyle scriptstyle a_{4}=1,}.Si anulamos las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:{displaystyle Phi ^{n}=Phi ^{n-3}+3Phi ^{n-4}+3Phi ^{n-5}+Phi ^{n-6},}En general:{displaystyle Phi ^{n}=sum _{i=0}^{textstyle {frac {1}{2}}k}{textstyle {frac {1}{2}}k choose i}Phi ^{left[textstyle n-left(textstyle {frac {1}{2}}k+iright)right]}textstyle ;k=2jin mathbb {N} ,textstyle ,nin mathbb {N} ,textstyle ,iin mathbb {N} }.En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de {displaystyle Phi ,}, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de {displaystyle Phi ,} corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el  número e  hay un parentesco.El número áureo {displaystyle {frac +1}{2}}} es la unidad fundamental «ε» del  cuerpo de números algebraicos  {displaystyle mathbb {Q} left({sqrt {5}}right)} y la sección áurea {displaystyle {frac -1}{2}}} es su inversa, «{displaystyle varepsilon ^{-1}}». En esta extensión el «emblemático» número irracional {displaystyle {sqrt {2}}} cumple las siguientes igualdades:{displaystyle {sqrt {2}}={frac +1}{2}}{sqrt {3-{sqrt {5}}}}={frac -1}{2}}{sqrt {3+{sqrt {5}}}}}.Representación mediante fracciones continuas[ editar ]
La expresión mediante  fracciones continuas  es:
{displaystyle varphi =1+{frac {1}{varphi }}quad longrightarrow quad varphi =1+{frac {1}{1+{frac {1}{1+{frac {1}{1+{frac {1}{1+...}}}}}}}}}
Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado posible de aproximabilidad mediante racionales. 7
Por ello se dice que {displaystyle varphi } es el número más alejado de lo racional o el número más irracional. Este es el motivo por el cual aparece en el  teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser .
Representación mediante ecuaciones algebraicas[ editar ]
{displaystyle varphi (varphi -1)=1quad longrightarrow quad varphi ^{2}-varphi -1=0quad longrightarrow quad varphi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}}, que surge de la ecuación definitoria de un término cualquiera en la sucesión de Fibonacci, a partir del tercero 8 El número áureo {displaystyle {frac +1}{2}}} y la sección áurea {displaystyle {frac -1}{2}}} son soluciones de las siguientes ecuaciones:
{displaystyle x^{2}-{sqrt {5}},x+1=0}{displaystyle x^{3}-y^{3}-4=0}{displaystyle x^{4}-x^{3}-x-1=0}{displaystyle 8x^{3}-4x+1=0} que da el valor de sen 18º e ímplícitamente al número aúreo 9 Inecuación algebraica[ editar ]
{displaystyle {frac {varphi }{2}}>{frac {(4-varphi ^{2})^{frac {1}{2}}}{varphi }}}{frac {(4-varphi ^{2})^{frac {1}{2}}}{varphi }}}" style=border:none;vertical-align:-2.338ex;margin:0px;display:inline-block;width:16.5ex;height:7.343ex;>
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Representación trigonométrica[ editar ]
{displaystyle varphi =1+2sin(pi /10)=1+2sin 18^{circ }}{displaystyle varphi ={1 over 2}csc(pi /10)={1 over 2}csc 18^{circ }}{displaystyle varphi =2cos(pi /5)=2cos 36^{circ }}{displaystyle varphi ={frac {1}{2}}sec {frac {2}{5}},pi ={frac {1}{2}}sec 72^{circ }}{displaystyle varphi ={frac {sin(2pi /5)}{sin(1pi /5)}},={frac {sin(72^{circ })}{sin(36^{circ })}}}Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de un pentágono regular (distancia entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el  pentagrama .
Representación mediante raíces anidadas[ editar ]
{displaystyle varphi ={sqrt {1+varphi }}quad longrightarrow quad varphi ={sqrt {1+{sqrt {1+{sqrt {1+{sqrt {1+cdots }}}}}}}}}Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por  Nathan Altshiller-Court , de la Universidad de Oklahoma, en la revista  American Mathematical Monthly ,  1917 .
El teorema general dice:
La expresión {displaystyle lim _{nto infty }{sqrt {a_{1}+{sqrt {a_{2}+{sqrt {a_{3}+{sqrt {a_{4}+{sqrt {cdots +{sqrt {a_{n}}}}}}}}}}}}}} (donde {displaystyle a_{i}=a,}), es igual a la mayor de las raíces de la ecuación: {displaystyle x^{2}-x-a=0;} o sea, {displaystyle {frac {1+{sqrt {1+4a}}}{2}}}.
Relación con la sucesión de Fibonacci[ editar ]
Si se denota el enésimo  número de Fibonacci  como Fn, y al siguiente número de Fibonacci como Fn + 1, descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón oscila y es alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: {displaystyle textstyle {frac {3}{2}}=1,5}; {displaystyle textstyle {frac {8}{5}}=1,6}; y {displaystyle textstyle {frac {21}{13}}=1,61538461...}, lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:
{displaystyle varphi =1+{frac {1}{1+{frac {1}{1+{frac {1}{1+{frac {1}{1+...}}}}}}}}=lim _{nto infty }{frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=phi }Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán  Johannes Kepler , pero pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés  Robert Simson .
Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Por ejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios, por ejemplo 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 - 7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301... Los cocientes de términos sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan  asintóticamente  por exceso y por defecto al mismo límite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 = 1,613636...; 301/186 = 1,6182795. 11
A mediados del siglo XIX, el matemático francés  Jacques Philippe Marie Binet  redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por  Leonhard Euler , y por otro matemático francés,  Abraham de Moivre . La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:
{displaystyle F_{n}={frac {1}{sqrt {5}}}left[left({frac {1+{sqrt {5}}}{2}}right)^{n}-left({frac {1-{sqrt {5}}}{2}}right)^{n}right]quad ={frac {1}{sqrt {5}}}left[left(phi right)^{n}-left({frac {-1}{phi }}right)^{n}right]quad }El número áureo en la geometría[ editar ]
El  triángulo de Kepler :
{displaystyle varphi ^{2}=varphi +1;}El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos o que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.
Relaciones entre las partes del pentágono.Relaciones entre las partes del pentágono estrellado,  pentáculo  o pentagrama.Relaciones entre las partes del decágono.Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.El rectángulo áureo de Euclides[ editar ]
El  rectángulo  AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo.  Euclides , en su proposición 2.11 de  Los elementos , obtiene su construcción:
{displaystyle GC={sqrt {5}}}Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto:
{displaystyle GE=GC={sqrt {5}}}con lo que resulta evidente que
{displaystyle AE=AG+GE=1+{sqrt {5}}}de donde, finalmente,
{displaystyle {frac {AE}{AD}}={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}=varphi }Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este último es asimismo un  rectángulo áureo .
En el pentagrama[ editar ]
El número áureo tiene un papel muy importante en los  pentágonos  regulares y en los  pentagramas . Cada intersección de partes de un segmento se interseca con otro segmento en una razón áurea.
El pentagrama incluye diez triángulos  isóceles : cinco  acutángulos  y cinco  obtusángulos . En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los  triángulos áureos .
Teniendo en cuenta la gran  simetría  de este símbolo, se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una  recursividad  hasta el  infinito . Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto, el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al añadir infinitos pentagramas.
El teorema de Ptolomeo y el pentágono[ editar ]
Claudio Ptolomeo  desarrolló un teorema conocido como el  teorema de Ptolomeo , el cual permite trazar un pentágono regular mediante  regla  y  compás . Aplicando este teorema, se forma un  cuadrilátero  al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b2 = a2 + ab lo que implica:
{displaystyle {b over a}=)} over 2},.}Pentágono estrellado[ editar ]
Aparece el número de la justa razón entre los segmentos parciales de los lados de un pentágono estrellado. 12
Trigonometría[ editar ]
El seno de 18º es la mitad del inverso del número de la justa razón. 13
cos 36º es la mitad del número aúreo. 14 De igual modo 2cos 36º - 2 sen 18º = phi - 1/phi.Relación con los sólidos platónicos[ editar ]
El número áureo está relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el  icosaedro  y el  dodecaedro , cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo.
Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden expresarse en  coordenadas cartesianas  por los siguientes puntos:
(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)
Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1 también se pueden dar en términos similares:
(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)
Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se pueden expresar también en términos del número áureo:
{displaystyle A=3{sqrt {15+20varphi }}cdot a^{2}}{displaystyle V={frac {4+7varphi }{2}}cdot a^{3}}Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro.
El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.
Teoría de números[ editar ]
El número áureo en la Naturaleza[ editar ]
Concha de  nautilus  en  espiral logarítmica . 15 En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o los  números de Fibonacci :
Leonardo de Pisa ( Fibonacci ), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteamiento recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático. El cociente de dos términos consecutivos de la  sucesión de Fibonacci  tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda  sucesión recurrente  de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912. 16 La disposición de los  pétalos  de las flores (el papel del número áureo en la  botánica  recibe el nombre de  Ley de Ludwig ). 17   18 La distribución de las hojas en un tallo. Ver:  Sucesión de Fibonacci . 17 La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles. 19 La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior). 19 La cantidad de espirales de una  piña  (ocho y trece espirales), flores o inflorescencias. Estos números son elementos de la sucesión de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al número áureo. 20   21 La distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona, respecto a su altura total. 22 La cantidad de pétalos en las flores. Existen flores con 3, 5 y 8 pétalos y también con 13, 21, 34, 55, 89 y 144. 20 La distribución de las hojas de la yuca y la disposición de las hojas de las alcachofas. 20 La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier  caracol  o de cefalópodos como el  nautilus . Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento. 23   24  Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente. 25 Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver  Filotaxis ) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de  insolación  con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999...". En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º 30' 28" en el mejor de los casos. 17  Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la  latitud  y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la  luz solar . Este hecho fue descubierto empíricamente por Church 17  y confirmado matemáticamente por Weisner en  1875 . En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico. No todas las plantas se benefician con un máximo de exposición solar o a la lluvia, por lo que se observan otros ángulos constantes diferentes del ideal de 137.ª 30'. Puede encontrar una tabla en la página 26 del documento completo accesible en el enlace de la referencia. 21 En la cantidad de elementos constituyentes de las  espirales  o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo.Existen cristales de pirita dodecaédricos pentagonales ( piritoedros ) cuyas caras son pentágonos irregulares. Sin embargo, las proporciones de dicho poliedro irregular no involucran el número áureo. En el mundo inorgánico no existe el pentágono regular. Éste aparece (haciendo la salvedad de que con un error orgánico; no podemos pretender exactitud matemática al límite 26  ) exclusivamente en los organismos vivos. 27
El número áureo en el arte y en la cultura[ editar ]
En la representación del  Hombre de Vitruvio   Leonardo da Vinci  no utiliza el número áureo, sino el sistema fraccionario propuesto por  Vitruvio .Otros investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de interés geométrico. 28
No obstante, con base en mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades.
Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de  catenaria , con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores, en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61  segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.