Euclides y sus “Elementos”
Hace años (demasiados), cuando estudiaba 7º de EGB, un profesor nos dijo que el libro que más éxito había tenido en la Historia Universal después de la Biblia y que había sido traducido a más idiomas, también después de la Biblia, era el Quijote, de nuestro venerado Miguel de Cervantes. Quizás me voy a equivocar (vosotros, que sabéis mucho más que yo, me lo diréis), pero creo que el segundo puesto lo ocupa un libro de matemáticas llamado Elementos y su autor no es otro que Euclides. Y sobre ello os hablaré en nuestra historia de hoy.
Quería hacer un artículo en el que os pudiera explicar el tema extensamente pero, sobre todo, que fuera corto. No he podido. Así que hoy haremos una introducción a la axiomática y al propio Euclides y en un próximo artículo podremos hablar de sus postulados y, sobre todo, del famoso quinto postulado, los dolores de cabeza que trajo y cómo se zanjó el embrollo. Vamos allá.
Después de la muerte de Alejandro Magno varios de sus generales se repartieron el poder sobre las tierras conocidas. Uno de ellos, Ptolomeo, estableció una dinastía que habría de reinar en Egipto durante tres siglos. Trasformó a su capital, Alejandría, en el centro intelectual más grande de la Antigüedad, y uno de los primeros talentos que trabajó allí fue el matemático Euclides.
Muy poco se sabe acerca de la vida privada de este hombre. Nació hacia el año 325 a. C. no sabemos dónde, y se desconoce dónde y cuándo murió. Parece ser que se formó con la academia de los discípulos de Platón.
Su nombre está indisolublemente ligado a la geometría por el citado Elementos que se ha convertido en el patrón clásico aunque con algunas modificaciones. De dicho libro han aparecido más de 2.000 ediciones(!). Cualquier autor de un libro de matemáticas o de cualquier otro tema debería palidecer de asombro.
Como matemático, su fama no se debe a sus propias investigaciones. Muy pocos de los teoremas que hay en su libro le pertenecen. Lo que hizo Euclides, y lo que le consagró, fue tomar todo el conocimiento matemático que se había acumulado hasta entonces y codificarlo en una sola obra.
Además de la geometría, su texto se ocupó de las razones y las proporciones y de lo que hoy conocemos como “teoría de números”. También hizo que la óptica pasara a formar parte de la geometría, al tratar a los rayos de luz como si fueran líneas rectas.
Una anécdota que se cuenta acerca de él se refiere al rey Ptolomeo quien, mientras estudiaba geometría, le preguntó si no podía hacer que sus demostraciones fueran un poco más fáciles de seguir. Euclides le respondió de manera intransigente: “Para llegar a la geometría no hay un camino especial para los reyes”.
Durante tres siglos antes de Euclides los geómetras griegos habían trabajado en demostrar algún que otro teorema geométrico hasta llegar a descubrir muchísimos. Lo que hizo Euclides fue construir con todo ello un sistema. Empezó por ciertas definiciones y suposiciones y luego las aplicó para demostrar unos cuantos teoremas. En base a aquellas definiciones y suposiciones, más los pocos teoremas que tenía ya demostrados, demostraba otros cuantos, y así sucesivamente.
Fue el primero, que nosotros sepamos, que edificó un sistema matemático perfecto, basado en el criterio explícito de que es inútil intentar probarlo todo: que es esencial partir de ciertas cosas que no pueden probarse, pero que pueden admitirse sin pruebas porque satisfacen la intuición. Tales suposiciones intuitivas, sin pruebas, se llaman axiomas.
Hacer una lista de axiomas no es tan fácil como pudiera parecer a primera vista. Exigimos que dicha lista sea completa, es decir, que basten para demostrar todos los teoremas útiles del campo particular del conocimiento que estemos explorando. Por otro lado, no deben ser redundantes: no debemos poder probar un axioma apoyándonos en los restantes. Más aún, debe ser imposible de demostrar un axioma partiendo de los demás. Además, han de ser consistentes, es decir, que no pueda deducirse de algunos de ellos que una cosa es cierta, y de otros que es falsa.
El sistema axiomático tiene una ventaja. Si demostramos un teorema sin usar el axioma A, entonces, podemos estar seguros de que nuestro teorema seguirá siendo válido aunque se rehaga el axioma A. Esto que os digo puede parecer una nimiedad, pero uno de los debates más largos y profundos de las matemáticas ha sido, precisamente, la aceptación o rechazo de uno de esos axiomas: el quinto.
Esta idea de por sí ya era una grandísima conquista intelectual, pero Euclides hizo algo más: eligió buenos axiomas. Y mirad si era bueno que durante dos mil años la geometría de Euclides ha sido asentada sobre la base del más estricto rigor y nadie juzgó necesario añadir otro axioma, ni fue capaz de eliminar ninguno, o de modificarlo sustancialmente. Impresionante, Euclides.
No gusta a todo el mundo basarse en axiomas. Bertrand Russell declaraba:
Me habían dicho que Euclides demostraba las cosas y me sentí muy decepcionado cuando vi que empezaba con axiomas. Al principio, rehusé aceptarlos, a menos que mi hermano me diera algunas razones para ello, pero él me dijo: “Si no los aceptas, no podemos seguir” y, como yo quería continuar, a regañadientes los admití.
Todas estas ideas están plasmadas en su libro: Elementos. Es una enorme colección dividida en 465 proposiciones que abarcan desde la geometría plana hasta la teoría de números. Ya hemos dicho que pocos teoremas eran de él, pero lo importante es que los recopiló en una sola obra.
Y tan importante fue que se convirtió en el “texto tipo”.
Cuando nosotros decimos “Mt 15, 5-9″, todos sabemos que se trata del Evangelio según San Mateo, capítulo 15, versículos del 5 al 9; no hace falta que digamos a qué libro pertenece porque, por supuesto, hablamos de la Biblia. Pues de la misma manera, cuando un matemático mencionaba “I.47″ todos sabían que solo podía significar la proposición 47 del libro I. No hacía falta decir del libro que se trataba, porque todos sabían que estaban hablando de Elementos.
Cabría preguntarse cuál de los dos libros ha sido más estudiado y cuál de los dos ha sido más influyente en la historia. Tal y como se puede afirmar mucha gente ha leído la Biblia y que ha sido extensamente estudiada, también podemos decir que Elementos fue leído por muchísimos de los grandes científicos y otros personajes que han cambiado la historia como Arquímedes, Cicerón, Newton, Leibniz, Napoleón e incluso Abraham Lincoln. Un biógrafo de este último, Carl Sandburg, explicaba:
(…) compró los Elementos de Euclides, un libro de 23 siglos de edad… Lo metía en su cartera cuando salía de campaña. De noche… leía a Euclides a la luz de una vela, después que los otros se retiraban a dormir.
Bertrand Russell explicaba:
A la edad de 11 años, empecé a leer a Euclides, con la guía de mi hermano. Ese fue uno de los grandes acontecimientos de mi vida, tan deslumbrante como el primer amor.
Como dijo Thomas L. Heath:
Este maravilloso libro, con todas sus imperfecciones, que son de hecho de poca importancia si tenemos en cuenta la fecha en que se escribió, es y seguirá siendo sin duda, el más grande de los libros de matemáticas de todos los tiempos.
En fin. Ojalá pudiera volver a hablar con aquel profesor y poder charlar un rato con él sobre cuál es el libro que ocupa el segundo lugar en la Historia Universal.
Fuentes:
“Viaje a través de los genios” William Dunham
“De los números y su historia”, Isaac Asimov
“El electrón es zurdo”, Isaac Asimov
http://www.euclides.org
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/euclides.htm
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