Deleitate con Matematicas
TEOREMA DE PITAGORAS
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Esta sencilla definición que casi todos conocemos puede que se haya olvidado. Les dejo el teorema y sus múltiples demostraciones para aquellos que la necesiten para su aprendizaje, para recordarles esta maravilla de las matemáticas o simplemente con el fin de que aprendan algo que quizás no sabían.
a2 + b2 = c2
Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?
Podemos concluir que dado un triángulo rectángulo, si construimos figuras semejantes sobre cada uno de sus lados, se verifica que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras construidas sobre los catetos.
Demostración de Platón: Menón
Dinos, Sócrates, ¿cómo se adquiere la virtud? ¿Mediante la enseñanza o mediante el ejercicio?
Esta filosófica pregunta forma parte del Menón de Platón, y a su tenor no parece que la Geometría vaya a hacer acto de presencia en el Diálogo, pero el filósofo es quien maneja los hilos y unas páginas más adelante nos encontramos con cuadrados y superficies. En ese fragmento, Platón habla de que conocer es recordar. Cuando creemos estar aprendiendo, lo que sucede en realidad es que recordamos las verdades que nuestra alma pudo percibir de forma inmediata antes de encarnarse en el cuerpo.
En el texto Sócrates se lo demuestra a Menón llamando a uno de sus esclavos, que nunca ha sido educado, pero que, sin embargo, es capaz de llegar a demostrar el teorema de Pitágoras. Sócrates le plantea el problema de la duplicación del cuadrado. Sucesivas preguntas van sacando de la mente del esclavo la solución del problema, con lo que pretendidamente aquél no hizo sino “recordar” lo que ya “sabía”. Ese método para sacar esos conocimientos es la mayéutica, en la cual, el individuo que conduce al otro hacia el conocimiento, como en este caso hace Sócrates, desempeña una función similar a la de una partera, donde lo que logra extraer de su interlocutor, es el conocimiento de lo verdadero.
Platón construye un cuadrado cuyo lado es de dos unidades. Su área vale lo de cuatro unidades cuadradas. Trazando un nuevo cuadrado sobre su diagonal AB, obtiene un cuadrado de ocho unidades cuadradas (centro, azul), doble superficie de la del primero. Hasta aquí la duplicación del cuadrado. Pero también se ha demostrado el teorema de Pitágoras (derecha): el área del cuadrado azul (8u2) construido sobre la hipotenusa AB del triángulo rectángulo ABC, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados grises (4u2 cada uno) construidos sobre los catetos AC y BC.
Generalizando: cada uno de los cuadrados construidos sobre la hipotenusa (la diagonal del cuadrado inicial) contiene cuatro de dichos triángulos.
Queda demostrado el teorema de Pitágoras, si bien restringido a los triángulos rectángulos isósceles.
Demostración de Pappus
Unos 625 años después que Euclides, Pappus parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en Elementos I.36:
Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes.
Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e hipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes.
Prolongando CH hacia arriba se obtiene el rectángulo CEGI cuya diagonal CG determina en aquél dos triángulos rectángulos iguales al triángulo ABC dado:
Los ángulos agudos GCI y ABC tienen sus lados perpendiculares
El lado CI es igual al lado CB
En consecuencia los triángulos rectángulos ABC, ICG y EGC tienen sus tres lados iguales.
Los paralelogramos ACGF y AHMN tienen la misma base CG=HM, y están comprendidos entre las mismas paralelas, r y s. Por lo tanto tienen la misma superficie (Elementos I.36)
Aplicando el mismo principio a ACGF y ACED –base común AC, y paralelas m y n- resulta que ambos paralelogramos tienen superficies asimismo equivalentes.
Análogamente:
CGJB y BLMH tienen la misma base CG=MH, y están comprendidos entre las paralelas s y t. Sus superficies son equivalentes.
CGJB y CIKB tienen base común CB, y están entre las paralelas o y p. Sus superficies son iguales.
De dónde se deduce la equivalencia de las superficies de BLMH y de CIKB.
El teorema de Pitágoras queda demostrado.
Demostración de Bhaskara
Bhaskara II, el matemático y astrónomo hindú del siglo XII, nos da la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.
Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro cuadrado de lado (a-b).
Redistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado (a-b), construimos la figura de la derecha, cuya superficie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otro de lado b -naranja-.
Se ha demostrado gráficamente que c2 = a2 + b2
Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de lado (a-b), es decir:
expresión que desarrollada y simplificada nos da el resultado c2 = a2 + b2, y el teorema queda demostrado.
Demostración de Leonardo da Vinci
En el elenco de inteligencias que abordaron el teorema de Pitágoras no falta el genio del Renacimiento, Leonardo da Vinci. Su demostración es una de las más hermosas.
Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:
Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.
Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:
De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
A de ADGB y A de CIJA
B de ADGB y J de CIJA
Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.
De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.
Además, de un modo semejante a lo explicado en la demostración de Euclides, nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.
Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes.
Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales- las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra.
El teorema de Pitágoras queda demostrado.
Demostración de Garfield
James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de los Estados Unidos, desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.
Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c.
En consecuencia:
como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:
igualando:
lo que finalmente nos da c2 = a2 + b2, y el teorema está demostrado.
Teorema de Tales
Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).
Primer teorema
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Lo que se traduce en la fórmula:
Corolario
Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura de arriba se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.
En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:
Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto.
La leyenda de Tales y las pirámides
Según la leyenda, Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes.
Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.
La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos).
Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura de arriba.
Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) otro cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra (B). Como en triángulos semejantes, se cumple que por lo tanto la altura de la pirámide es con lo cual resolvió el problema.
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Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo):
Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).
Aplicación del Primer Teorema de Tales
Una aplicación del teorema de Tales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales (con ayuda de compás, regla y escuadra o).
1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.
2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.
3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.
Segundo teorema
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.
Este teorema (véase figuras 1 y 2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
Figura 1.Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.
Figura 2. Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.
Demostración:
Figura 3.
En la circunferencia de centro O y radio r (véase figura 3), los segmentos
son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto, los triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
2α + 2β = π (radianes) (180º)
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:
Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.
Semicircunferencia
Como la condición para este enunciado es que la hipotenusa corresponda al diámetro de una circunferencia, también se puede expresar como que el triángulo está inscrito en una semicircunferencia.
Entonces, el Teorema de Tales dirá que "todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro".
Demostración:
Sea el triángulo BCA (en la figura de arriba)
Como OA y OB son iguales (radios de la semicircunferencia) , los ángulos ABO y BOA también son iguales y como OA y OC también son iguales, los ángulos OAC y OCA son iguales. Por tanto, ángulo BAC es igual a la suma de ABC y ACB.
Teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180º, el ángulo BAC debe ser recto.
Corolarios
Corolario 1.
“En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la hipotenusa.”
Corolario 2.
“La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”
Aplicación del Segundo Teorema de Tales
Construcción de tangentes (líneas rojas en la figura de arriba) a una circunferencia k desde un punto P, utilizando el segundo teorema de Tales.
Este segundo teorema (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por un punto P conocido y externo a la misma (véase figura ).
Se supondrá que una tangente cualquiera t (por ahora desconocida) toca a la circunferencia k en un punto T (también desconocido por ahora).
Se sabe por simetría que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es necesariamente recto.
Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo.
Recordando el corolario 2 del segundo teorema de Tales podemos deducir que entonces el triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio mitad de la hipotenusa OP del mismo.
Entonces, marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar (gris en la figura) que será la que circunscribe al triángulo OTP.
Esta última circunferencia trazada interceptará a la circunferencia k en dos puntos T y T', estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente tangentes a k y además pasan por el punto P, ahora ya conocidos los puntos T y T' solo basta trazar las rectas TP y T'P (rojas en la figura) para tener resuelto el problema.
Tales de Mileto
Tales de Mileto (c. 625-c. 546 a.C.). Era un comerciante y legislador griego nacido en Mileto (en la costa Oeste del Asia Menor) o, tal vez, como dice el historiador griego Heródoto, en alguna ciudad fenicia, hacia el 625 antes de Cristo.
Según Heródoto, Tales fue un estadista práctico que estaba en favor de la federación de ciudades jónicas de Grecia. Después de su éxito en el mundo de los negocios, Tales lo abandonó para dedicarse a la filosofía y a las matemáticas.
Tales fue el fundador de la filosofía griega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Se le conoce como el padre de las matemáticas y la filosofía griegas. También fue un gran astrónomo capaz de predecir el eclipse solar del año 585 a.C., además de determinar el número exacto de días que tiene el año. Se dice también que introdujo la geometría en Grecia.
Cuando le preguntaron a Tales qué recompensa quería por sus descubrimientos, contestó:
"me consideraría bien recompensado si los demás no se atribuyeran mis hallazgos, sino que reconocieran que son míos".
Tales es considerado el primero de los siete sabios griegos por Diógenes Laercio. También se le considera un discípulo de los egipcios y caldeos, suposición de muy buen fundamento por los viajes de Tales a Egipto y Mesopotámia.
No sólo fue el primer filósofo, es decir, el primero que, históricamente, intentó explicar el mundo por causas naturales con los medios de un pensar independiente y adecuado a la razón, sino que también destacó como astrónomo, como ingeniero y como matemático (formuló el teorema que todavía hoy lleva su nombre).
De Tales no se conserva ningún escrito. Su pensamiento nos es conocido a través de otros tratadistas y filósofos griegos, como Aristóteles y Diógenes Laercio.
Estudios
Según Tales, el principio original de todas las cosas es el agua, de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez. Ha de haber, pues, alguna naturaleza, sea una o más de una, a partir de la cual todo lo demás se genera, conservándose aquélla.
Tal vez llegó a esta concepción tras observar que todas las cosas tienen un elemento húmedo y que el calor se produce y se mantiene en la humedad (ya que aquello a partir de lo cual se generan las cosas es el principio de todas ellas). Por eso llegó a esta concepción y también porque todas las simientes son de naturaleza húmeda y el agua es el principio natural de las cosas húmedas.
Antes de Tales, las explicaciones del universo eran mitológicas, y su interés por la sustancia física básica del mundo marca el nacimiento del pensamiento científico.
Fue capaz de comprender y enseñar lo que había aprendido de su relación con los sacerdotes en Egipto. Se cuenta que en uno de sus viajes a Egipto determinó la altura de la pirámide de Keops, aprovechando la sombra que esta producía en un determinado momento, aquel en el que la longitud de la sombra sea igual a la de la pirámide (los rayos del Sol deben tener una inclinación de 45º), y además perpendicular a la base. Debido a la situación de la pirámide de Keops, en Gizeh, a 30º de latitud en el hemisferio norte, sólo hay dos posibilidades para que Tales realizara esta medición, el 21 de noviembre o el 20 de enero.
Tales fue el primero en demostrar sus afirmaciones, por lo que se le considera el primer matemático de la historia.
Son cinco sus teoremas geométricos:
Todo diámetro bisecta a la circunferencia
Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales son iguales
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto
Sobre el conocido Teorema de Tales, tal vez no fuera Tales su autor, sin embargo, se le ha atribuido a él por utilizarlo para medir distancias.
Teorema:
Los triángulos BED y CED tienen la misma área, porque tienen la misma base y la misma altura.
Ejemplo:
Calculemos el área del triángulo ADE: Será AD . h / 2 = AE . h' / 2
Calculemos el área del triángulo CDE: Será CD . h / 2
Calculemos el área del triángulo BED: Será BE . h' / 2
Como las áreas de los triángulos BED y CDE son iguales, los cocientes ADE / BED y ADE /CDE serán iguales.
Entónces AD / CD = AE / BE
Algunas curiosidades sobre el sabio
Tales es recordado principalmente por su cosmología basada en el agua como esencia de toda la materia y por su predicción del eclipse de sol, que debió ocurrir el 28 de mayo del 585 a. C. Lo espectacular de esta predicción es que detuvo la batalla entre Alyattes y Cyaxares en ese año. Es probable que el hecho de que el eclipse fuera total y la localidad afectada correspondiera a la de una batalla importante contribuyera enormemente a la reputación de Tales como astrónomo.
Cuando ocurrió el eclipse de sol, Tales debía estar en el pináculo de su carrera y tener alrededor de cuarenta años. No hay escritos de Tales disponibles, así como tampoco hay fuentes contemporáneas a las que se pueda recurrir como referencia. La inclusión del nombre de Tales en el canon de los legendarios Siete Hombres Sabios condujo a su idealización y después a la leyenda que le acompaña.
Lo dejo hasta acá, espero que les haya gustado y que les sirva
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