La Paradoja Del Cumpleaños

La paradoja del cumpleaños

Probablemente muchos de ustedes conocen la llamada "Paradoja del Cumpleaños", pero para quienes no la conozcan la voy a explicar:

Introducción: enunciado de la paradoja:

Imaginate que en un cierto momento estás con un grupo de personas, por ejemplo en una reunión familiar o en un bar, cualquier grupo aleatorio de personas valdría. Digamos que hay 25 personas. Les planteo la siguiente cuestión: ¿cuál creés que es la probabilidad de que en ese grupo de personas haya dos personas que cumplen los años el mismo día del mismo mes?? Quien no conozca este asunto probablemente responda algo como: No sé, pero seguro que muy pequeña. Al menos esa es básicamente la respuesta que yo me he encontrado siempre que he comentado el tema.

Pues la cosa es que ni mucho menos es pequeña. Vamos con lo que podríamos considerar el enunciado de la paradoja:

dijo:

En una reunión de 23 personas escogidas aleatoriamente, la probabilidad de que dos de ellas cumplan los años el mismo día del mismo mes es de 0,507, es decir, hay un 50,7% de posibilidades de que haya dos personas que cumplan los años el mismo día del mismo mes.

Para las 25 personas de mi ejemplo la probabilidad es aproximadamente de 0,57, es decir, casi el 57%.

Básicamente lo que nos dice este resultado es que en una reunión de 23 o más personas es más sorprendente que no haya dos que coincidan en cumpleaños que el hecho de que sí las haya, algo que todo el mundo tiende a no creer en un primer momento.



Demostración Matemática:

El resultado no es una paradoja matemática, es algo comprobable (además fácilmente) matemáticamente. El calificativo de paradoja le viene por lo contrario que parece a la intuición.

Para calcular la probabilidad para cualquier número de personas (ya que si hay más de 365 la probabilidad es 1) la idea es calcular la probabilidad de que no haya dos personas que cumplan los años el mismo día. A esa probabilidad la llamaremos p. Después calculamos la probabilidad de que haya alguna realizando la operación . Calculemos (tomaremos el año con 365 días):

Tomamos una de las personas del grupo. Esa persona cumplirá los años un cierto día. Tomamos otra de las personas. La probabilidad de que esta nueva persona no coincida en cumpleaños con la primera es (casos favorables: todos los días del año excepto el del cumpleaños de la primera persona; casos posibles: todos los días del año). Si tomamos otra persona más, la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es (por la misma razón que antes). Tomando otra más la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es , y así sucesivamente. Al ser sucesos independientes, la probabilidad de que ocurran todos ellos (que nadie coincida) es el producto de todas esas probabilidades. Para personas nos queda la siguiente expresión:





Usando factoriales podemos excribir esa expresión así:





Si esta es la probabilidad de que no haya dos personas que coincidan en cumpleaños, la probabilidad de que al menos haya una pareja que sí coincida será . Es decir, la probabilidad de que en una reunión de personas haya dos que cumplen los años el mismo día y el mismo mes es:





Con obtenemos una probabilidad de 0.475695. Con ya pasamos el 50%, exactamente obtenemos una probabilidad de 0.507297. Con , el del ejemplo del principio, estamos ya en 0.5687.


Y no les digo nada si aumentamos un poco más el número de personas del grupo. Les dejo unos cuantos resultados:


Para n=30, la probabilidad es de 0.706316, poco más del 70%.
Para n=35, la probabilidad es de 0.814383, poco más del 81%.
Para n=40, la probabilidad es de 0.891232, casi del 90%.
Para n=45, la probabilidad es de 0.940976, cerca del 95%.
Para n=50, la probabilidad es de 0.970374, más del 97%.
Para n=60, la probabilidad es de 0.994123, ¡¡más del 99%!!.


La cuestión es que generalmente cada persona tiende a imaginar la probabilidad de que, partiendo de una persona concreta, haya otra que coincida en cumpleaños con ella. La probabilidad de ésto es muy baja con 23 personas. La clave del tema es que hay multitud de posibles parejas que pueden formarse conforme vamos aumentando el número de personas del grupo. Por eso la probabilidad acaba siendo tan alta en un grupo tan pequeño.




Comprobación:


Probablemente muchos de sigán pensando algo así como eso es imposible, no puede ser tan alto. Si es así los invito a que realicen ustedes mismos una comprobación experimental, es decir, que en un cierto momento en el que dispongan de un grupo (lo más aleatorio posible) de unas 25/30 personas comences a preguntar fechas de cumpleaños. Eso mismo hizo el autor de este texto (ver Fuente) hace unos días en un bar. En ese momento habría 30 personas en el bar. No sabe ni por qué surgió el tema, pero al ver un grupo idóneo en número y aleatoriedad se puso a preguntar fechas de cumpleaños. La coincidencia se produjo al preguntar a la persona número 28. En ese momento, según la fórmula anterior, una probabilidad de 0.654461 de que así fuera, es decir, más del 65%. Por tanto no es tan raro, aunque casi todo el mundo que preguntó de qué iba el tema puso cara de sorpresa (excepto otro matemático que conoció en ese mismo momento, cosa curiosa).

Para terminar, una curiosidad de ese mismo día: hemos comentado antes que la probabilidad de que partiendo de una persona fija encontremos a otra que coincida exactamente con esa persona en fecha de cumpleaños es muy baja. Concretamente, para personas la probabilidad se calcula así:





Teniendo en cuenta que el era quien comenzó el experimento, es razonable pensar que el era en ese caso una persona destacada entre las demás. Es decir, que si podemos pensar en una persona fija en un experimento que estoy realizando yo sería normal pensar en mí mismo. Pues lo curioso fue que la coincidencia fue el mismo. Es decir, que la primera pareja de cumpleaños el mismo día que encontró fue la formada por una chica y el. Encontrar una pareja no es nada sorprendente con 28 personas. Que la primera coincidencia se produjera él sí que fue curioso por lo poco probable, exactamente 0.0713971, es decir, un 7%. Final curioso para un interesante experimento.

Si te gustó este post, unite a la comunidad!