Grigori Perelman
Grigori "Grisha" Yakovlevich Perelman (en ruso: Григорий Яковлевич Перельман), nacido el 13 de junio de 1966 en Leningrado, URSS (ahora San Petersburgo, Rusia), es un matemático ruso de origen judío que ha hecho históricas contribuciones a la geometría riemanniana y la topología geométrica. En particular, parece que ha demostrado la conjetura de geometrización de Thurston. Si esto es así, se resuelve afirmativamente la famosa conjetura de Poincaré, propuesta en 1904 y considerada uno de los problemas abiertos más importantes y difíciles en matemáticas.
En agosto de 2006, se le otorgó a Perelman la Medalla Fields
por "sus contribuciones a la geometría y sus ideas revolucionarias en la estructura analítica y geométrica del flujo de Ricci". La Medalla Fields es ampliamente considerada como el mayor honor que puede recibir un matemático. Sin embargo, él declino tanto el premio como asistir al congreso.
Grigori Perelman nació en Leningrado (ahora San Petersburgo) en una familia judía el 13 de junio de 1966. Su educación matemática temprana ocurrió en el Escuela secundaria 239 de Leningrado, una escuela especializada con programas de matemáticas y física avanzadas. En 1982, como miembro del equipo de la URSS compitiendo en la Olimpiada Internacional de Matemática, una competición internacional para estudiantes de bachillerato, ganó una medalla de oro tras alcanzar un puntaje perfecto.A principios de los 80, consiguió la puntuación más alta en la prestigiosa organización para personas con elevado coeficiente intelectual Mensa. Al final de los años ochenta, Perelman prosiguió a adquirir un grado en Candidato de Ciencia (el equivalente ruso del doctorado) en la Facultad de Mecánica y Matemática de la Universidad del Estado de Leningrado, una de las universidades líderes de la ex-Unión Soviética. Su disertación se llamó "Superficies en silla en espacios euclídeos" (ver citas más abajo). Era también un talentoso violinista y jugaba tenis de mesa.
Luego de la graduación, Perelman comenzó a trabajar en Leningrado en el renombrado Instituto Steklov de Matemáticas de la Academia Rusa de las Ciencias. Sus asesores en el Instituto Steklov fueron Aleksandr Danilovich Aleksandrov y Yuri Dmitrievich Burago. Al final de los ochenta y principios de los noventa, Perelman tenía puestos en varias universidades de EEUU. En 1992, fue invitado a pasar sendos semestres en la Universidad de Nueva York y en la Universidad de Stony Brook. De allí, aceptó una beca de dos años en la Universidad de California, Berkeley en 1993. Volvió al Instituto Steklov en el verano de 1995.
Conjeturas de Geometrización y de Poincaré
Hasta el otoño de 2002, Perelman era mejor conocido por su trabajo en teoremas de comparación en geometría riemanniana. Entre sus notables logros estaba la demostración de la conjetura de Soul.
El problema
El Teorema de Poincaré fue una de las hipótesis más importantes de la topología, que dejó de ser conjetura para ser un teorema tras su comprobación. El teorema sostiene que la esfera tridimensional, también llamada 3-esfera o hiperesfera, es la única variedad compacta tridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado (1-esfera) se puede deformar (transformar) en un punto. Este último enunciado es equivalente a decir que sólo hay una variedad cerrada y simplemente conexa de dimensión 3, la esfera tridimensional.
Concepto e historia
La superficie de un balón de fútbol, por ejemplo, es casi un ejemplo de variedad de dimensión 2, una 2-esfera; lo podemos manipular como queramos, dándole diferentes formas, pero sin romperlo, y seguirá siendo una 2-esfera. El criterio para comprobar si una variedad es una 2-esfera es muy sencillo: imagínese una goma elástica tremendamente deformable apoyada sobre la superficie del balón; si la goma se puede comprimir (sin salirse de la superficie) hasta ocupar un solo punto, y esto en cualquier parte de la superficie, el balón es una 2-esfera y se dice que es simplemente conexa.
El problema de clasificar las variedades en el espacio usando como criterio de clasificación el concepto de homeomorfismo fue resuelto en el siglo XIX. Así, la esfera es una variedad de dimensión 2 (cada trozo pequeño de la esfera es un pequeño trozo de plano ligeramente deformado), cerrada y simplemente conexa y se estableció que toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera. Dicho de otro modo: sólo hay una variedad de dimensión n=2, cerrada y simplemente conexa, y se trata de la esfera.
Mas técnicamente, en 1904, el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) conjeturó que el resultado obtenido para la esfera n=2 del espacio de dimensión 3 tenía un análogo para la esfera n=3 del espacio de dimensión 4. En otras palabras, en el espacio de dimensión 4, toda variedad de dimensión n=3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión n=3. Pero Poincaré no consiguió probar su conjetura. Tampoco ninguno de sus contemporáneos ni sucesores. Con el tiempo, la conjetura de Poincaré cobró interés hasta convertirse en el problema abierto más notable de la Topología geométrica, con destacables implicaciones para la Física. Más aún, llegó a convertirse en uno de los problemas sin resolver más importantes de la Matemática.
Para dimensión dos ya fue demostrada en el siglo XIX. Para n=5, hubo de esperar hasta 1961, cuando lo hizo Erik Christopher Zeeman. Ese mismo año, Stephen Smale lo consiguió para n igual o mayor que 7 y, en 1962, John R. Stallings para el caso n=6. Los casos n=3 y n=4 se resistían y hubo que esperar a 1986 cuando, en lo que se consideró una hazaña matemática del estadounidense Michael Hartley Freedman, se consiguió demostrar el caso n=4. El problema es que, resuelto con éxito para todas las demás dimensiones, el caso original n=3, planteado por Poincaré, se resistía denodadamente a cualquier demostración matemática hasta que Grigori Perelman hizo pública su demostración.
Henri Poincaré estableció dicha conjetura en 1904, indicando que la esfera tridimensional era única y que ninguna de las otras variedades tridimensionales compartían sus propiedades.
Demostración de la conjetura
El enunciado no pudo ser resuelto durante un siglo y su demostración fue considerada uno de Los siete problemas del Milenio propuestos por el Clay Mathematics Institute.
El matemático ruso Grigori Perelman anunció haberlo hecho en 2002 a través de dos publicaciones en internet.
El 5 de junio de 2006 los matemáticos chinos Zhu Xiping y Cao Huaidong anunciaron la demostración completa, basándose en los trabajos preliminares de Perelman (éstos sí publicados en revistas especializadas), lo que, una vez realizada su validación por la comunidad matemática, daría fin a la clasificación completa de las estructuras topológicas de dimensión tres o tridimensionales. Sin embargo, una gran parte de la comunidad matemática piensa que la demostración corresponde a Perelman y considera el trabajo de los matemáticos chinos como un plagio. La Academia China de Ciencias, en defensa de Zhu Xiping y Cao Huaidong, afirmó que el ruso estableció las líneas generales para probar la conjetura, pero no dijo específicamente cómo resolver el enigma.
Finalmente, se reconoció el trabajo de Perelman cuando se le otorgó la Medalla Fields en el marco del XXV Congreso Internacional de Matemáticos (ICM2006) con sede en Madrid en agosto de 2006, la cual rechazó. En declaraciones a un semanario estadounidense (The New Yorker), Perelman aseguró no querer ser una mascota en el mundo de las matemáticas, estimando que no necesita otro reconocimiento sobre la validez de su trabajo.
Problemas no resueltos de la matemática
Se ha dado en llamar Problemas no resueltos de la matemática, también mencionado como Los siete problemas del Milenio a siete enunciados que han traído de cabeza a los matemáticos de los últimos años del siglo XX, y que podrían haber sido ocho si el profesor Andrew Wiles no hubiera probado la Última Conjetura de Fermat en el año 1994.
P versus NP
Decidir si la inclusión entre las clases de complejidad P y NP es estricta.
La Conjetura de Hodge
La conjetura de Hodge dice que para variedades algebraicas proyectivas, los ciclos de Hodge son una combinación lineal racional de ciclos algebraicos
La hipótesis de Riemann
La hipótesis de Riemann dice que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1/2.
Existencia de Yang-Mills y del salto de masa
En Física, la teoría cuántica de Yang-Mills describe partículas con masa positiva que poseen ondas clásicas que viajan a la velocidad de la luz. Este es el salto de masa. El problema es establecer la existencia de la teoría de Yang-Mills y un salto de masa.
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los líquidos y gases. Si bien éstas fueron formuladas en el siglo XIX, todavía no se conocen todas sus implicaciones, principalmente debido a la no linealidad de las ecuaciones y los múltiples términos acoplados. El problema consiste en progresar hacia una teoría matemática mejor sobre la dinámica de fluidos. El enunciado del problema es demostrar si a partir de unas condiciones iniciales de fluido laminar la solución del flujo para todos los instantes de tiempo es también un flujo laminar.
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer trata sobre un cierto tipo de ecuación que define curvas elípticas sobre los racionales. La conjetura dice que existe una forma sencilla de saber si esas ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales.
wikipedia
nota Clarín:
2 pesos al que las solucione!