La Botella de Klein y la Banda de Möbius

En topología, una botella de Klein es una superficie no orientable cerrada de Característica de Euler igual a 0 que no tiene ni interior ni exterior. Fue concebida por el matemático alemán Christian Felix Klein, de donde se deriva el nombre.

Se puede obtener una representación tridimensional de una Botella de Klein introduciendo el extremo delgado de una botella o de un matraz a través de uno de los lados del recipiente y uniéndolo a la base. Hay que recalcar que dicha representación no es una Botella de Klein. Físicamente puede ser realizada sólo en un espacio de cuatro dimensiones, puesto que debe pasar a través de sí misma sin la presencia de un agujero.





Esta superficie (simbolizada por K) puede considerarse como el espacio total de un fibrado (no trivial) sobre el círculo donde la fibra es también un círculo, i.e. . En contraste el toro también es un fibrado, pero es trivial, esto es T=S^1times S^1.

Otro concepto con el mismo nombre

En la geometría algebraica, una superficie de Klein, que se diferencia de la botella de Klein, es el similar de una superficie de Riemann en el sentido de que una superficie de Klein admite una estructura di-analítica, es decir una estructura analítica que adiciona una posible función de transición a una estructura analítica -consistente en la conjugación compleja- determina una que es anti-analítica.

Anécdotas

El nombre original del objeto no fue el de botella de Klein (en alemán Kleins Flasche), sino el de superficie de Klein (en alemán Kleins Fläche). El traductor de la primera referencia al objeto del alemán al inglés confundió las palabras. Como la apariencia de la representación en recuerda a una botella, casi nadie se dio cuenta del error.

Fuente

La banda de Moebius o cinta de Moebius (pronunciado /'møbi?s/ o en español a menudo "moebius", pero nunca "mobius" es una superficie con una sola cara y un solo borde, o componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.

Construcción de una cinta de Möbius

Para construirla, se toma una cinta de papel y se pegan los extremos dando media vuelta a uno de ellos.

Se parte de una cinta cerrada de dos componentes en la frontera (un cilindro ), se hace un corte (entre las dos fronteras), se gira 180° uno de los extremos y se vuelve a pegar.

Propiedades

La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:

* Tiene sólo una cara:

Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la "aparentemente" cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior (véase en la imagen).

* Tiene sólo un borde:

Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida habiendo recorrido "ambos bordes", por tanto, sólo tiene un borde.

* Esta superficie no es orientable:

Una persona que se desliza «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.

* Otras propiedades:

Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, a diferencia de una cinta normal, no se obtienen dos bandas, sino una banda más larga pero con dos vueltas. Si a ésta banda se la vuelve a cortar a lo largo, se obtienen otras dos bandas entrelazadas pero con vueltas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.

Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

Geometría

Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de es mediante la parametrización:




donde y

Representa una banda de Möbius de ancho unitario, cuya circunferencia central tiene radio unitario y se encuentra en el plano coordenado x-y centrada en ,. El parámetro u recorre la banda longitudinalmente, mientras v se desplaza de un punto a otro del borde, cruzando transversalmente la circunferencia central.

Con la parametrización anterior podemos obtener su curvatura gaussiana la cual es:



En coordenadas cilíndricas , se puede representar una versión sin frontera (abierta) de la banda de Möbius mediante la ecuación:

Topología

Topológicamente, la banda de Möbius puede definirse como el cuadrado [0,1] X [0,1] que tiene sus aristas superior e inferior identificadas (topología cociente) por la relación (x,0) (1-x,1), para , como en el siguiente diagrama




La banda de Möbius es una variedad bidimensional (es decir, una superficie). Es un ejemplo estándar de una superficie no orientable. La banda de Möbius es un ejemplo elemental -también- para ilustrar el concepto matemático de fibrado topológico.

Precisamente, como objeto topológico, la banda de Möbius también es considerada como el espacio total , de un fibrado no trivial teniendo como base la 1-esfera y fibra un intervalo, i.e.

Objetos relacionados

Análoga a la banda de Möbius es la , pues también tiene sólo una superficie, donde no se puede diferenciar "fuera" de "dentro".

Esto último significa que mientras la banda se encaja en , la botella no.

La Banda de Möbius en el arte

El 17 de octubre de 1996, se estrenó la película Moebius, realizada en Argentina. Dicha película hace referencia a la teoría de la cinta que lleva el mismo nombre, aplicada a una supuesta red de subterráneos de la Ciudad de Buenos Aires ampliada. Se basa en un cuento de A. J. Deutsch, A Subway Named Moebius (1950).

Johan Sebastian Bach compuso un canon cuya partitura, al ejecutarse, guarda semejanza con la forma de una Banda de Möbius.

El libro de cuentos Queremos tanto a Glenda, del escritor argentino Julio Cortázar, publicado en 1980, cuenta con una composición titulada Anillo de Moebius.

Fuente