Desigualdades, inecuaciones y relaciones en trigonometria II

DESIGUALDADES, INECUACIONES Y RELACIONES EN TRIGONOMETRIA PARTE II HABLEMOS DE ARCO SENO, ARCO COSENO Y ARCO TANGENTE Este ejercicio dice así: tenemos una figura con la siguiente forma, y tenemos que calcular el ÁREA y el perímetro exacto y aproximado, sabiendo que la misma esta formada por un triangulo rectángulo isósceles y un sector circular de amplitud alfa: además se sabe que un cateto mide V8 cm y que el seno de a es sen = V3/2: recordemos que las líneas interiores no forman parte del perímetro. NOTA: CUANDO VEAN UNA V TRAS UN NUMERO SIGNIFICA RAIZ CUADRADA Y UN NUMERO DELANTE DE OTRO CON PARENTESIS SIGNIFICA ELEVADO A LA PRIMERO COMO SIEMPRE ORDENAMOS LOS DATOS ÁREA = x PERIMETRO = x CATETO = V8 CM SENO a = V3/2 LUEGO EMPECEMOS BUSCANDO EL DATO OBVIO Y MAS SENCILLO El triangulo es rectángulo isósceles, por lo tanto su cateto vale para los dos lados, entonces aplicamos Pitágoras para obtener la hipotenusa: H2 = (V8)2 + (V8)2 H2 = 8 + 8 H = V16 H = 4 LUEGO PARA AVERIGUAR EL ANGULO USAMOS ARCO SENO Arco seno es la función inversa del seno, también se puede expresar como seno a la -1, en la calculadora científica presionamos shift y luego el botón de seno, y nos aparecerá sen -1, y lo mismo es con coseno y tangente. SEN a = V3/2 a = ARC.SEN(V3/2) a = 60° YA TENEMOS TODOS LOS DATOS QUE SE PUEDEN OBTENER Ahora es cuestión de reemplazar los datos en las formulas: ÁREA TOTAL = Sector circular + triangulo rectángulo ÁREA TOTAL = (Pi x r2 x a) / 360° + bxh / 2 ÁREA TOTAL = (Pi x (4)2 x 60°) / 360° + V8xV8 / 2 ÁREA TOTAL = (Pi x 16 x 1°) / 6° + V64 / 2 ÁREA TOTAL = (Pi x 8) / 3 + 4 ÁREA TOTAL = 8Pi / 3 + 4 ÁREA TOTAL = 8/3Pi + 4 ESTA ES EL AREA EXACTA ÁREA TOTAL = 12,37 ESTA ES EL AREA APROXIMADA AHORA CALCULAMOS EL PERIMETRO PM de sector circular de amplitud a = 60° PT = 2Pix4 PT = 25,13 360/60 = 6 25,13 / 6 = 4,18 CM El perímetro de un sexto de circulo que es el sector circular es de 4,18 CM AVERIGUAMOS EL PERIMETRO DE LOS CATETOS PC = V8 + V8 = 2V8 = 5,65 CM Y EL PERIMETRO DE LA HIPOTENUSA PH = r = 4 CM SUMAMOS TODO Y OBTENEMOS EL PERIMETRO TOTAL ESTE ES EL PERIMETRO APROXIMADO PT = 5,65 + 4,18 + 4 = 13,83 PT = 2V8 + 2Pi4 / 6 + 4 ESTE ES EL PERIMETRO EXACTO PT = 2V8 + 2Pix2/3 + 4 LAS LUNULAS DE HIPOCRATES Las regiones sombreadas de la siguiente figura se llaman lúnulas de Hipócrates: las líneas curvas son semicircunferencias Describir detalladamente como se determinan las lúnulas y calcular ÁREA y PERIMETRO EXACTO Y APROXIMADO de las lúnulas y de la figura completa sabiendo que B vale 8 y C es igual a 6 NOTA: CUANDO LES PIDAN EXACTO, APROXIMADO O LOS DOS, SIGNIFICA QUE APROXIMADO ES EL VALOR DECIMAL Y EXACTO ES EL VALOR CON EXPRESIONES ENTERAS SUGERENCIA: MIRANDO EL PRIMER EJERCICIO INTENTA RESOLVER ESTE POR TU CUENTA PRIMERO SIN MIRAR LA SOLUCION SOLUCION ORDENAMOS LOS DATOS LADO B = 8 CM LADO C = 6 CM AREA LUNULA CHICA LC = X AREA LUNULA GRANDE LG = X AREA = X PERIMETRO = X USEMOS LA GEOMETRIA PARA DEDUCIR DATOS Como tenemos datos insuficientes, tenemos que usar algo de geometría y una herramienta llamada compás, que hace mucho que no la uso, por cierto, para lograr conseguir la información que nos falta: aca tenemos la figura intervenida con compas y regla: Trazando algunas líneas y completando los círculos con el compás podemos deducir información relevante para la resolución del problema: La lúnula mas chica la forma además del circulo verde de diámetro seis, un circulo mas grande de color azul cuyo diámetro es la hipotenusa de un triangulo formado por el cateto c: H2 = (6)2 + (6)2 H2 = 36 + 36 H = V72 H = 8.48 APROX EL DIAMETRO DEL CIRCULO AZUL ES 8.48 CM TENEMOS CUATRO CIRCULOS DE MENOR A MAYOR: VERDE, MAGENTA, AZUL, ROJO CALCULEMOS EL AREA DEL CIRCULO VERDE ACV = Pix(r)2 ACV = Pix(3)2 ACV = 28,27 APROX CALCULEMOS EL AREA DEL CIRCULO MAGENTA ACV = Pix(r)2 ACV = Pix(4)2 ACV = 50,26 APROX CALCULEMOS EL AREA DEL CIRCULO AZUL ACV = Pix(r)2 ACV = Pix(4,24)2 ACV = 56,47 APROX CALCULEMOS EL AREA DEL CIRCULO ROJO H2 = (8)2 + (8)2 H2 = 64 + 64 H = V128 H = 11,31 APROX ACR = Pix(r)2 ACR = Pix(5,65)2 ACR = 100,53 APROX AHORA DEBEMOS RESTARLE AL CIRCULO AZUL EL AREA DE SU CUADRADO INTERNO Y DIVIDIRLO POR CUATRO AREA CUADRADO = 6x6 = 36 (56,47 - 36) / 4 = 20,47 / 4 = 5,11 5,11 ES LA PARTE QUE SE RECORTA DE LA LUNULA MAS CHICA, HAY QUE RESTARSELA AL SEMICIRCULO VERDE (28,27 / 2) - 5,11 = 14,13 - 5,11 = 9.02 CM2 ES EL AREA APROX DE LA LUNULA PEQUEÑA PARA EL AREA EXACTA REEMPLAZAMOS LOS DECIMALES POR LAS EXPRESIONES ENTERAS ESTA ES EL AREA EXACTA DE LA LUNULA CHICA ALC = ((Pix(3)2) / 2) - ((Pix(V72/2)2 - 36) / 4) EN CUANTO A SU PERIMETRO, ES EL PERIMETRO DEL CIRCULO AZUL DIVIDIDO 4 MAS LA MITAD DEL PERIMETRO DEL CIRCULO VERDE PCA = 2xPix(r) / 4 PCA = 2xPix(4,24) / 4 PCA = 26,64 / 4 PCA = 6,66 CM PCA = 2xPix(r) / 4 PCA = 2xPix(V72/2) / 4 PCV = 2xPix(r) / 2 PCV = 2xPix(3) / 2 PCV = 18,84 / 2 PCV = 9,42 CM PCV = 2xPix(3) / 2 PLC = 6,66 CM + 9,42 CM = 16.08 CM ES EL PERIMETRO APROX DE LA LUNULA CHICA PLC = (2xPix(V72/2) / 4) + (2xPix(3) / 2) ES EL PERIMETRO EXACTO AHORA CALCULEMOS AREA Y PERIMETRO DE LA LUNULA GRANDE AREA DEL CIRCULO ROJO ACR = 100,53 APROX LO MISMO QUE HICIMOS ANTES: RESTEMOS EL CUADRADO INTERNO Y DIVIDAMOS POR CUATRO AREA CUADRADO = 8 x 8 = 64 CM2 (100,53 - 64) / 4 36,53 / 4 = 9.07 CM2 EL AREA QUE DEBEMOS RESTARLE A LA MITAD DEL CIRCULO MAGENTA AREA DEL CIRCULO MAGENTA ACM = 50,26 APROX 50,26 / 2 = 25,13 25,13 - 9.07 = 16.06 CM2 ES EL AREA APROXIMADA DE LA LUNUA GRANDE PARA EL AREA EXACTA REEMPLAZAMOS POR VALORES ENTEROS AREA EXACTA = (Pix(4)2)/2) - (Pix(V128/2)2) / 4) PARA EL PERIMETRO LO MISMO QUE HICIMOS CON LA PRIMERA PERIMETRO MITAD CIRCULO MAGENTA 2xPix4 / 2 = 12,56 CM PERIMETRO UN CUARTO DE CIRCULO ROJO 2xPix(V128/2) / 4 = 35,54 / 4 = 8,88 CM PERIMETRO APROXIMADO DE LA LUNULA GRANDE 12,56 + 8,88 = 21,44 CM PERIMETRO EXACTO DE LA LUNULA GRANDE PLG = Pix2 + (2xPix(V128/2))/4) EN RESUMEN AREA APROX DE LA LUNULA CHICA ALC = (28,27 / 2) - 5,11 = 14,13 - 5,11 = 9.02 CM2 AREA EXACTA DE LA LUNULA CHICA ALC = ((Pix(3)2) / 2) - ((Pix(V72/2)2 - 36) / 4) PERIMETRO APROX DE LA LUNULA CHICA PLC = 6,66 CM + 9,42 CM = 16.08 CM PERIMETRO EXACTO DE LA LUNULA CHICA PLC = (2xPix(V72/2) / 4) + (2xPix(3) / 2) AREA APROXIMADA DE LA LUNULA GRANDE ALG = 25,13 - 9.07 = 16.06 CM2 AREA EXACTA DE LA LUNULA GRANDE ALG = (Pix(4)2)/2) - (Pix(V128/2)2) / 4) PERIMETRO APROXIMADO DE LA LUNULA GRANDE PLG 12,56 + 8,88 = 21,44 CM PERIMETRO EXACTO DE LA LUNULA GRANDE PLG = Pix2 + (2xPix(V128/2))/4) ESPERO LES HAYA SERVIDO Y HAYAN PASADO UN BUEN RATO: SI TE SIRVIO ESTA EJERCITACION Y NO VISTE LA PRIMERA PARTE CONSULTALA EN: DESIGUALDADES, INECUACIONES Y RELACIONES EN TRIGONOMETRIA https://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/20121138/Desigualdades-inecuaciones-y-relaciones-en-trigonometria.html NO DEJES DE REVISAR MIS OTROS POST PARA UN BUEN RATO DE ENTRETENIMIENTO, SALUDOS, QUE ESTES BIEN…