Polígonos cortados
El puzzle de Dudeney
Henry Dudeney (1857-1930) descubrió una ingeniosa transformación de polígonos suspendidos. Expuso un modelo de ellos en caoba ante la Royal Society de Londres en 1905. Se trata de transformar 4 piezas agrupadas de un triángulo equilátero en un cuadrado del mismo área.
La animación flash aquí debajo muestra la transformación.
El secreto del recortado
Tomemos un triángulo equilátero ABC de lado BC=2 para simplificar. Su área es (1/2)(2)(2/2) =
El cuadrado del mismo área tendrá pues un lado que mida es decir raíz cuarta de 3 (o raíz de (raíz de 3)).
En la figura aquí debajo, será [RS] lo que vamos a explicitar.
Construcción :
Teorema general
Dados dos polígonos cuyas áreas son idénticas, existe un recortado de un de ellos en un número finito de polígonos que permite recubrir exactamente el segundo sin desajuste.
El principio general de base consiste en recortar cada una de las dos figuras en triángulos.
En efecto
Para todo par de triángulos del mismo área, existe un recortado que permite pasar de uno al otro y viceversa.
El puzzle de Périgal (Messenger of mathematics, 1873)
Con 5 trozos podemos constituir dos cuadrados : uno pequeño de lado a y uno mediano de lado b.
Con estos mismos 5 trozos podemos constituir un cuadrado grande de lado c.
Tenemos el teorema de Pitágoras : c² = a² + b²
La animación flash de aquí abajo muestra la transformación.
El corro de los rombos
"El rombo es un cuadrado itálico,
una figura al uso de Arlequín,
una figura suave como las sonoridades de su nombre."
Geneviève Brisac
Un hexágono rodeado alternativamente de hexágonos y de triángulos...
Cada uno de los triángulos gira alrededor de uno de sus vértices y los hexágonos de turno son arrastrados en corro.
Unos clips, cartón, una regla y un compás bastaran para la construcción.
La animación flash de aquí abajo muestra el corro de las figuras.
Construcción de los triángulos y hexágonos regulares.
Para construir un triángulo equilátero se toman 2 puntos A y B
AB será uno de los lados del triángulo.
Construir el círculo de centro A y de radio AB, luego el círculo de centro B y de radio AB. Estos dos círculos se cortan en dos puntos. Sea C uno de estos puntos.
ABC es un triángulo regular llamado equilátero.
Pour construire un hexagono regular
Para construir un hexágono regular basta con construir un círculo (C) de radio R y centro O.
Luego se construyen sucesivamente 6 círculos de mismo radio R cuyos centros son construidos sucesivamente sobre el círculo precedente como en la figura de al lado.
ABCDEF es un hexágono regular.
El vals de los cuadrados.
Cuadrado
"Cada uno de tus lados
Se admira en los otros
.
¿Adonde va su preferencia?
Hacia el que le toca
¿O hacia el que tiene enfrente?
Pero me olvidaba de los ángulos
Donde el exterior se irrita
Hasta el punto de suscitarte
Las dudas que renacen".
Guillevic 1967
Nueve cuadrados se aturden en un vals incesante...
Cuestiones...
Observa bien la animación precedente.
¿Hay alguna cosa que no mueva en esta animación?
¿En qué se convierten cada uno de los cuadrados?
Intenta precisar las rotaciones...¿Desde cuántos cuadrados gira cada uno de ello? ¿En qué sentido?
Solo el centro del cuadrado 5 está inmóvil.
A todos los cuadrados se les aplica una rotación de un cuarto de vuelta.
A los cuadrados 1, 3, 5 , 7 y 9 se les aplica una primera rotación en el sentido trigonométrico positivo, es decir en sentido inverso a las agujas del reloj.
A los cuadrados 2, 4, 6 y 8 se les aplica una primera rotación en el sentido trigonométrico negativo, es decir en el sentido de las agujas del reloj.
Luego las rotaciones se hacen en el otro sentido.
Estrella y triángulo...
Cinco trozos de un triángulo equilátero giran y se combinan para formar un bonita estrella de 6 puntas.
Corte del triángulo
Construir un triángulo equilátero ABC con regla y compás. (Un triángulo equilátero tiene 3 lados de la misma longitud)
Construir con el compás (con la mediatriz), los puntos medios L, K y S de los 3 lados del triángulo.
Construir después los puntos medios I de [AS], J de [SC], P de [KC] y Q de [AL].
Construir los segmentos como indica la figura de abajo.
Cortar los cinco polígonos señalados en negrita sobre la figura de abajo.
Otra mutación del triángulo
Otros cinco trozos de un triángulo equilátero se combinan para formar también una estrella de 6 puntas.
Estrella y octógono
Bueno para danzar,
Para dar vueltas
Sobre mi base, sobre mi vértice,
Sobre mis lados, sobre mis otros ángulos.
Es como siempre estoy,
Agitado, estirado,
Por los ángulos, por los lados...
Guillevic
La estrella se convierte en octógono
Seis trozos de una estrella de 8 puntas para formar un octógono regular.
Metamorfosis...
El compás sobre un pié, enseguida se levantó,
Y girando con el otro, un gran círculo trazó.
La regla de ello se alegró, y de pronto fue a colocarse
En el medio del círculo, y el diámetro ha dibujado.
Su amante la besó, acomodándola a su lado,
Unas veces estirándose y otras encogiéndose.
Y vimos nacer de sus doctas posturas
Triángulos y cuadrados, y miles de otras figuras. Charles Perrault
Y esto fué todo espero que os haya gustado. En este enlace hay otro post relacionado con el tema: