¿No te acordás? Dejame que te refresque la memoria de esa delirante escena
Como frecuentemente pasa en Los Simpsons, esa escena esta inspirada o tomada de algún lugar. Ese algo no es ni nada más ni nada menos que un teorema matemático denominado "Teorema de los infinitos monos" (francamente no lo conocía cuando mire por primera vez el capítulo pero igual me reí). Veamos de que se trata el teorma:
El teorema de los infinitos monos afirma que un mono pulsando teclas al azar sobre un teclado durante un periodo de tiempo infinito casi seguramente podrá escribir finalmente cualquier libro que se halle en la Biblioteca Nacional Francesa, por decir algo. En este contexto, el término casi seguramente es un término matemático con un sentido preciso y el "mono" no es en realidad un mono, sino que se trata de una metáfora de la creación de una secuencia aleatoria de letras "hasta el infinito"
La idea original fue planteada por el matemático Émile Borel, en 1913. Borel dijo que si un millón de monos mecanografiaran diez horas al día era extremadamente improbable que pudiesen producir algo que fuese igual a lo contenido en los libros de las bibliotecas más ricas del mundo y aun así, en comparación, sería aún más inverosímil que las leyes de la estadística fuesen violadas, siquiera someramente. Para Borel, el propósito de la metáfora de los monos era ilustrar la magnitud de un acontecimiento extraordinariamente improbable.
Después de 1970, la popular imagen de los monos se extendió hasta el infinito, convirtiéndose en que si un infinito número de monos mecanografiaran por un intervalo infinito de tiempo producirían texto legible. Insistir en ambos infinitos es xcesivo. Un solo mono inmortal que ejecutase infinitamente tecleos sobre una máquina de escribir podría casi con toda seguridad escribir cualquier texto dado y un número infinito de monos podrían producir todo texto posible inmediatamente, sin demora. De hecho, en ambos casos, el texto sería producido un infinito número de veces.
¿Cuál es el razonamiento matemático sin entrar en detalles y aritmética engorrosa?
El teorema de los monos infinitos es directamente demostrable, incluso sin necesidad de resultados más avanzados. Si dos acontecimientos son estadísticamente independientes, queriendo decir esto que ninguno de ellos afecta al resultado del otro, entonces, la probabilidad de que ambos sucedan es igual al producto de las probabilidades individuales de que suceda cada uno, esto es lo que denominan regla del producto de las probabilidades.
Ahora, suponiendo que un teclado tenga 50 teclas y la palabra a ser escrita es “banana”, mecanografiando al azar, la probabilidad de que la primera letra escrita sea b es 1/50, de que la segunda sea a es 1/50, etc. Dichos eventos son estadísticamente independientes, así que la probabilidad de que las seis primeras letras escritas sean “banana” es 1/506 (aplicando la ley del producto).
Ahora, las probabilidades de no escribir “banana” en cada bloque de 6 letras es [1-(1/506)]. Dado que cada bloque debe ser considerado independientemente, la probabilidad X de no escribir “banana” en los n primeros de 6 letras es:
A medida que n aumenta, X se reduce. Para n=1.000.000, X=99.99%, pero para un n igual a 10 000 millones, X=53% y para una n=100 000 millones es un 0,17%. A medida que n se acerca a infinito, la probabilidad de X tiende a cero. Esto es, haciendo n lo suficientemente grande, X puede ser tan pequeño como uno quiera. Si considerásemos las veces que se escribiría “banana” entre bloques de 6 letras, X tendería a 0 incluso más rápidamente. El mismo argumento se aplica si el mono estuviese escribiendo cualquier otra cadena de caracteres de cualquier tamaño. Esta demostración muestra por qué infinitos monos podrían (con casi toda probabilidad) producir un texto tan rápidamente como pudiese ser escrito por un mecanografiador humano copiándolo desde el original. En este caso (ecuación 1), donde X representa la probabilidad de que ninguno de los primeros n monos escribiese banana a la primera. Cuando consideremos 100 000 millones de monos, la probabilidad cae al 0,17% y a medida que n aumenta, X (la probabilidad de que todos los monos fallen al escribir un texto dado) tiende a 0.
Cabe destacar que la verdadera demostración matemática es mucho más compleja e involucra elementos de álgebra y probabilidades con los que, personalmente no estoy familiarizados pero creo que la demostración intuitiva es suficente para comprender las bases del teorema.
Como broche de oro les cuento que existió, hasta hace un tiempo, un simulador en internet de dicho teorema. Los usuarios podían públicamente participar y comentar hasta donde habían escrito sus monitos una novela de teatro (King Richard II usaron). El record fue de 16 letras en común (de miles que contiene la obra jeje).
CLICK AQUÍ para ver el antiguo simulador
Espero que les haya interesado.
¡Hasta la próxima!
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