JOHN WALLIS
John Wallis nació en 1616 en Ashford y murió en 1703 en Oxford. Este inglés fue uno de los matemáticos más influyentes hasta la llegada de Newton.
Wallis cursó sus estudios elementales en la escuela de Ashford, en la que, ya a muy temprana edad, destacó como un alumno especialmente aventajado. A los 14 años había alcanzado el grado de proficiente en latín, griego y hebreo. De aquí pasó directamente a la Emmanual College Cambridge, en donde empezó a interesarse por las matemáticas y también estudió filosofia. Wallis formó parte de un grupo de intelectuales que se reunían periódicamente en Londres para tratar temas sobre ciencias experimentales que, con el tiempo, acabaría por convertirse en la famosa Royal Society, de la que Wallis consta como miembro fundador.
Su mérito más trascendental reside en haber establecido claramente la noción de límite en la forma rigurosa hoy vigente. Gran parte de la obra de Wallis en cálculo precedió a Newton y Leibniz, sobre quienes ejerció una notable influencia.
Entre sus obras más importantes destacan la Arithmetica infinitorum (1656), y el Tratado de secciones Cónicas (1656).
La primera lo llevó a la fama. A lo largo de sus páginas abordaba cuestiones tales como las series, la teoría de los números, las cónicas, los infinitos... En la resolución de este tipo de integrales descubrió métodos de cálculo que más tarde serían utilizados por Newton en su teorema del binomio. A Wallis se atribuye la introducción del símbolo ", utilizado habitualmente para denotar el infinito.
En cuanto a las secciones cónicas, Wallis las plantea con independencia de la figura tridimensional que las genera y, haciendo una importante aritmetización de la geometría, las considera de forma «absoluta», por medio de ecuaciones que se aproximan mucho a la idea actual que tenemos de estas curvas como lugares geométricos del plano sujetos a ciertas condiciones.
A mediados del siglo XVII el matemático inglés, John Wallis dio interpretaciones claves a estos nuevos números: carácter vectorial a los números con signo y diferenciación entre números reales como números sobre una recta y números complejos como números en un plano.
ISAAC NEWTON
Isaac Newton fue un matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominada cálculo. También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal.
Nació el 25 de diciembre de 1642 (según el calendario juliano vigente entonces; el 4 de enero de 1643, según el calendario vigente en la actualidad), en Woolsthorpe, Lincolnshire (Inglaterra). Falleció en 1727. Cuando tenía tres años, su madre viuda se volvió a casar y lo dejó al cuidado de su abuela. Al enviudar por segunda vez, decidió enviarlo a una escuela primaria en Grantham. En el verano de 1661 ingresó en el Trinity College de la Universidad de Cambridge y en 1665 recibió su título de bachiller.
Recibió el título de profesor en 1668. Durante esa época se dedicó al estudio e investigación de los últimos avances en matemáticas y a la filosofía natural, que consideraba la naturaleza como un organismo de mecánica compleja. Casi inmediatamente realizó descubrimientos fundamentales que le fueron de gran utilidad en su carrera científica.
El método de las fluxiones.
Newton obtuvo en el campo de las matemáticas sus mayores logros. Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área bajo una curva, y descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos en lo que él llamó el método de las fluxiones, Newton desarrolló en el otoño de 1666 lo que se conoce hoy como cálculo, un método nuevo y poderoso que situó a las matemáticas modernas por encima del nivel de la geometría griega.
Aunque Newton fue su inventor, no introdujo el cálculo en las matemáticas europeas. En 1675 Leibniz llegó de forma independiente al mismo método, al que llamó cálculo diferencial; su publicación hizo que Leibniz recibiera en exclusividad los elogios por el desarrollo de ese método, hasta 1704, año en que Newton publicó una exposición detallada del método de fluxiones, superando sus reticencias a divulgar sus investigaciones y descubrimientos por temor a ser criticado. Sin embargo, sus conocimientos trascendieron de manera que en 1669 obtuvo la cátedra Lucasiana de matemáticas en la Universidad de Cambridge.
Los principios.
En agosto de 1684 la soledad de Newton se vio interrumpida por la visita de Edmund Halley, un astrónomo y matemático con el que discutió el problema del movimiento orbital. Newton había estudiado la ciencia de la mecánica como estudiante universitario y en esa época ya tenía ciertas nociones básicas sobre la gravitación universal. Como resultado de la visita de Halley, volvió a interesarse por estos temas.
Durante los dos años y medio siguientes, Newton estableció la ciencia moderna de la dinámica formulando las tres leyes del movimiento. Aplicó estas leyes a las leyes de Kepler sobre movimiento orbital —formuladas por el astrónomo alemán Johannes Kepler— y dedujo la ley de la gravitación universal. Probablemente, Newton es conocido sobre todo por su descubrimiento de la gravitación universal, que muestra cómo a todos los cuerpos en el espacio y en la Tierra les afecta la fuerza llamada gravedad. Publicó su teoría en Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), obra que marcó un punto de inflexión en la historia de la ciencia, y con la que perdió el temor a publicar sus teorías.
Además de su interés por la ciencia, Newton también se sintió atraído por el estudio de la alquimia, el misticismo y la teología. Muchas páginas de sus notas y escritos —especialmente en los últimos años de su carrera— están dedicadas a estos temas. Sin embargo, los historiadores han encontrado poca relación entre estas inquietudes y sus trabajos científicos.
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ
Nació el 1 de julio de 1646 en Leipzig, Sajonia (hoy Alemania) y murió el 14 de noviembre de 1716 en Hannover (hoy Alemania).
Empezó sus estudios a la edad de 7 años, destacaba en Latín y Griego. En esta época comenzó a interesarse por la filosofía, estudió los libros de su padre y leyó libros de metafísica y teología de autores católicos y protestantes.
En 1661, con 14 años, entró en la Universidad de Leipzig. Estudió filosofía y matemáticas. Finalizó sus estudios en 1663, con la tesis De principio Individui.
Durante un año estudió en Jena matemáticas, historia y jurisprudencia. En 1666 publicó su De arte combinatoria, intento de construcción de una característica universal. En este año conoció a Erhard Weigel, un matemático y filosofo, que le hizo ver la importancia del método matemático. Leibniz se doctoró en leyes en la Universidad de Altdorf en Febrero de 1667.
Siendo Consejero del Tribunal supremo del elector de Maguncia, publicó Confessio naturae contra atheistas (1668). En 1672 fue enviado por el elector de Maguncia a París, donde conoció a Arnauld y a Huygens, quien le inició en la matemática moderna. Poseedor de una cultura enciclopédica, se interesó por la matemática, la física y la ingeniería. Llevó a cabo interesantes trabajos relativos al desarrollo del cálculo infinitesimal, e inventó una calculadora mecánica en 1676.
Los últimos años de su vida, estuvo ocupado por la disputa con Newton sobre quien había descubierto primero el Cálculo infinitesimal.
Leibniz fue considerado un genio universal por sus contemporáneos. Su obra aborda no sólo problemas matemáticos y filosofía, sino también teología, derecho, diplomacia, política, historia, filología y física.
La contribución de Leibniz a las matemáticas consistió en enumerar en 1675 los principios fundamentales del cálculo infinitesimal. Esta explicación se produjo con independencia de los descubrimientos del científico inglés Isaac Newton, cuyo sistema de cálculo fue inventado en 1666. El sistema de Leibniz fue publicado en 1684, el de Newton en 1687, y el método de notación ideado por Leibniz fue adoptado universalmente (véase Signos matemáticos). En 1672 también inventó una máquina de calcular capaz de multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas. Es considerado un pionero en el desarrollo de la lógica matemática.
FAMILIA BERNOULLI
Es una familia de matemáticos procedentes de Amberes que a fines del siglo XVI fijaron su residencia en Suiza. Contribuyeron eficazmente a la difusión del cálculo diferencial y su influencia perduró hasta concluido el siglo XVIII.
Pertenecientes a esta familia figuran más de una decena de matemáticos a lo largo de tres generaciones y durante los siglos XVII y XVIII. Entre todos ellos obtuvieron grandes méritos y nos dejaron importantes enunciados matemáticos como la "serie de Bernoulli", los "números y polinomios de Bernoulli" que tienen ciertas aplicaciones en teoría de números. Hay también dos "teoremas de Bernoulli", uno en el cálculo integral y otro en la hidráulica. Asimismo reciben el nombre de "procesos Bernoulli" ciertos fenómenos probabilísticos. Además de generar este gran número de matemáticos también hay dos pintores, un médico, un naturalista y un arqueólogo con el mismo apellido Bernoulli.
Entre los matemáticos, tres fueron excepcionales: Jacobo (1654-1705); su hermano Juan (1667-1748) y Daniel (1700-1782), hijo de este último.
- Jacobo: Su obra matemática se repartió entre los nuevos métodos infinitesimales y el cálculo de probabilidades. Dentro del primer campo se ocupó de series y de las propiedades de numerosas curvas. Entre los casos particulares que examina especialmente, figura la espiral logarítmica, descubriendo que se reproduce en otras curvas derivadas de ella, lo que le lleva a imitar el gesto de Arquímedes, pidiendo que en su tumba se grabase dicha curva con la leyenda Eadem mutata resurgo.
Se le debe la primera resolución, con demostración, del problema propuesto por Leibniz de la curva isócrona, tal que un punto material obligado a deslizarse sobre ella cae con movimiento uniforme respecto de la vertical; el de la curva de tiempo mínimo o braquistócrona, descrita por un punto material para trasladarse de un punto a otro más bajo en tiempo mínimo bajo el influjo de la gravedad; el de las trayectorias ortogonales, es decir, familia de curvas que cortan a las curvas de otra familia bajo ángulo recto; y el problema de los isoperímetros o curvas de igual longitud que cumplen ciertas propiedades de máximo o mínimo.
Muchos de estos problemas dieron origen más tarde a una nueva disciplina matemática, denominada hoy cálculo de variaciones. En su obra Ars conjectandi, aparecida en 1713, el cálculo de probabilidades adquiere autonomía científica. Se compone esta obra de cuatro partes en las que da a conocer los números que designamos hoy por su nombre y la «ley de los grandes números». En 1717 se publicó “El arte de pronosticar”, obra póstuma en la que introdujo los conceptos de posibilidad, probabilidad y certeza.
- Juan: hermano y discípulo de Jaques, estudió, además de matemáticas, medicina y filología, y realizó también interesantes trabajos de astronomía y física. Desarrolló el cálculo diferencial y se le considera el fundador del cálculo exponencial.
- Daniel: estudió matemáticas, física, medicina y fisiología. Fue profesor de matemáticas en la Academia Rusa de San Petersburgo en 1725. Posteriormente dio clases de filosofía experimental, anatomía y botánica en las universidades de Groningen y Basilea, en Suiza. Sentó las bases de la mecánica sobre el principio de conservación de la energía.
Realizó trabajos sobre la mecánica de los fluidos y es de especial importancia su Tratado de hidrodinámica (1738). Desarrolló una extensa obra matemática.
L'HÔPITAL
L'Hôpital nació en 1661 en París (Francia) donde también falleció el 2 de febrero de 1704. Era un competente matemático, su fama está basada en su libro “Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes” (1692).
L'Hôpital aprendió cálculo de su maestro Johann Bernoulli en 1691. L' Hôpital escribió el primer libro de cálculo en el año 1696, el cuál estuvo influenciado por las lecturas que realizaba de sus profesores, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli y Leibniz. En este libro creó la regla que ahora se conoce como Regla de L'Hôpital, para encontrar el límite de una función racional cuyo numerador y denominador tienden a cero.
Las reglas de L'Hôpital vienen a aplicarse en la resolución de límites en los casos de indeterminaciones habituales (0 / 0 ó " / ", por ejemplo), siempre que sepamos calcular el límite de los cocientes de las derivadas (cuando la función podemos expresarla como cociente de funciones )
BROOK TAYLOR
Taylor nació el 18 de agosto de 1685 en Edmonton (Inglaterra) y murió el 29 de diciembre de 1731 en Londres (Inglaterra).
Taylor fue educado con tutores privados hasta que entró, en 1703, en St. John's College de Cambridge, en donde se convirtió en un admirador de la obra de Newton..
Se graduó en 1709, pero ya en 1708 había escrito su primera obra importante, aunque no se publicó hasta 1714 en una revista de la Royal Society: dio solución al problema del centro de oscilación, la cual desde que fuera difundida hasta 1724, resultaba ser la disputa prioritaria con Johann Bernoulli.
Taylor participó, en este año, en el comité que se constituyó para zanjar la disputa sobre quién había sido el fundador del Cálculo, Newton o Leibniz.
En 1715 publicó Methodus incrementorum directa et inversa, su obra más importante, y Perspectiva Lineal, dos libros importantes en la historia de las matemáticas. En el primero agregaba a las matemáticas una nueva rama llamada ahora “El cálculo de las diferencias finitas”, e inventó la integración por partes y descubrió la célebre fórmula conocida como la Serie de Taylor, la importancia de esta fórmula no fue reconocida hasta 1772, cuando Lagrange proclamó los principios básicos del Cálculo Diferencial. En dicha obra aborda la determinación de las soluciones singulares de las ecuaciones diferenciales, el problema del cambio de variable, la determinación de los centros de oscilación, de percusión y de curvatura, y el problema de la cuerda vibrante.
Taylor da cuenta de un experimento para descubrir las leyes de la atracción magnética (1715) y un método no probado para aproximar las raíces de una ecuación dando un método nuevo para logaritmos computacionales (1717).
LEONHARD EULER
Matemático suizo nacido en 1707 en Basilea; murió 1783 en San Petersburgo. Estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada. Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
De entre las innumerables contribuciones de Euler podemos citar la trigonometría en su versión moderna (tal como se enseña actualmente en las escuelas), el concepto preciso de logaritmo y la elucidación de lo que son los números imaginarios.
Logaritmos
Los logaritmos fueron inventados por Napier y Briggs a principios del siglo XVII y, en su época, fueron una gran ayuda para realizar operaciones aritméticas. Sin embargo, Euler fue quien los interpretó como lo que en matemáticas se llaman " funciones ", es decir, reglas para asociar un número a otro número.
Vistos así, los logaritmos y los exponentes, que son sus " funciones inversas", resultaron tener un campo de acción mucho más amplio que el de simples herramientas de cómputo.
Euler descubrió la gran utilidad de las funciones logaritmo y exponente para el análisis matemático; en particular, mostró que los logaritmos podían tener cualquier base, no sólo el 10, y encontró la base más natural para ellos: el número "e".
Imaginarios
En el álgebra, Euler mostró que es perfectamente posible trabajar con lo que, hasta la fecha, se conocen como "números imaginarios".
Las síntesis de Euler fueron numerosísimas. Por ejemplo, en una de tantas fórmulas que descubrió, se unen, por una parte, una suma que involucra a todos los números enteros —números tan comunes— y, por otra parte, un producto que involucra todos los números primos, esos números tan fáciles de definir y tan endiabladamente difíciles de manejar. Euler fue el maestro de las síntesis matemáticas.
El primer logro científico importante de Euler lo constituyó la introducción (1736) del método analítico en la exposición de la mecánica newtoniana con el fin de reducir al mínimo la tradicional confianza en la demostración por métodos geométricos. De la mecánica, Euler trasladó estos planteamientos al cálculo infinitesimal, y en 1748 publicó la primera obra de análisis matemático en la que el papel principal estaba reservado a las funciones en lugar de a las curvas. La geometría fue, con todo, un campo en el que Euler realizó las contribuciones mayores, siendo uno de sus resultados más conocidos la fórmula que relaciona el número de caras, vértices y aristas de un poliedro regular, en el que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos (C + V = A + 2). Sus obras completas, que abarcan más de ochocientos tratados, ocupan 87 volúmenes.
Teorema de Euler
Teorema que relaciona el número de caras, vértices y aristas de un poliedro simple (sin orificios) cualquiera.
Establece lo siguiente: en un poliedro simple, el número de caras, C, más el número de vértices, V, es igual al número de aristas, A, más dos. Es decir:
C + V = A + 2
PIERRE SIMON DE LAPLACE
Nació en Beaumont-en-Auge en 1749 y murió en París en 1827.
Laplace probó la estabilidad del sistema solar. En análisis Laplace introdujo la función potencial y los coeficientes de Laplace. Dio especial importancia a la teoría de la probabilidad.
Hipótesis Nebular.
Laplace presentó su famosa hipótesis nebular en "Exposition du systeme du monde" en 1797, que formulaba que el sistema solar se creó de la contracción y enfriamiento de una gran nube aplastada de gas incandescente que giraba lentamente.
La Teoría de la Probabilidad.
Laplace también trabajó en la Teoría de la Probabilidad, y en particular dedujo el método de los mínimos cuadrados. Su "Théorie Analitique des Probabilités" se publicó en 1812.
A él le corresponde, además, el mérito de haber descubierto y demostrado el papel desempeñado por la distribución normal en la teoría matemática de la probabilidad. Sus aportaciones en este campo pueden cifrarse en dos: por un lado la creación de un método para lograr aproximaciones de una integral normal; por otro su descubrimiento y demostración de lo que ahora se llama el teorema central del límite.
Aportaciones en Análisis Matemático.
Asimismo, estudió las ecuaciones diferenciales y la geodesia. Así, es muy conocida la famosa ecuación diferencial de Laplace. Una ecuación del tipo Nabla cuadrado de f = 0 siendo Nabla cuadrado un operador laplaciano. Llamamos Laplaciana, u operador de Laplace, a un operador para un campo escalar que se simboliza como Nabla cuadrado, definido en coordenadas cartesianas rectangulares. Está definido siempre que existan todas las derivadas parciales del segundo miembro.
Conocemos la Transformada de Laplace, como una transformación que asocia a cada función real una función compleja, designada generalmente por L(f). Esta transformada tiene aplicaciones muy interesantes, como la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales, y el estudio de problemas con condiciones de contorno. Se utiliza frecuentemente en análisis de circuitos eléctricos y en servosistemas.
En colaboración con Antoine Lavoisier dirigió experimentos sobre la acción capilar y sobre el calor específico. Estableció la relación que expresa la presión capilar ejercida sobre una superficie líquida curvada. Este resultado se conoce en física como la Ley de Laplace. Realizó junto a Lavoisier las primeras medidas calorimétricas relativas a los calores específicos y a las reacciones químicas. Estableció la fórmula de las transformaciones adibáticas de un gas, y la utilizó en la expresión de la velocidad de propagación del sonido.
Aportaciones al Álgebra.
Laplace publicó varios artículos sobre matrices y determinantes. En 1772 dijo que los métodos introducidos por Cramer y Bezout eran inservibles, y en un artículo en el que estudió las órbitas de los planetas planteó la resolución de sistemas de ecuaciones lineales sin calcularla realmente, usando determinantes. Sorprendentemente, Laplace usó la palabra "resultante", para lo que hoy llamamos determinante. Es curioso, ya que es la misma palabra que usó Leibniz, aunque Laplace seguramente no conocía su obra. Laplace obtuvo el desarrollo de un determinante que ahora lleva su nombre.
Regla de Laplace.
Fórmula que permite calcular la probabilidad de sucesos en experiencias ideales. Debe su nombre al matemático francés Pierre Laplace, quien la enunció en su libro Teoría analítica de las probabilidades (1812).
Se aplica en experiencias en las que todos los elementos del espacio muestral son equiprobables (tienen la misma probabilidad). Según esta regla, la probabilidad de un suceso cualquiera S se calcula:
P [S] = número de casos favorables a S / número de casos posibles
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