Álgebra CBC (primera parte)

Bueno gente, este es mi primer post. Como dice el titulo del mismo vengo a acercarles la primera parte de vectores de Algebra del CBC que es una materia particularmente dificil para alguien que como yo o la mayoria lo maximo que aprendio en la secundaria es a remplazar numeritos en ecuaciones sin tener un minimo sentido de lo que estaba haciendo. Esta materia cuando uno le agarra la mano es de lo mas interesante, y es una de las materias mas importantes despues de analisis matematico para cualquier ingenieria o ciencia exacta. Vector: ¿Que joraca es un vector? Un vector es basicamente una linea que une dos puntos. En el caso de la imagen seria el vector descrito seria el que pasa por el origen y el punto . La notacion del vector es bastante facil, se pone los puntos por el que pasa desde el origen hacia el extremo. Todo con una linea o flecha arriba de ellos. Estos bichos tienen tres caracteristicas principales: *Modulo: Nos dice cuanto mide el vector (su longitud) *Direccion: La direccion nos indica sobre que recta esta contenido el mismo. * Sentido: Nos dice para donde apunta la flecha, puede ser de como en la imagen o . Me supongo que se estaran preguntando ¿Porque esa flechita es tan importante?. Lo es, porque con esta flechita se pueden hacer miles de cosas, tiene importancia en las matematicas, fisica, cualquier ingenieria y muchisimas mas aplicaciones. Sin ir mas lejos con estas flechas podemos representar las fuerzas, velocidades, aceleraciones, posiciones, etc. El vector de la primera imagen esta llevado al origen, ¿Que quiere decir esto? Quiere decir que por comodidad el vector tiene origen en el cero de nuestro sistema de coordenadas. Este vector podria haber estado ubicado en cualquier lugar del espacio, sin embargo para simplificarnos la vida lo llevamos al origen. ¿Como se hace esto? Por ejemplo el vector que pasa por los puntos y para llevarlo al origen hacemos la siguiente operación: Vector desde Origen = Extremo - Origen Que nos da por resultado curiosamente introduciendo aquí la definición de vector equivalente. Dos vectores son equivalentes (a este nivel los consideramos iguales) si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Operaciones Básicas con vectores Con los vectores podemos hacer bastantes cosas que voy a pasar a definir: *Suma: Si tenemos dos vectores cualesquiera y se define la suma como: No tiene mucho mas ciencia , es sumar componente a componente obteniendose otro vector. Graficamente pasa algo bastante curioso cuando sumamos dos vectores, dejo una imagen para que lo puedan visualizar: Esto es llamado "la regla del paralelogramo". *Resta: Muy parecido a la suma y se define a la resta como: Y gráficamente seria lo siguiente: Estas dos operaciones tienen algunas propiedades bastantes importantes que es bueno saberlas: 1) Es conmutativa, es decir, cumple con que 2) Es asociativa, es decir, cumple con que 3) Existe un elemento neutro, que es el vector nulo digamos . Que cumple con que 4) El vector neutro también puede ser representado como la suma de un vector no nulo mas su inverso. ¿Que quiere decir esto? Quiere decir que *Producto por un escalar: Algunos se estarán preguntando el significado de "escalar", no es algo relacionado con escaleras ni nada parecido. Es el nombre que se le da a las magnitudes a dimensionales, en este caso un numero. Esto lo que hace es "estirar" , "acortar" o cambiarle el sentido a nuestro vector. Esta operación tiene unas propiedades importantes: 1) Es distributiva 2) Es asociativa 3) El numero 1 es el elemento neutro, porque 4) Y por su puesto tenemos el elemento nulo que es el cero tal que Bueno acabamos de definir las operaciones algebraicas mas básicas, ahora se viene el cuarteto y mucha atención. Modulo de un vector Como habíamos dicho anteriormente el modulo de un vector nos dice mas o menos cuanto mide y se define de la siguiente manera: Famosisimo teorema de pitagoras, El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de las áreas del cuadrado de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto)... Bla bla bla, aca lo que nos interesa es que el modulo del vector nos dice la distancia que hay de un punto a otro cualquiera en el espacio y eso es muy importante. Esto tiene varias propiedades: 1) No existe un modulo negativo (fíjense que cualquier numero real elevado al cuadrado siempre es positivo). Al menos que trabajemos con imaginarios que olvídense hasta nuevo aviso. 2) Super importante, podemos sacar los escalares en modulo para afuera. 3) Desigualdad triangular: , solo es valido cuando A y B tienen la misma dirección. Con la norma podemos definir algo nuevo llamado versor que son unas "mini flechitas" de modulo uno (tambien llamados vectores unitarios) que definen una direccion. Un ejemplo de esto es el sistema de ejes cartesianos . El vector unitario o versor se define como: Producto entre dos vectores (producto interno) Esta es una operación nueva y no es nada complicada, esto vendría a ser como dice el titulo una multiplicación entre dos vectores. Esta multiplicación da como resultado un numero y no un vector como podría uno pensar y se define de la siguiente manera: La definición que a nosotros nos serviría seria la siguiente: Ya que despejando un poco llegamos a: Gráficamente esto seria algo así: Que es super groso porque nos puede decir que angulo hay entre dos vectores cualquiera. Producto Vectorial Aca es donde se pudre todo, va no los quiero asustar, se pone medio gede pero es hasta que te acostumbras. El producto vectorial es un producto definido entre dos vectores que da como resultado, a diferencia del producto escalar, otro vector. Con la particularidad de que este vector va a ser perpendicular o normal a los otros dos. Esto va a ser de gran ayuda en las proximos temas que veamos por eso es de vital importancia que le pongan un ojo encima. El producto vectorial se define como: Si, les adivine el pensamiento. Es horrible esta definición, sin embargo se la van a aprender de memoria de tanto usarla!. Definamos las propiedades: 1) Esta operación no es conmutativa, es decir que no es lo mismo hacer 2) Puede ser distributiva, sin embargo con unos requerimientos tomados de la propiedad anterior (o por izquierda o por derecha, nunca mezclado) 3) para cualquier vector 4) Es asociativo por el producto por escalares Para que visualicen como es: Bueno hasta acá llegue por esta noche , esto seria la mitad de la practica 1 que faltaría rectas y planos que es una aplicación de todos estos conceptos que deje en este post. Espero que les guste y que les sirva a los ingresantes que están con ansias de empezar. Ojala que les guste ya que me costo horrores pasar las formulas a latex. Saludos a todos!.