Álgebra: Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales

Buenas gente! Tanto tiempo, ya hace casi un año desde mi primer post sobre algebra lineal para cebecianos que a muchos chicos parece haberles servido ya que hasta el día de hoy sigo recibiendo puntos y mensajes por un post casi prehistórico. Tan prehistórico es el post que ya ni las imágenes aparecen y les pido disculpas por eso, voy a tratar de subir las imágenes de LaTeX a imageshack para que duren un poco mas. En este post me voy a centrar en el tema "Matrices" ya que según tengo entendido en este momento van por ahi. Pero bueno, las verdaderas motivaciones del post ya fueron mencionadas, para mi cada persona que haya podido entender un poquito mas es un triunfo, porque la ciencia y la inteligencia colectiva tiene en mi opinión ese fin, llegarle a todos los que tengan ganas de alimentar su curiosidad, o aquellos que simplemente tienen ganas de aprender. Manos a la obra!. Matrices ¿Y esto que joraca es? ¿Morfeo Trinity y la Matrix? No bolu ni parecido jaja!. Las matrices son unos elementos matemáticos totalmente nuevos (para la mayoría de los que terminaron el secundario en una escuela pública), fuera de todo lo que se vio en la secundaria. Sin embargo, no deben infundir miedo ya que varias de las operaciones que ya conocíamos se pueden definir entre las matrices, algunas más o menos parecidas y otras de una manera, digamos, novedosa. Pero bueno, vamos a pasar a mostrar, para los que necesitan ver para creer que es una matriz y como se define. Una matriz es de la pinta: Donde: - “A” es el nombre que le doy a mi matriz, le podría haber puesto “Juanita” , es totalmente arbitrario. - Esa suerte de Є implica que nuestra matriz “existe en…”. - La R con doble patita significa que los coeficientes de la matriz (numeritos que van a aparecer) van a ser “Reales”. - La letra “m” indica el número de FILAS de la matriz. - Y la letra “n” indica el numero de COLUMNAS de la matriz. - Entonces “mxn” implica “m” filas y “n” columnas. Bueno basta de tanta chachara y veamos como se ve una matriz: En nuestro caso, la matriz se sigue llamando A, aunque seguramente tengamos algunos partidarios de llamarla “Juanita”, se puede observar fácilmente que el numero de filas coincide con el numero de columnas, también vemos que tenemos coeficientes con subíndices. El primero indica el número de fila, y el siguiente el número de columna, lo que ayuda a localizar cualquier coeficiente de la matriz dado. Voy a ilustrar que es una fila y que es una columna para los que se hayan perdido en el camino: Donde las “C” se refieren a columna 1,2,…,n y lo mismo para las “F” que quieren decir fila 1,2,…,n. (Cuando pongo los puntitos y después la “n” se refiere a las que sea). Ahora les dejo un par de matrices como ejemplo, ustedes tienen que pensar cual es la dimensión de ellas, es decir, mostrar quien es m (cantidad de filas) y quien es n (cantidad de columnas). Operaciones de matrices Suma No es nada del otro mundo esta operación, básicamente lo que hacemos es sumar coeficiente a coeficiente. IMPORTANTE: Solo tiene sentido la suma y la resta si las matrices tienen la MISMA DIMENSION, es decir, mismo numero de filas y mismo numero de columnas!. Pongo algo genérico y un ejemplo para que lo puedan ver: Con el mismo razonamiento podemos restar matrices. Propiedades: -Asociatividad: (A+B)+C = A+(B+C) -Conmutatividad: A+B = B+A -Elemento Neutro: A+0=A -Inverso Aditivo: A+(-A)=0 Multiplicación por un escalar Esto es lo mismo que multiplicar un número por otro, pero en nuestro caso debemos multiplicar ese número por todos los coeficientes que aparecen en nuestro elemento matriz. Nada difícil, como mostramos a continuación: Propiedades: -Distributiva: (A+B)*c= A*c + B*c -Conmutatividad: A*c=c*A -Elemento Neutro: A*1=A Multiplicación de matrices Ajústense el cinturón muchachos/as porque acá se viene lo jodido. La multiplicación entre matrices primero tiene sentido si el numero de columnas de la matriz que multiplica a la izquierda es el mismo numero de filas de la que multiplica a derecha. De lo contrario este carece de sentido. Voy a mostrar el cuco, en el caso general. Sea A: Tal que Y sea B: Donde La multiplicación entre matrices resulta como el siguiente cuco: Se puede observar fácilmente cual es la dimensión resultante al tener una multiplicación de matrices. La multiplicación define cada coeficiente como el producto escalar (ver mi otro post) entre la fila de la matriz que multiplica a izquierda, por la columna de la matriz que multiplica a derecha. Nada tiene sentido en la vida si no mostramos un ejemplo genérico: Y ahora un ejemplo para los que necesitan ver para creer: Las propiedades son las mismas que en el producto, pero hay cosas que no se cumplen. El producto NO ES CONMUTATIVO, es decir, no es igual: La división de matrices NO ESTA DEFINIDA, es decir, no existe un elemento inverso global. Este inverso va a ser definido en un futuro no muy lejano. Y nos falta el elemento neutro de la multiplicación, que esta dado por la matriz Identidad, que es una matriz que tiene unos en la diagonal y ceros en los demás lugares: Well, enought dude! Entiendo, yo en sus lugares me estaría enfadando, este chabon me esta tirando definiciones y un montón de propiedades de algo que a penas conozco, pero… ¿Para que sirven las matrices?. Es una pregunta tan inocente, comparable con preguntar ¿Para que sirven las Matemáticas?. Como esta ultima pregunta tiene una respuesta tan amplia que el post me quedaría infinitamente chico, voy a tratar de responder la primera parcialmente dentro de lo que conozco. La primera aplicación, la mas elemental diríamos, es la de resolver un sistema de ecuaciones lineales, despejar incógnitas es algo que se encuentra hasta debajo de las piedras asi que uno tiene que acostumbrarse a manejar estos “bichos”. Ahora les muestro algunos ejemplos donde se encuentra estos elementos, y se me pone la piel de gallina ya que estas cosas no muy complicadas pueden servir para cosas tan grosas. -En matemáticas tiene muchas aplicaciones, como resolución de ecuaciones diferenciales, definir extremos, hallar una sucesión por recurrencia, norma infinito, descomposición de valores singulares, etc, y por ejemplo diferenciales de funciones de varias variables (derivadas en funciones que dependen de muchas variables: “Calculo multivariable”). Por ejemplo si tenemos una función: Su diferencial va a ser: James Clerk Maxwell (Edimburgo, Escocia, 13 de junio de 1831 – Cambridge, Inglaterra, 5 de noviembre de 1879). Físico escocés conocido principalmente por haber desarrollado la teoría electromagnética clásica. -Física Avanzada: Tiene aplicaciones desde la mecánica quántica, resolución de sistemas acoplados con n grados de libertad, óptica geométrica, electrodinámica quántica, relatividad,…, etc. Para dar un ejemplo, en mecánica clásica se puede caracterizar la inercia rotacional de un cuerpo por una matriz que contiene toda la información sobre la distribución de masa del sistema, esta matriz se llama “Tensor de inercia” y esta definida de la siguiente manera: Donde cada coeficiente se define como: La famosa transformacion de Lorentz: Es una transformación lineal que tiene una matriz asociada que sirve para pasar a un sistema de coordenadas relativista. Para mas información: http://es.wikipedia.org/wiki/Transformacion_de_Lorentz Marie Salomea Skłodowska Curie, conocida habitualmente como Marie Curie (Varsovia, Zarato de Polonia, 7 de noviembre de 1867 - Passy, Francia, 4 de julio de 1934), fue una química y física polaca, posteriormente nacionalizada francesa. Pionera en el campo de la radiactividad, fue, entre otros méritos, la primera persona en recibir dos premios Nobel y la primera mujer en ser profesora en la Universidad de París. -Química: La Z-Matriz, que da una descripción de cada átomo dentro de una molécula dada. Es una herramienta muy poderosa para la descripción de compuestos complejos como polímeros, cadenas moleculares y ADN. Se usa básicamente para modelar el comportamiento de estos usando química computacional. Z-Matriz del metano Matriz de superposición: Es una matriz que se usa en química quántica para describir la interrelación entre bases quánticas. Y se define como: (Si esto es una matriz, pero esta escrita en diferente forma). También tiene aplicaciones en biología, medicina, computación, ingeniería y un largo etc. Para mayor información: http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_%28mathematics%29#Applications Y una lista de las matrices más importantes en los respectivos campos del conocimiento: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_matrices De todas maneras estas aplicaciones están muy lejos de lo que uno pueda llegar a imaginar sin embargo esta bueno poder contemplar el gran poder que una herramienta tan simple sustenta. Ejercicios Ahora dejo un par de ejercicios para que practiquen. Sean las matrices: Resolver cuando sea posible: Sistema de ecuaciones lineales Bueno supongo que si llegaron hasta acá ya están cancheros con las operaciones de matrices, y supongo también que habrán hecho alguno de los ejercicios de arriba. Si hasta aquí me creyeron ahora vamos a ver una de las aplicaciones mas usadas de las matrices, que es resolver un sistema de ecuaciones. Básicamente un sistema de ecuaciones es lo siguiente: Y en la siguiente pic muestro cada una de sus componentes: Tenemos tres ecuaciones (E1, E2 y E3) y tres incógnitas (i1, i2 e i3). Uno lo que tiende a hacer cuando tiene estos sistemas y agarrar y empezar a despejar una de las incógnitas en función de las demás, por ejemplo de la primera ecuación despejar x1, agarrar y meter x1 en la segunda y despejar x2 y así. Imagínate tener un sistema de 8 ecuaciones y 8 incógnitas, te volver loco si queres hacer eso!. Notar que no encerré el dos que acompaña a la incógnita dos, ¿Por que no lo hice? Porque el siguiente sistema se puede expresar como una multiplicación de la siguiente manera: Vamos a ponerles nombre: Donde A es lo que llamamos "la matriz asociada" al sistema, x va a ser el conjunto de soluciones del sistema y b es lo que se llama "la solución particular". Ahora en todo lo que nos vamos a enfocar es tratar de hallar los x's que satisfacen el sistema, es decir los vectores x tales que si yo los meto en la ecuación se resuelve el sistema. Por ejemplo la única solución que satisface el sistema de arriba es: Si ustedes remplazan el vector x y hacen la multiplicación van a ver que justamente se cumple la igualdad. Ustedes se estarán preguntando como llegue a esa solución, hay varios caminos, tenemos el camino convencional que es despejar que es aburrido o el nuevo camino que les voy a enseñar. Se llama el método de triangulacion de Gauss-Jordan. Vamos ver algo para poder tener una idea de que va esto. Si por ejemplo tenemos el sistema: Que fue super facil decir quien era la solución, el método de triangulacion de Gauss-Jordan tiene como objetivo llegar a algo como lo que acabamos de ver, una matriz lo mas simple posible. Este método consta de aplicarle operaciones elementales a las ecuaciones (o matriz asociada) a nuestro sistema para llegar a lo que se llama "un sistema equivalente" mas simple. La demostración de que el sistema es equivalente y la solución es la misma no es complicada, pero es engorrosa, la pueden buscar en cualquier libro de álgebra lineal. Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777, Brunswick – 23 de febrero de 1855, Göttingen), fue un matemático, astrónomo, geodesta, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Operaciones elementales Hay tres operaciones elementales que le podes aplicar a nuestro sistema de ecuaciones tanto como a nuestra matriz asociada, yo recomiendo trabajar con la matriz asociada ya que nos ahorramos de escribir mil veces lo mismo. Una simplificación en la notación es la siguiente: Esto es lo que se llama "la matriz ampliada del sistema", consta de agregar la solución particular como una pseudo-columna. Bueno a partir de esto, vamos a mencionar las tres operaciones elementales: -Intercambiar dos ecuaciones o filas de nuestra matriz, es decir: Ahí intercambie la fila 1 con la fila 3, básicamente esta operación no cambia las soluciones del sistema. Ojo, intercambiar columnas si me cambia la solución así que no esta permitido. -Multiplicar una fila por un numero no nulo. Si multiplicamos a ambos lados de la igualdad no me modifica nada, de ultima saco factor común y se cancelan los lambdas. Ojo! El numero tiene que ser no nulo, sino perderíamos la información de toda una ecuación!. -Remplazar una fila por ella misma mas un múltiplo de otra (no puede ser ella misma) De vuelta, porque no puede ser ella misma? Porque remplazo fila uno por fila uno menos fila uno y pierdo toda la ecuación. Ahora lambda puede ser cualquier cosa, si es cero de ultima no le estoy agregando nada a la ecuación así que esta todo legal. Listo el pollo, ahora saben como usar las operaciones elementales, ahora lo que vamos a tratar de hacer mediante ellas es llegar a un sistema "escalonado" de la pinta: Me canse de definiciones, y creo que ustedes también estarán cansados a este punto, así que vamos a un ejemplo para redondear la idea. Vamos con el primer ejemplo de esta sección: Vamos a empezar a operar: Si se fijen hice dos operaciones de un saque y las separe con punto y coma, remplaze la fila dos por la fila dos menos dos fila uno y la fila tres por la fila tres mas la fila uno. Sigamos: Acá remplace fila tres por fila tres mas dos fila dos. Y el sistema ya esta triangulado, pero lo ideal es lograr la identidad asi que voy a seguir dos pasos mas: Y solo nos falta dos pasitos: Listo, ahora volvamos al sistema de ecuaciones, y lo hacemos de la siguiente manera: Ganamos!. Genial, ahora sabemos como encontrar soluciones a un sistema de ecuaciones. Pero puede pasar que no encuentren soluciones, o que encuentren infinitas soluciones. Lo voy a comentar brevemente ya que me extendí demasiado en el post y no era la idea, pero bueno creo que esto les va a servir bastante. Tipos de sistemas: Compatible: Significa que existe solución, sin embargo si existe una única solución, es determinado. Si existen infinitas soluciones (cuando las soluciones le queden en función de algún parámetro, x1,x2 o x3) se dice indeterminado ya que les queda una recta de soluciones (los que leyeron mi post de algebra del cbc, recordaran que les dije que una recta puede ser el conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones ). El sistema compatible determinado es la intersección entre tres planos, que tiene única solución en un punto, se puede ver en la imagen siguiente: Incompatible: se dice incompatible cuando no existe ninguna solución, esto se puede dar a que cuando triangulemos la matriz lleguemos a algún absurdo matemático que no puede ser salvado con nada, por ejemplo llegar a una igualdad 1=0 que es totalmente absurdo. Aca dejo una imagen ilustrativa de los diferentes sistemas: Muchos de ustedes deben sentirse asi: Y los entiendo!, pero para su suerte hasta aqui llega este post amigos! Les agradezco que hayan llegado hasta aqui. Espero no haberlos aburrido con tantos numeros, estos temas son cruciales para cualquier aspirante a entrar a una universidad, asi que les recomiendo ejercitar mucho y si no entienden pregunten ya que si se acaban las preguntas, se extingue la curiosidad!. Si me equivoque en algo les pido disculpas de ante mano, tratare de corregirlo de inmediato. Todas las imágenes de formulas son de mi propiedad. Las demás fueron extraídas de diferentes paginas solo con fines educativos, no poseo ningún derecho sobre las mismas. COMENTAR NO CUESTA NADA!.