Los misteriosos Números Primos
El concepto de número primo es muy sencillo, se llaman así a los números naturales -Mayores a 1- que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Por ejemplo, los números primos menores que 100 son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Cabe aclarar que los números naturales son el 1, el 2, el 3 y así sucesivamente (sin contar el 0).
Habran notado que esta definicion excluye al número 1. La verdad es que si el 1 debe o no considerarse número primo está basada en una convención. Hasta el siglo XIX la mayoría de los matemáticos lo consideraban primo así también como algunos contemporáneaos pero la gran mayoría de la comunidad matemática se inclina por excluir al 1 del conjunto de los primos, esto es arbitrario y entre otras cosas lo hacen para hacerse la vida más fácil a la hora de enunciar leyes matemáticas.
Ahora bien, uno se puede preguntar: ¿Qué implica que un número sea primo? ¿Son muchos, son infinitos? ¿Siguen un patrón de aparición o es aleatorio? Son algunas de las tantas preguntas que uno se puede hacer. La matemática ofrece respuestas para algunas mientras que otras pemanecen siendo una incógnita.
Los Antiguos Griegos...como siempre
En la antigua Grecia, allá por los años 300 A.C, Euclides definió a los números primos y además demostró que son infinitos. La adaptación de la demostración de Euclides es bastante sencilla, dice así:
Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos (P1, P2, ..., Pn) y se considera el producto de todos ellos más 1, según: Q = P1*P2...*Pn +1. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos Pi del conjunto. El número Q puede ser primo o no. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, no lo es, entonces existirá algún factor P que divida a Q. Suponiendo que P es alguno de los Pi, se deduce entonces que P divide a la diferencia Q - P1*P2...*Pn = 1, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que P está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.
Por lo que, Euclides, dedujo que el conjunto de los números primos es infinito. Esto es correcto y verificado por matemáticos contemporáneos con demostraciones más complejas y menos intuitivas.
Otro monstruo que vivía por esa época era Eratóstenes. A este pibe se le atribuye uno de los primeros algoritmos para encontrar números primos el cual se conoce como "La Criba de Eratóstenes". Este algoritmo nos permite hallar números primos menores que un número natural dado N. En el siguiente ejemplo N = 120:
Como pueden observar, la criba siempre debe comenzar con el número 2. Luego el procedimiento consiste en encontrar y tachar los múltiplos del número que se escoge, que va a ser primo, comenzando por el 2. Una vez que se tachan los múltiplos del 2 se escoge al número 3 (primo) y se encuentran y tachan los múltiplos de 3. Sistemáticamente hacen lo mismo con el siguiente número hasta llegar al punto que no encuentran más múltiplos, en ese momento el procedimiento finaliza y los números que no fueron tachados son números primos.
Eratóstenes también fue astrónomo...un día estaba aburrido y midió la circunferencia de la Tierra con gran exactitud, con elementos básicos y sin ayuda de ningún dispositivo.
Los Números Primos construyen todos los demás números naturales
Existe lo que se conoce como el "Teorema fundamental de la Aritmética", el cual establece que todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden; enunciado de esta manera, queda implícito que el 1 no forma parte de los números primos. Por ejemplo: 8 = 2*2*2 = 2^3 ó 6 = 2*3 = 3*2 (a esto se refiere con que hay mas de 1 orden posible lo cual es consecuencia de la conmutatividad de la multiplicación).
Se puede considerar que los números primos son los "Ladrillos" con los que se construye cualquier número natural. Tomemos el número 11 y el 12 por ejemplo:
Se puede observar esquematicamente que los numeros primos no se pueden expresar como producto de factores sino que se le tiene que sumar un numerito que va a generar, en este modelo, que la figura no sea un rectangulo o un cuadrado propiamente dicho. Lo contrario sucede con los números compuestos (se llama así a los números naturales no primos) como el 12 ya que 12 = 3*2*2
A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo (M.C.M) el máximo común divisor (M.C.D) que seguramente habrán escuchado.
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2*5 y 12=(2^2)*3 es 60=(2^2)*3*5 Loco, ¿No?
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12 es 2.
Poniéndonos más exquisitos
A lo largo de la historia, se han buscado numerosas fórmulas para generar los números primos. El santo grial vendría a ser una fórmula que asociara a cada número natural n el n-ésimo número primo y también que está función sea calculable en la práctica, o en otras palabras que sea viable en las computadoras.
Se han descubierto una importante lista de polinomios (funciones) que devuelven números primos pero todos resultan ser incompletos o inadecuados. A modo de ejemplo les dejo un señor polinomio, descubierto por Sato, Wada y Wiens en 1976:
Como se pueden imaginar, este polinomio no es práctico de calcular, ya que aunque los valores positivos que toma son todos primos, prácticamente no devuelve otra cosa que valores negativos cuando se hacen variar las variables a a z de 0 a infinito.
Hay algunos que proponen fórmulas mucho más simples, como la de Mills:
Donde θ es una constante que todavía no se conoce del todo bien. Esta ambiciosa función todavía esta en pañales y no se emplea mucho ya que no es rigurosa a la hora de generar los números primos.
De mayor interés son otras fórmulas que, aunque no sólo generen números primos, son más rápidas de implementar, sobre todo si existe un algoritmo especializado que permita calcular rápidamente la primalidad (saber si un número es primo) de los valores que van tomando. A partir de estas fórmulas se obtienen subconjuntos relativamente pequeños del conjunto de los números primos, que suelen recibir un nombre propio.
Por ejemplo, los Números Primos de Mersenne son de gran importancia ya que la mayoría de los primos grandes que se conocen son mediante este modelo. Los números son de la forma:
Donde n es un número natural diferente a 1
Este modelo otra ventaja que posee es que el test de primalidad es muy eficaz. Actualmente, el mayor número primo que se conoce es [(2^3112609) - 1]. Este número es notablemente grande, tiene 12.978.189 cifras en el sistema decimal. Se descubrió hace poco gracias a un proyecto público realizado en la internet con el fin de conocer números primos grandes.
Existen decenas de tipos de números primos que se definen según el modelo que se usa, la intención de este post no es nombrarlos a todos sino informarles la diversidad de estos y destacar los más importantes.
Como último comentario, les cuento que hay muchas Conjeturas relativas a los números primos. Como por ejemplo la Conjetura de Goldbach:
Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.
Otras tienen que ver con la infinidad de los diferentes tipos de números primos (no de los números primos globalmente). En cambio algunas se meten con la distribución de estos como la Conjetura de Brocard
Entre los cuadrados de primos consecutivos mayores que 2 existen siempre al menos cuatro números primos.
Y también la conjetura de Legendre:
Para cada n natural, existe un número primo entre n^2 y (n+1)^2
Para los que esten cancheros con conocimientos avanzados de álgebra, está la Hipótesis de Riemann , el cual probablemente sea uno de los problemas abiertos de matemática más importantes de la actualidad.
No me puedo ir sin dejarles una CALCULADORA que te permite saber la primalidad de algún numerito. Espero que les haya interesado el tema y que ahora miren a los primos (a los números!) con otros ojos Hasta la próxima!
NOTA: Como Taringa! no soporta el código LaTeX, el cual permite escribir ecuaciones y números con mucha claridad use la terminología de Windows. Lease * (asterisco) como multiplicación y ^ como potencia.
EDIT: ¡Gracias por la buena onda y por los puntos! Les dejo una prueba de que el post tiene bastante aplicaciones...si no me creen vean