El hotel infinito

AVISO: Si no te querés quemar la cabeza , no leas este post.










El Hotel Hilbert tiene un número infinito de habitaciones. El único requisito para ser huésped de este hotel tan extraño es estar dispuesto a que te cambien de habitación varias veces a lo largo de la noche.

Sin embargo en un hotel de infinitas habitaciones no todo es color de rosa. Tan pronto se abrieron las puertas de este hotel la gente comenzó a abarrotarlo y pronto se encontraron con que el hotel de habitaciones infinitas se encontraba lleno de infinitos huéspedes.

¿Qué sucede si llega un nuevo huésped?

Si llega un huésped nuevo y todas las habitaciones están ocupadas, el recepcionista le pedirá a todos los huéspedes que se cambien a la habitación siguiente a la que ocupan. Esto es, de la habitación 1 a la 2, de la habitación 2 a la 3, de la habitación 1325 a la 1326, y así. Así la habitación 1 queda libre para el nuevo huésped. En términos matématicos, cada huésped se iría a la habitación n+1, siendo n el número de su cuarto.

Si llegan 15 ocupantes nuevos, el recepcionista hará que cada huésped se mueva a la habitación n+15, esto es, si su habitación es la número 1, que se vaya a la 16, si es la 333, que se vaya a la 348, si es la 4897624, que se vaya a la 4897636, y así tendrá las habitaciones de la 1 a la 15 libres para sus nuevos huéspedes.

¿Qué pasa si llegan infinitos huéspedes nuevos al mismo tiempo?

Al recepcionista se le ocurre trasladar a todos los huéspedes a la habitación cuyo número sea el doble de la suya propia, esto es, de la habitación 1 a la 2, de la 2 a la 4, de la 3 a la 6 (en términos matemáticos 2n). Así se asegura de que le quedan libres todas las habitaciones impares. De nuevo tiene infinitas habitaciones disponibles a pesar de que el hotel ya estaba lleno.

¿Qué pasa si llegan al hotel un número infinito de autobuses con un número infinito de turistas cada uno?

El recepcionista tomó tranquilamente el micrófono y se comunicó solamente con las habitaciones cuyo número fuera primo (p distinto de 1) o alguna potencia de éstos (), les pidió que elevaran el número 2 al número de la habitación en la que se encontraban () y se cambiaran a esa habitación.

Entonces asignó a cada una de las excursiones un número primo (distinto de 1), a cada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar (t), de manera que la habitación de cada uno de los turistas, se calculaba tomando el número primo de su excursión (p) y elevarlo al número que les tocó dentro de su excursión (t) lo que da .

Existiendo un número infinito de números primos y un número infinito de números impares, fácilmente se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que sólo tiene un número infinito de habitaciones.





El Hotel Infinito de Hilbert es una construcción abstracta que interviene en varias metáforas inventadas por el matemático alemán David Hilbert. Esta metáfora explica, de manera simple e intutitiva, hechos paradójicos relacionados con el concepto matemático de infinito (más exactamente con los cardinales transfinitos introducidos por el matemático Georg Cantor).