![La Tierra NO es Hueca [Demostración]](https://storage.posteamelo.com/assets-adonis/assets/2013/10/05/la-tierra-hueca.jpg-dn5Fn6U9MBh.webp)
En la literatura fantástica aparece un concepto clásico de la ciencia ficción: un planeta hueco, con un sol en su interior, y habitantes en la superficie interna. Como digo, el concepto es un clásico, pues ya lo había utilizado Edgar Rice Burroughs (sí, el de Tarzán y John Carter de Marte) en su serie de Pellucidar (no he leído ninguna novela, pero sí vi en su día la adaptación cinematográfica de «En el corazón de la Tierra»). Y puede que los que hayan disfrutado en su infancia de los libros de «Elige tu propia aventura», recuerden «El reino subterráneo».
En todas las versiones de este tipo de ambientación, la idea es la misma: el planeta en cuestión es hueco, y la corteza es bastante densa. De esta forma, la masa de la corteza es suficiente para que su gravedad mantenga sujetos a ella, tanto a los habitantes del exterior como del interior. El sol interno se encuentra exactamente en el centro, proporcionando luz y calor a ese mundo subterráneo e invertido.
¿Cómo se calcula la gravedad en un caso así? En el colegio nos enseñaron la famosa Ley de Gravitación, que nos dice que la gravedad es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, y que se puede expresar con la igualmente famosa fórmula: F = G·M·m/r2. Pero para aplicar esta fórmula, debemos suponer que la masa de cada objeto está concentrada en un punto (que llamamos centro de gravedad). Esta simplificación es perfectamente válida cuando queremos calcular las trayectorias de planetas y otros objetos astronómicos, que estén muy alejados entre sí. Pero en otros casos (como el que nos ocupa), no nos vale. Los cuerpos reales tienen volumen, y su masa está distribuida por ese volumen.
¿Qué hacemos entonces? Pues dividimos nuestros objetos de estudio en trozos muy pequeños, de forma que cada uno de esos trozos pueda considerarse un punto, aplicamos la fórmula para cada punto, y sumamos todos los pequeños resultados. Llevando este planteamiento a su extremo, consideraríamos que el objeto está formado por infinitos puntos de tamaño cero, y calcularíamos la suma de sus infinitamente pequeñas propiedades. Es decir, realizamos un cálculo integral.
El punto P está en el interior de la esfera de radio R
El punto P está a una distancia r<R del centro de la esfera. Dividimos la esfera en dos, una esfera hueca de radio interior r y radio exterior R. y una esfera maciza de radio r.
Fuerza que ejerce la esfera interior
La fuerza que ejerce la distribución de masa contenida en la esfera maciza de radio r sobre la unidad de masa situada en el punto P a una distancia r del centro, la hemos calculado en el apartado anterior, solamente hemos de cambiar el límite superior de la integral R por r.
Volvemos a calcular la fuerza que ejerce una capa esférica de radio r<x<R y de espesor dx, sobre la unidad de masa situada en P. Ahora bien, la fuerza en P debida a la masa contenida en los anillos que está por encima de P tiene la dirección del eje Z y sentido positivo, mientras que la fuerza en P debida a los anillos que están por debajo de P tiene la misma dirección pero sentido contrario.
Porción de la capa esférica por encima de P
Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πxsenθ)·(x·dθ)·dx. La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P:
Integramos respecto de la variable θ, entre los límites 0 y θp=arccos(r/x) para calcular la fuerza sobre la unidad de masa situada en P ejercida por la porción de capa esférica de radio x y de espesor dx que está por encima de P:
La segunda integral es inmediata, integramos la primera por partes. El resultado es:
Porción de la capa esférica por debajo de P
Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πxsenθ)·(x·dθ)·dx. La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P:
Integramos respecto de la variable θ, entre los límites θp=arccos(r/x) y π para calcular la fuerza sobre la unidad de masa situada en P ejercida por la distribución de masa contenida en la capa esférica de radio x y d espesor dx.
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La primera integral es inmediata, integramos la segunda por partes. El resultado es:
Como la fuerza ejercida en P por la distribución de masa contenida en la parte de al capa semiesférica que está por encima de P y la fuerza ejercida en P por la distribución de masa contenida en por la parte de la capa semiesférica que está por debajo de P tienen el mismo valor pero signos contrarios. La fuerza neta en P debida a la capa semiesférica completa de radio x y de espesor dx es cero.
Por tanto, la fuerza ejercida sobre la unidad de masa situada en P por la distribución de masa contenida en la esfera hueca de radio interior r y exterior R es cero.
Sí. Cero. Si imaginamos un planeta hueco, con una densidad más o menos uniforme en su corteza (al menos, con simetría esférica, es decir, que para cada «capa» esférica, la densidad sea la misma en cualquier punto), en su interior hueco, la gravedad sería nula. Sus supuestos habitantes flotarían, a menos que se agarraran al terreno de alguna forma.
La situación va a peor si encima imaginamos que en el interior de nuestro planeta hueco, hay una pequeña estrella. Ese objeto tendrá masa, lógicamente, por lo que tendrá su campo gravitatorio. ¿Y hacia donde empujaría esa gravedad a cualquier objeto? Pues hacia la propia estrella. Así que los supuestos habitantes del interior del planeta hueco, ya no es que tuvieran que agarrarse a algo para no flotar, sino que literalmentemte, caerían hacia su sol interior.
Hemos supuesto que el planeta es más o menos homogéneo. La simetría esférica de la densidad de la corteza es necesaria para que la gravedad sea cero en el interior hueco del planeta. Pero sabemos que los planetas no son tan simétricos. Hay irregularidades, protuberancias, oquedades, distintos materiales, etc. Así que en un planeta real, es posible que estas irregularidades rompan el equilibrio de fuerzas, y que en algunos lugares, la resultante de la fuerza gravitatoria no sea cero. Pero estas diferencias por lo general serían muy pequeñas. Y fijaos que no sólo hace falta una pequeña fuerza para no flotar, sino que hay que contrarrestar la gravedad de la estrella interior.
Bueno, supongamos que en alguna región del planeta hay algún mineral extremadamente denso, de forma que la diferencia de fuerzas gravitatorias fuera significativa. Tenemos otro problema. No sólo mantendría a los habitantes en el suelo, sino que atraería al sol interno hacia esa zona, por lo que en poco tiempo, achicharraría toda vida posible, antes de colisionar contra la corteza y producir un cataclismo de proporciones planetarias.
Así que, me temo que los mundos huecos no son posibles. Por mucho que nos pueda fascinar una idea así.
La situación va a peor si encima imaginamos que en el interior de nuestro planeta hueco, hay una pequeña estrella. Ese objeto tendrá masa, lógicamente, por lo que tendrá su campo gravitatorio. ¿Y hacia donde empujaría esa gravedad a cualquier objeto? Pues hacia la propia estrella. Así que los supuestos habitantes del interior del planeta hueco, ya no es que tuvieran que agarrarse a algo para no flotar, sino que literalmentemte, caerían hacia su sol interior.
Hemos supuesto que el planeta es más o menos homogéneo. La simetría esférica de la densidad de la corteza es necesaria para que la gravedad sea cero en el interior hueco del planeta. Pero sabemos que los planetas no son tan simétricos. Hay irregularidades, protuberancias, oquedades, distintos materiales, etc. Así que en un planeta real, es posible que estas irregularidades rompan el equilibrio de fuerzas, y que en algunos lugares, la resultante de la fuerza gravitatoria no sea cero. Pero estas diferencias por lo general serían muy pequeñas. Y fijaos que no sólo hace falta una pequeña fuerza para no flotar, sino que hay que contrarrestar la gravedad de la estrella interior.
Bueno, supongamos que en alguna región del planeta hay algún mineral extremadamente denso, de forma que la diferencia de fuerzas gravitatorias fuera significativa. Tenemos otro problema. No sólo mantendría a los habitantes en el suelo, sino que atraería al sol interno hacia esa zona, por lo que en poco tiempo, achicharraría toda vida posible, antes de colisionar contra la corteza y producir un cataclismo de proporciones planetarias.
Así que, me temo que los mundos huecos no son posibles. Por mucho que nos pueda fascinar una idea así.
ACTUALIZACIÓN
Para el que no encontraba una imagen del polo sur, sin ningún parche ni nada hecho para tapar el polo, acabo de encontrar una imagen tomada por un satélite de la NASA. El objetivo de la fotografía era el de captar las auroras boreales.
Para el que no encontraba una imagen del polo sur, sin ningún parche ni nada hecho para tapar el polo, acabo de encontrar una imagen tomada por un satélite de la NASA. El objetivo de la fotografía era el de captar las auroras boreales.
Más tomas del satélite de la NASA:
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