Integrales: Aplicación Práctica

Una vez, una persona que trabajaba en una fábrica, me planteó el siguiente problema: Existía en dicha fábrica un tanque cilíndrico, dispuesto con su eje horizontal y debían agregarle un visor graduado (por ejemplo de acrílico transparente) para saber la cantidad de líquido que el tanque poseía en determinado momento. Por lo tanto era necesario encontrar la relación entre el nivel del líquido y el volumen del tanque. La persona que me planteo esto, me dijo que llevó el problema al ingeniero (ing. industrial) de la fabrica y no supo como resolverlo. Al toque me llamo la atención aquel problema y «renegué» un poco hasta encontrar una solución, la cual describo a continuación: Un croquis del tanque sería el siguiente: Para resolver el problema, tengo que encontrar la altura “h” en función del volumen “V”, para esto planteo lo siguiente: 1- Sabemos que el volumen (V) de un prisma regular es: Donde “A” es el área transversal y “L” es la longitud del prisma. Por lo tanto, dado que la longitud es invariable, el problema reside en calcular el área “A” para una determinada altura “h”: Para ello se hará empleo del calculo integral, como sigue: 2- Según la siguiente figura (que esta invertida por comodidad matemática), el área “A” buscada puede expresarse como: Un “diferencial” de área A’ puede crearse como: Pero “b” es función de “y”, que puede expresarse según el teorema de Pitágoras como: Luego el diferencial queda: Integrando desde y = 0 hasta y = h’, obtenemos el área A’: Y finalmente, el área A y el volumen V son: Pero estos están en función de h’, y no de h (que es la variable que nos interesa), por lo tanto, realizamos un cambio de variable según (ver figuras anteriores): No obstante obtenida la ecuación, es imposible despejar el valor de h, en función de un valor V dado. Para resolver esto, puedo emplear el "Teorema de Newton", que consiste en encontrar la raíz (valor de “h” para el cual la función se hace cero) de la siguiente función: El método de Newton, expresa que es posible encontrar esta raíz, con sucesivas aproximaciones a través de la siguiente formula: Donde el denominador es la derivada de la función respecto a h. Por lo tanto, para completar la solución debemos calcular la derivada en cuestión: Para simplificar, se ha llamando al segundo y tercer término entre los paréntesis “m” y “n” respectivamente, quedando la derivada: Luego, reemplazando, la derivada nos queda: Finalmente en el método de Newton: Ahora se podría pensar que esta fórmula solo sirve para la mitad inferior del tanque, pero no es así, ya que se puede verificar en la práctica que la fórmula es válida para toda la circunferencia. Ejemplo: Suponga un tanque de 1.5 m de diámetro (R = 0.75 m) y L = 2.5 m de largo. El volumen total del tanque es: Supongamos que queremos realizar un visor, con marcas cada V = 500 litros = 0.5 m3 Podemos empezar con un valor de h = 0.75 m (medio tanque) Puesto que es una fórmula iterativa, conviene realizar su evaluación en una planilla de cálculo y allí se podrá ver como está converge rápidamente (2 o 3 iteración) hacia el valor final de h (simepre y cuando el valor inicial adoptado sea razonable). Los valores para la primera, segunda y tercer iteración serán: h1 = 0.2942 (m) h2 = 0.2567 (m) h3 = 0.2557 (m) = 255.7 (mm) Nota: Seguro muchos pensarán que este problema puede resolverse de muchas formas más sencillas (con tablas de áreas, con programas de CAD, etc), pero el desafío es buscar la solución sin ningún “paquete” de información “enlatado”. Espero que le sirva a alguien, por ejemplo a alumnos de análisis matemático. Fuente: elaboración propia (aunque deben consultarse libros de análisis matemático)