Expreciones Algebraicas

Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.
Se llama expresión algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinación de constantes y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos en un número finito.
Ejemplos : (De expresiones algebraicas)


a.)

b.)

c.)

d.)

e.)

f.)


Tipos de Expreciones Algebraicas

Racionales E Irracionales

Racionales

Es racional cuando esta no es afectada por la radicacion.

En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional.


Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos.
Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero).
El conjunto de los números racionales se denota por , que significa «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.
Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales.

Estas Racionales Pueden Ser Tambien Enteras o Fraccionarias

Enteras

Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.
Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1.

Fraccionarias

Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador.
Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.

Irracionales

Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación


En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.

Polinomios

Son las expresiones algebraicas más usadas.
Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera.
En matemáticas, se denomina polinomio a la suma de varios monomios (llamados términos del polinomio). Es una expresión algebraica sobre un anillo conmutativo A constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente en operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes de números naturales (es decir, usando sólo las operaciones internas del anillo .

Se Dan Tambien Por Los Siguientes Terminos

Monomio : polinomio con un solo término.
Binomio : polinomio con dos términos.
Trinomio : polinomio con tres términos.

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son.

- Es decir, dos polinomios son idénticos si, tienen igual grado, y además los coeficientes de los términos del mismo grado sean iguales.

- Observación:

- Si dos polinomios son idénticos, sus valores numéricos son iguales para cualquier x real.

- S(x) por su forma es un polinomio cuyos coeficientes son los reales . Esto significa que cada coeficiente del polinomio S(x) se obtiene sumando los coeficientes de los términos semejantes, es decir, los términos de igual grado.

Suma de Polinomios

Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.

Dados dos polinomios A(x) y B(x), se llama suma o adición a otro polinomio S(x) cuyos términos son la suma de los términos de igual grado de los polinomios sumandos.
Una manera práctica de resolución es disponer los polinomios ordenados, encolumnando los monomios de igual grado

Propiedades de la Suma

Asociativa
Conmutativa
Existencia de elemento neutro
Existencia de elemento opuesto

Asociativa

Propiedad que establece que cuando se suman tres o más números reales, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento. Esto es,
(a + b) + c = a + (b + c)

Conmutativa

Denota una operación que es independiente del orden de los números o símbolos correspondientes.
La multiplicación y la suma son operaciones conmutativas en la aritmética ordinaria. Con frecuencia se les llama ley conmutativa de la multiplicación y ley conmutativa de la suma. Esto puede ilustrarse mediante el siguiente ejemplo: el resultado de sumar 1+2 es el mismo que el de sumar 2+1. Igualmente, el resultado de 2×3 es el mismo que el de 3×2. Sin embargo, la resta y la división no son operaciones conmutativas.

Existencia de un Elemento Neutro

El cero, 0 = [(n,n)], , tiene la característica de que para todo entero [(a,b)],

y como a + (b + n) = b + (a + n) sean cuales sean los números naturales a,b,n, tenemos , de donde , por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre . En
para todo .términos más sencillos,
Se define como sigue:
.
Vemos que, para todo entero [(a,b)],

y, puesto que , resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre . Es decir,
para todo pt.
a+b _ c

Existencia de un Elemento Opuesto

Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:

Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como , que cumple obviamente la propiedad anterior:

Resta de Polinomios

Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).
P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]
Para restar polinomios, primero invierte el signo de cada término que vas a restar (en otras palabras cambia "+" por "-", y "-" por "+", después suma normalmente.

Multiplicación de Polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado.


Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
Se suman los monomios del mismo grado.
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Division de Polinomios

Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros.
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
Procedemos igual que antes.
Volvemos a hacer las mismas operaciones.



Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente.
La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polimonio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.