¿Te atreves a resolver todo esto?

dijo:

Dicen que "El tiempo es oro", pero yo pienso que "ya le gustaría al oro ser tiempo..."

dijo:

Siempre he hallado un notable placer, digamos intelectual, al resolver problemas de todo tipo, especialmente lógicos y numéricos, creo que han sido la base para desarrollar o mejorar algunas de mis habilidades.
Pues bien, últimamente he descubierto que es, probablemente, aún más divertido y motivador para mi crear problemas o ejercicios, dado que en muchos casos puede llegar a ser más imaginativo y complejo...
Por tanto os propongo una serie de problemas matemáticos que os pueden complicar un poco la vida o hacérosla más agradable!

Estamos dentro de una habitación en la cual hay dos puertas cerradas, una es la salida y la otra lleva a la desgracia. Obviamente desconocemos cuál es la buena y cuál la mala.
También hay dos hermanos gemelos, uno que siempre dice la verdad y el otro que es absolutamente mentiroso, desgraciadamente tampoco sabemos quién es sincero y quién es falso.
Sólo podemos hacer una pregunta a uno de los dos hermanos para tratar de escapar.

· ¿Qué pregunta haríais vosotros para hallar la salida?
· ¿Cuál sería, pues, la salida hacia la salvación?



Puede que muchos de vosotros hayáis leído el clásico de Lewis Carroll "Alicia en el País de las Maravillas", pero lo que probablemente no habréis advertido es la presencia de algunas cuestiones matemáticas geniales, propias de la privilegiada mente de su autor, que era profesor y entre sus aficiones estaban la criptografía y el ajedrez.
Aquí os presento un texto de esta obra:

"¡Ay, Dios mío, qué rompecabezas es todo esto! Voy a probar si sé todas las cosas que acostumbraba saber. Veamos: cuatro por cinco, doce, y cuatro por seis, trece...
¡Ay, Dios mío, así nunca llegaré a veinte!"

Supongo que muchos lectores han creído que estas palabras eran propias de una tontería infantil de Alicia, pero en realidad esconden una cuestión matemática fantástica y bastante compleja.
- ¿Como creéis que está contando Alícia?
- ¿Es posible que llegue a veinte siguiendo esta lògica?

Os garantizo que si no reflexionáis detenidamente esta cuestión, puede que os llevéis una gran sorpresa...






He aquí un problema geométrico muy interesante tanto por su ejecución como por su solución:
Hay que hallar la relación existente entre los dos hexágonos, el mayor de arista 1 y el menor que queda en el centro de la estrella de seis puntas.




Uno de los tres grandes problemas matemáticos de la antigüedad era la "Cuadratura del círculo", que consistía en hallar un cuadrado con la misma área de un círculo dado.
Esto que, de entrada, puede parecer relativamente sencillo, no lo es en absoluto si tenemos en cuenta que los geómetras griegos eran completamente puristas y sólo permitían utilizar la regla y el compás.
Obviamente la resolución numérica de este problema es relativamente fácil, pero desde el punto de vista geométrico llevó de cabeza a los mejores matemáticos durante más de 2.000 años, hasta que en el siglo XIX se demostró que era una cuestión irresoluble. ¡¡Pobrecitos si lo llegan a saber!!



Un de los que lo investigó intensamente fue Hipócrates de Quíos, quién durante uno de sus numerosos estudios al respecto diseñó esta figura denominada "lúnula".
Yo os propongo la siguiente cuestión:
Calculad el área de esta lúnula, teniendo en cuenta que la base y la altura del triángulo generador es, por ejemplo, una unidad.
Sin duda un problema curioso...




"Hace muchos años me plantearon resolver una ecuación muy atípica y he creido que podría ser una buena manera de torturaros si es que todavía aguantáis 'on line', incluso haré un pequeño regalo a aquellos que se tomen la molestia de resolverla."
Se trata de encontrar los cuatro números menores que cumplen una igualdad del tipo siguiente:

xª + yª = zª + wª = N
Si a = 1, es decir, para la potencia 1, tenemos que:

1 + 4 = 2 + 3 = 5
Si a = 2: Hallar los cuatro primeros números que resuelven la ecuación:

x² + y² = z² + w² = N
(os la dejo calcular, pero podéis ver la solución en esta página)
Yo os propongo calcular esta igualdad si a = 3, es decir, para la potencia 3.
Hallad los cuatro números menores y el resultado N, que cumplen:

x³ + y³ = z³ + w³ = N




A veces encontramos problemas de cálculo que pueden ser tan sencillos, pero con una apariencia tan terrorífica, que podríamos creer que el que los plantea se ha vuelto majareta...
Pues quizás sí, pero, en cualquier caso, os propongo que calculéis, sin ayuda de la calculadora, el siguiente par de ecuaciones:

x = 582.437.123² - (582.437.124 x 582.437.122)
x = 756.902.438² - (756.902.440 x 756.902.436)




Os propongo ahora un par de ejercicios de cálculo basados en el juego "Cifras + Letras"
Con las 6 cifras dadas alrededor, tenéis que encontrar el número de 3 cifras propuesto en el centro de los "Hexámeros"
Se pueden utilizar las 4 operaciones aritméticas, es a decir, suma, resta, producto o división.
No es necesario hacer uso de todas las cifras, pero sólo se pueden utilizar una vez, es decir, no se puede repetir ninguna.



Ambos problemas tienen, al menos, una solución exacta, por mucho que os pueda parecer imposible!!




Los arcos ojivales fueron una evolución arquitectónica que se produjo en la transición del románico al gótico, se emplearon en las fachadas, puertas, etc. a menudo incluyendo un rosetón con vidrieras, etc.
Al ser combinados con las bóvedas se resolvió un problema típico de los arcos de medio punto, que era el no permitir la unión de dos pilares de diferente altura. Los arcos ojivales, en cambio, si lo permiten, ya que para nivelar dos pilares de diferente altura sólo será necesario ajustar la amplitud de las ojivas del techo.
Un arco ojival es la intersección de los cuadrantes de dos círculos con el mismo radio situados uno a cada lado, de hecho la amplitud de la ojiva es igual al radio de estos círculos generadores.
Es decir, imaginemos un cuarto de círculo a la derecha que se cruza con otro cuarto de círculo con el mismo radio a la izquierda, la zona de intersección delimita un arco ojival. ¡Qué cosas sabían en la Edad Media!

No nos trasladaremos a la Edad Media, pero sí que os plantearé unas cuestiones en relación a los arcos ojivales:
· Calculad el área del arco ojival teniendo en cuenta que su amplitud, o sea, los radios de los círculos generadores es 1.
· Calculad el área del círculo menor, la roseta, contenido en él.
· Finalmente, imaginad cualquiera de los dos círculos generadores de la ojiva y calculad cuantos círculos menores, rosetas, se pueden incluir exactamente.






En este problema os propongo completar esta estella de ocho puntas con los números del 1 al 16 de manera que:

· Todas y cada una de las líneas rectas que la delimitan sumen 34.

· El vértice de cada cuadrado también sumen 34.

¡¡Ánimos y no acabéis estrellados!!




Quizás también seáis aficionados al juego del ajedrez como yo, o al menos, os parece un juego muy interesante y conozcáis los movimientos de las piezas y las reglas del juego. En cualquier caso, hay muchos problemas matemáticos que se pueden plantear a partir del ajedrez. Veamos varios:



· APERTURA NUMÉRICA:
¿Cuántas jugadas posibles existen en la primera jugada de ajedrez en total, es decir, considerando todas las jugadas que pueden hacer las blancas primero y las posteriores respuestas de las negras?
No es un problema extremadamente complicado, pero si no tenéis bastante con esto, entonces podéis calcular el número de jugadas de que disponen las blancas en la segunda jugada, etc.


· LA PIEZA UNIFORME:
¿Cuál es la única pieza del juego del ajedrez que siempre, es decir, desde cualquier casilla del tablero (si no hay obstáculos) dispone del mismo número de movimientos o casillas posibles?



· PIEZAS INTOCABLES:
Probablemente conozcáis el problema de las ocho damas, es decir, situar ocho damas sobre el tablero escaqueado de manera que no puedan amenazarse o comerse entre ellas (si no lo habéis probado nunca a hacer es, al menos, entretenido).
Lo mismo podría plantearse con ocho torres, pero en este caso, es muy sencillo de hallar.
Yo quiero plantear, ahora, una variante con las otras piezas menores, los alfiles y los caballos.
· ¿Cuántos alfiles (de casillas blancas y negras a la vez) podemos situar como máximo en un tablero de ajedrez sin que se coman o se amenacen entre ellos? ¿Cómo?
· ¿Cuántos caballos podemos situar como máximo en un tablero de ajedrez sin que se coman o se amenacen entre ellos? ¿Cómo?

· EL REY VIAJERO:
¿De cuántas formas diferentes puede desplazarse el rey blanco desde su casilla inicial (e1) hasta la posición del rey negro (e8) empleando sólo siete pasos?

dijo:

ANAGRAMÓVILES

Consiste en encontrar las palabras escondidas en cada combinación de letras.

Presentaré cuatro series de extensión variable, comenzando por los anagramas de seis letras y llegando hasta anagramas de nueve letras. Espero que sean de vuestro agrado y además os servirán de práctica para otros juegos como el Cifras y Letras o el Scrabble.

EJERCICIO 1: Dadas 4 cifras, obtener un número de dos dígitos utilizando las 4 operaciones aritméticas: +, - , x, : No se puede repetir ninguna cifra (que no lo esté) y no es necesario hacerlas servir todas.
a ) 3 . 8 . 10 . 4 ... 73 (nivel 1)
b) 25 . 6 . 1 . 9 ... 78 (nivel 2)
c) 5 . 25 . 3 . 8 ... 56 (nivel 3)
d) 4 . 17 . 7 . 5 ... 88 (nivel 3)

(solución)

EJERCICIO 2: Completar las series numéricas lógicas propuestas con el número siguiente.
a ) 21 . 22 . 24 . 27 . 31 . 36 . 42 ... ? (nivel 1)
b) 2 . 9 . 23 . 44 . 72 . 107 . 149 ... ? (nivel 2)
c) 3 . 6 . 7 . 21 . 22 . 88 . 89 ... ? (nivel 2)
d) 127 . 139 . 152 . 167 . 183 . 201 . 221 ... ? (nivel 3)

(solución)

EJERCICIO 3: Encontrar un "número secreto" de 2 cifras a partir de las pistas dadas:
a ) El producto de mis cifras es 24, la suma de mis cifras hace una decena,
soy un número par y potencia del número 2.
b) Si me divides por 2, el resto es 1. Si me divides por 5, el resto es 3.
Si me divides por 7, el resto es 6. Si me divides por 8, el resto es 3.
c) Si me divides por 2, el resto es 0. Si me divides por 5, el resto es 3.
Si me divides por 7, el resto es 2. Si me divides por 9, el resto es 4.

(solución)

EJERCICIO 4: Dadas 6 cifras, obtener un número de tres dígitos utilizando las 4 operaciones aritméticas: +, - , x, : No se puede repetir ninguna cifra (que no lo esté) y no es necesario hacerlas servir todas.
a ) 5 . 8 . 9 . 75 . 3 . 10 ... 351 (nivel 1)
b) 9 . 50 . 8 . 75 . 4 . 100 ... 991 (nivel 2)
c) 2 . 8 . 10 . 3 . 75 . 5 ... 931 (nivel 3)
d) 100 . 5 . 3 . 8 . 50 . 8 ... 618 (nivel 3)

(solución)

EJERCICIO 5: Deducir el valor de las letras en estas igualdades numéricas:
a ) 2B + C = 10; A + B + C = 13; A + A + A = 21; 2C + A = 11 (nivel 1)
b) 2C - B = 3; A + B - C = 11; A + 2B = 23; 2A - C = 13 (nivel 2)
c) 2A + C = 10 / 7; A + B - C = 8 / 7; 2B + A = 21 / 7; 3C - B = 3 / 7 (nivel 3)

(solución)

EJERCICIO 6: Resolver las siguientes cuestiones:
a ) Tenemos un terreno y nos dan unos metros de valla, entonces nos proponen que
abarquemos la máxima superfície de terreno posible con la valla.
¿Qué forma geométrica le tendremos que dar al terreno para abarcar el área màxima?
b) Tenéis que escribir los signos matemáticos necesarios entre los números para hacer
posible esta igualdad: 7 6 5 = 38
c) Como ya es sabido el número PI se conoce desde la Grecia clásica, sus càlculos
han obsesionado a más de un matemático, actualmente, se han utilizado ordinadores
para obtener centenas de millones de cifras decimales. En la antigüedad se utilizaba
una fracción que se aproximaba mucho.
Os propongo encontrarla, sabiendo que su denominador sólo tiene una cifra, que su
valor es 3,14 i que tiene un error inferior a 13 diezmilésimas.




En esta página os propongo resolver unas adivinanzas en forma de anagramas...
Tendrás que completar las frases con el nombre de una ciudad que se obtiene combinando las letras de la palabra que aparece en mayúsculas. (¡Qué nadie se ofenda por alguna solución, es sólo un juego!)
Ej. "Viví un gran AMOR cuando estuve en _ _ _ _ " (ROMA)



1. En la ciudad de _ _ _ _ _ OIRÁS los ecos de grandes y heroicas hazañas.

2. La gente de _ _ _ _ _ _ IGNORA cual será su destino.

3. Paseando por _ _ _ _ _ _ encontré una plaza en forma de OVOIDE.

4. ¡Cómo me AGRADAN tus plazas y jardines amada _ _ _ _ _ _ _ !

5. Cada día que pasa ACRECES un poco más tu gloria, _ _ _ _ _ _ _

6. ¡Quién viviera un ROMANCE en la maravillosa _ _ _ _ _ _ _ !

7. _ _ _ _ _ , tu auténtica VALÍA se halla en la grandeza de tu historia.

8. _ _ _ _ _ _ _ , en tus magníficas costas CALIENTA el Sol todo el año.

9. Por las calles de _ _ _ _ _ _ _ _ paseaba una moza PELICANA con CAPELINA.

10. En ningún otro lugar como en _ _ _ _ _ habita el DICAZ con su mordaz humor.

11. Estimada _ _ _ _ _ _ _ _ _ , es incomparable BALCONEAR en tus edificios.

12. _ _ _ _ _ _ , por tus rincones vaga SERENO el espíritu de tu nobleza.

13. _ _ _ _ _ _ _ _ _ , no se AGARROTAN mis miembros cuando contemplo tu patrimonio.

14. ¡De la increíble _ _ _ _ _ _ _ seguro que os LLEVÁIS un recuerdo imborrable!

15. El escritor TECLEABA hermosos halagos a tu nobleza y abolengo, _ _ _ _ _ _ _ _ .

16. _ _ _ _ _ _ _ , con la estampa de tus monumentos confeccionaría un bello BROCADO.

17. Mi amiga MARIELA se trasladó a vivir a la preciosa _ _ _ _ _ _ _ .

18. En cierta ocasión ACTUÉ en un teatro de la ciudad de _ _ _ _ _ .

19. _ _ _ _ _ _ , ¡nadie DELIRA cuando proclama tu singular belleza!

20. En _ _ _ _ _ _ _ saben ADORNAR muy bien sus parques y jardines.

21. Sin duda que _ _ _ _ _ _ _ _ _ no es una ciudad SACRÍLEGA.

22. Para venir a _ _ _ _ _ _ desde Barcelona, usted TOMARÁ el tren.




EL JUEGO DE LAS MATRÍCULAS

Ahora voy a presentaros un pasatiempo de mi invención. Este juego se me ocurrió a partir del cambio del sistema de matriculación en España (aunque ya anteriormente lo había probado en diversas variantes).

El objetivo del juego consiste en obtener la palabra de menor extensión que contenga las tres consonantes de la matrícula. El tiempo de reflexión debe estar entre 20 y 30 segundos. Las reglas del juego son las siguientes:

· Cada palabra vale tantos puntos como letras tenga la palabra formada.
· El ganador será el jugador que obtenga el mínimo número de puntos.
· Sólo son válidas las palabras que aparecen en el Diccionario de la Real Academia Española de la Lengua.
· Las formas verbales y los plurales se penalizan con 3 puntos.
· Cambiar las letras de orden se penaliza con 3 puntos.
· Eliminar una de las consonantes se penaliza con 5 puntos.
· Las palabras incorrectas valen 12 puntos.
En esta página he pensado que lo mejor es jugar a una versión reducida del juego que propone hallar la palabra más corta posible que contenga las consonantes dadas, sin cambiarlas de orden. No son válidas ni las formas verbales ni los plurales.

Para empezar os voy a proponer esta serie de matrículas. ¿Cuáles son las palabras más cortas que se os ocurren?






Estos problemas de CIFRAS consisten en la obtención del número central de 3 cifras de la estrella o del hexágono con las 6 cifras exteriores y las 4 operaciones aritméticas:
- Suma, Resta, Multiplicación y División, no se permiten raíces cuadradas ni potencias, etc.
- No se puede repetir ninguna cifra si no lo está.
- No es necesario utilizar totas las cifras si se da el caso.
- No se pueden efectuar divisiones no enteras ni trabajar con números decimales.
- Todos los ejemplos propuestos tienen siempre, como mínimo, una solución exacta, aunque ésta pueda parecer imposible de hallar...
Es conveniente anotarlas en una hoja de papel, aunque se pueden calcular mentalmente.
Las soluciones se ofrecen al final de esta página.
Todos los ejercicios están extraidos de los programas ASTROMEROS y HEXAMEROS
que contienen 400 problemas distribuidos en 10 niveles de dificultad creciente.


Para comenzar un par de ejemplos de Nivel 1 y 2, así que su dificultad no es muy grande.



La segunda serie es de una dificultad algo mayor, aquí será necesario aplicar un cierto nivel técnico para resolverlos.



Llegado a este punto el jugador se habrá familiarizado con ciertos temas tácticos que necesitará para resolver los dos próximos problemas de la siguiente serie.
La tercera serie nos lleva a un nivel de dificultad moderada, algo superior a los anteriores.



Los 2 últimos ejercicios son, probablemente, los de mayor dificultad de los presentados en esta página y corresponderían al nivel 6 de los programas ASTROMEROS-HEXAMEROS.