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SERIE APUNTES SOBRE MATEMATICAS PARTE 1 Espero les ayuden. Sean amables. Y por favor ahorrense el Y salgan de este post aquellos que no tengan animos de aprender. Gracias. Algo de musica para amenizar link: www.goear.com/files/local.swf?file=8c22114 1.Los numeros positivos 1.1 Representacion de los numeros positivos Los números surgieron de la necesidad de reprecentar cantidades; es decir, relacionar un simbolo con una magnitud. Los números creados tenían la intencion de contar, estableciendo un orden para indicar cuál era mayor y cuál menor.El 1 es el menor de todos, el 2 es el que le sigue etc., pero tambien el 4 es mayor que el 3, el 3 mayor que el 2 y asi sucesivamente. Así fue como surgió la recta numerica y aparecieron operaciones como la suma y multiplicacion, con la restriccion de que el resultado de ellas debe ser un numero de este mismo conjunto. Por ejemplo: ¿Cómo representarías la usencia de cantidad? La respuesta es anexar el número cero y colocarlo en la recta como el primer número o el menor de todos.A partir de ese momento se puede contar desde el cero hasta donde se desee, no hat límite; es decir, el conjunto de números es infiniro y se denominan números positivos.A su vez el conjunto de los numeros positivos se puede clasificar como se muestra en la siguiente imagen: Los numeros positivos pueden reprecentarse de tres maneras:>Como fracciones, por ejemplo: 10/2, 3/8, 75/6>Como decimales, por ejemplo: 9.81, 16.15, 0.00013>Como porcentajes, por ejemplo: 2%, 46.8%. 77% Las fracciones se leen de la siguiente manera:10/2 -- diez/medios3/8 -- tres/octavos75/6 -- setenta y cinco/sextos 1.1.1 Fracciones Las fracciones constan de dos numeros: el superior llamdo numerador y el inferior llamado denominador. Una fracción describe una parte de un fondo. Por ejemplo, si un papel se divide en doce parte iguales y ocho de las rebanadas se reparten entre los asistentes de una fiesta que representa lo anterior es: Al cociente o division de dos números enteros se le llama numero racional o fraccionario y ese conjunto de numeros se representa por Q. Se debe tener cuidado de que el denominador no sea cero. Algunos ejemplos: Se observa que las primeras dos fracciones en realidad son dos numeros enteros divididos entre la unidad; así, un numero natural es al miamo tiempo entero y por tanto, racional. 1.1.2 Decimales Los números positivos pueden tener una representacion decimal de tres tipos:>Decimal exacto:la parte decimal tiene un número finito de cifras. Por ejemplo: 1/4=0.25>Decimal periódico puro: la parte decimal comleta se repite indefinidamente, la cual puede ser representada con una linea encima de los digitos que representan al periodo. Ejemplo:>Decimal periódico mixto:al principio de la parte decimal hay una parte que no se repite y otra que se repite. Por ejemplo: 1.1.3 Porcentajes Es una manera de expresar un número positivo de 100 y se representa por el simbolo %. Se puede pensar como el numerador de una fraccion que tiene un denominador de 100: 1.1.4 Conversiones entre distintas representaciones >Conversion de fracción a: a)Decimal. Se divide el numerador entre el denominador. Por ejemplo: b)Porcentaje. Se convierte a decimal y se multiplica por 100%. Por ejemplo: >Conversion de porcentaje a: a)Fracción. Se quita el símbolo de porcentaje y se coloca la cantidad en el numerador.Siempre se utiliza como denominador el número 100. Se debe simplificar la fraccion en caso posible: b)Decimal. Se quita el simbolo de porcentaje y se recorre el punto decimal dos cifras hacia la izquierda. Se agrega el cero como parte entera. La razón por la cual se recorre el punto dos cifras a la izquierda es porque esta operacion es quivalente a dividir el número entre 100, y estas dos cifras reprecentan los dos ceros que contiene el numero 100. Por ejemplo: >Conversion de decimal a: Para sumar cantidades enteras y fracciones se realiza lo siguiente: a)Fracción.b)Porcentaje. Multiplicar por 100% o recorrer el punto decimal de la cantidad dos lugares hacia la derecha y agregar el simbolo %. Por ejemplo: Un resumen de la distintas representaciones de los números positivos descritos en los cuatro ejemplos anteriores se muestra en la siguiente tabla: 1.2 Jerarquización de operaciones numéricas En matemáticas como ciencia formal, existe una jerarquia u orden en las operaciones para proceder a resolverlas, así como también existen leyes que rigen el depeje de las expresiones, y los elementos de un conjunto deben escribirse en una forma específica para tener sentido matemático. En las operaciones numéricas se sigue un orden cuando en una expresion aparecen varios operadores: 1- Se deben efectuar aquellas que indiquen potenciación, es decir, potencias (x^2, x^3, x^n) y raíces (√9, √25, √64). 2- Se realizan las multiplicaciones (3x18, 55(9), 7*25) y las divisiones (21÷3, 60/20). 3- Por último se realizan las adiciones o sumas (25+8, 2+9) y las sustracciones o restas (25-14, 9-2). En ocaciones se deben expresar operaciones en la que el orden que se ha establecido se rompe; por ejemplo, se desea realizar una adicion para despues multiplicar su reultado por un numero. Para expresar este tipo de operaciones se utilizan los simbolos de agrupacion: parentesis (), corchetes [] y llaves {}.Ejemplo: 4+3^2x5-√81÷{14÷7[8-(30-23)]+1} Utilizando la calculadora se puede llegar a la solucion de la expresion del ejemplo anterior.Antes que nada debes familiarizarte con tu calculadora. Identifica las teclas que representan a los parentesis, asi como las teclas para las operaciones basicas como suma, resta, multiplicacion y division, incluyendo la raíz y la potencia. Si utilizas una calculadora cientifica Casio, puedes "escribir la ecuacion de la siguiente manera: 2. Uso de los números reales y las variables algebraicas2.1 El conjunto de los números reales y subconjuntos Ya hemos conocido los numeros positivos, entre ellos los enteros, los naturales y los racionales. Una representacion que se tiene acerca de esos numeros es la recta numerica teniendo como referencia al cero u origen. El cero representa la ausencia total de cantidad. Los enteros positivos (Z+) se ubican a la derecha del cero y reprecentan cantidades "completas", es decir, cantidades que son enteras que se utilizan para contar. Los enteros negativos (Z-) se ubican a la izquierda del cero y con signo negativo. El conjunto de los numeros reales esta formado por varios subconjuntos: 1. Los numeros naturales: N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,..., } ∞ 2. Los numeros enteros positivos: Z+= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,..., } ∞ 3. Los Los numeros enteros negativos: Z-={-∞,...,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1} 4. El conjunto que contiene al cero: {0} Algunos símbolos importantes para utilizar conjuntos son: 1. El símbolo ∪ que significa "union de conjuntos". Se deben tomar en cuenta todos los elementos de los conjuntos a unir. 2. El simbolo ⊂ indica que un cinjunto es un "sunconjunto" de un conjunto mayor. Su contraparte es el símbolo ⊄ (nulo) indica que no es subconjunto de otro. 3. El de pertenencia ∈ que indica si un elemento esta dentro de un conjunto. El que niega que un elemento pertenezca a un conjunto es ∉.De acuerdo a lo anterior, los numeros enteros se forman de los numeros enteros negativos y positivos y se representan por Z: Otro conjunto que pertenece a los reales son los numeros racionales, que son los que se pueden obtener a partir de una fraccion y se representan por la letra Q. Así, en notacion de conjuntos se tiene que: Z ⊂ Q Existen más numeros que no se precentan como naturales, enteros o racionales, ejemplos son el numero π (pi), o √2, y √3. A estas cantidades se les denomina numeros racionales y se representa por I. La parte decimal de un numero racionalcarece de un periodo repetitivo. En notacion de conjuntos se tiene que: R = Ι ∪Q 2.2 Números simétricos, valor absoluto y relaciones de orden Existen algunas relaciones entre números reales que son importantes: el si,étrico de un real. El valor absoluto y las relaciones de orden. 2.2.1 Simétrico de un número real A los reales negativos que estan a la misma distancia del cero que los positivos, se les llaman numeros simetricos o numeros opuestos. Ejemplo: El -3 es simetrico de 3: 2.2.2 Valor absoluto de un numero real El valor absoluto de un numero representa la distancia de este al origen. El simbolo que lo representa son dos barras verticales entre las cuales se "encierra" el numero.Por ejemplo: Se lee "el valor absoluto de -15 es igual a 15". En genral, se puede decir que "el valor absoluto de un numero es el valor numerico sin tener en cuenta si el signo es positivo o negativo". En una recta numerica es la distancia entre el numero y el cero. 2.2.3 Relaciones de orden Antesesor y sucesor de un numero entero El conjunto de los numeros enteros tiene una caracteristica especial: cada uno de sus elementos tiene antesesor y sucesor. El antesesor de un numero es el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él; el sucesor es el que está inmediatamente a su derecha. Por ejemplo: Relaciones Mayor que y Menor que Los numeros reales son un conjunto ordenado, es decir, hay numeros reales mayores o menores que otros. Un numero real es menor que otro (<, si esta colocado a la izquierda de él en la recta númerica; y es mayor (>, cuando esta a su derecha. En este caso, el numero -7 es el mayor de todos porque está más a la izquierda, mientras que el 6 es el mayor de todos porque es el que esta mas a la derecha. Así pues: -7<-1<3<6. 2.3 Comparacion y relacion entre numeros reales 2.3.1 Razones Es el cociente de dos números o dos cantidades que tienen las mismas unidades.Con ellas se pueden comparar cantidades numericas. Existen tres formas de escribir una razón: 1) Como fraccion, donde el numerador se llama antecendente y el denominador consecuente. 2)Como dos numeros separados por la letra "a". 3)Como dos numeros separados por dos puntos. Ejemplo: representa las cantidades de las tres formas que existen para escribir una fraccion. 2.3.2 Tasas Es un cociente de dos cantidades con distintas unidades. Se escribe como fraccion.Ejemplo: En la etiqueta de una lata de pintura se lee "Cobertura: Un cuarto cubre 200 pies cuadrados". Escribe los anterior como una tasa. 1 cuarto/200 pies cuadradosCuando escribas una tasa siempre incluye las unidades de las mediciones. 2.3.3 Proporciones Es una afirmacion de la igualdad de dos razones o tasas y se expresa matemáticamente como: donde "b" y "d" deben ser distintos de cero. A los terminos "a" y "d" se les llama extremos y a los terminos "b" y "c" se les nombra medios.Ejemplo: un sastre compro 5 metros de tela y pago por ella $25. Si necesita 8 metros de la misma tela, ¿Cuanto debera pagar?Aplicando el concepto de proporciones: 5m/$25 = 8m/xA esta expresion generalmente se le llama regla de tres simpe y para resolverla se emplea un procediminro sencillo, ya que se multiplican los datos que se conocen como medios y se divide entre el dato extremo que se conoce: x=25 x 8 /5=40Realizando las operaciones, el sastre debera pagar $40 por los 8 metros de tela que le faltan. Propiedad fundamental de las proporcioens. En cualquier proporcion el producto de los extremos es igual al prioducto de los medios. Con esta propiedad se puede comprobar se dos razones dadas son una proporcion o no. A esto se le llama productos cruzados: Variacion directa. Cuando dos variables x, y estan relacionadas de tal manera que la razón y/x no cambia; es decir, es igual a una constante, entonces se dice que y varia directamente con x.Lo anterior se expresa matemáticamente como:y varia directamente con x, significa que y/x=constante=kdonde k se llama constante de proporcionalidad y debe ser diferente de cero.Dicho lo anterior, si despejas y, entonces y=kx tambien representa una variacion directa."En una variacion directa si una de las magnitudes aumenta, la otra tambien". Ejemplo: Trollencio quiere repartir de forma directamente proporcional a la edad de sus hijos, la cantidad de $15,000.Sus hijos Fapencio, fuckencia y fuckencio tienen 15, 12 y 10 años respectivamente. Variacion inversa. Tiene com caracteristica principal que si una de la magnitudes relacionadas aumenta, la otra disminuye; y si disminuye, la otra aumenta. Matematicamente se dice que dos cantidades inversamente proporcionales o tienen una variacion inversa si: donde k=xy. Si una magnitud varia inversa y proporcionalmente con otra, entonces laprimera es igual al producto de una constante por el reciprovco de la segunda. Varicion compuesta. Un problema es de proporcionalidad compuesta si intervienen tres o mas magnitudes. Al intervenir mas de dos magnitudes las relaciones proporcionales dos a dos de las magnitudes pueden ser distintas, es decir, si tenemos las magnitudes A, B, C, la relacion proporcional entre A y B puede ser directa o inverso y entre B y C ocurrio lo mismo, dicho de otra manera, se presenta una comvinacion de proporcionalidades directas e inversas. Es todo en esta primera entrega de la serie de matematicas. AGRADEZCO A TODOS LOS QUE VIERON Y APRENDIERON EN ESTE POST, Y LAMENTO POR LO QUE ANTES PROMETI, ME VOY DE TARINGA Y DE OTRAS REDES SOCIALES POR UN LARGO TIEMPO, NO ESPECIFICO CAUSAS QUE NO SIRVEN DE ALGO; EN FIN CADA QUIEN FORJA SU CAMINO, PERO SIN EMBARGO NO SE DA CUENTA CUANDO HASTA QUE LOGRA DESPERTAR A SU REALIDAD, GRACIAS A TARINGA POR TODO.