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Holanda les doy un resumen que te muestra todos los pasos y cosas que hay que hacer para hacer un estudio analìtico y una representaciòn gràfica: Estudio analítico y representación gráfica de funciones. E.A y R.G. Lo que llamamos estudio analítico de una función, consiste en encontrar su dominio, raíces, signo, estudio de crecimiento y decrecimiento, determinación de máximos y mínimos relativos, concavidad y puntos singulares. Todas estas propiedades nos permiten hacer una representación gráfica de la función. Para ello debemos seguir los siguientes pasos: Dominio El dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida. Se deben tener en cuenta que: a. Todo denominador debe ser distinto de 0. Se deben hallar las raíces de cada denominador que aparezca en la función. b.Una cantidad subradical de índice par debe ser positiva o nula. Se hallan las raíces de la cantidad subradical y se estudia su signo. Los intervalos donde es negativa son intervalos donde la función no existe. Nota: Las raíces de índice impar existen para todos los reales. c.Logaritmos: El logaritmando debe ser siempre positivo. Continuidad y asíntotas verticales Hallamos los límites laterales en los puntos de discontinuidad, y en los extremos de los intervalos de discontinuidad. Si alguno de los límites laterales en un punto x=a es infinito se dice que f tiene asíntota vertical de ecuación x=a. Nota: En los puntos con límites laterales finitos deben calcularse los límites de la derivada para determinar las semitangentes. Ceros y signo Hallar los ceros de la función consiste en resolver la ecuación f(x)=0. En algunos casos no es necesario, pero puede utilizarse el método de Rolle o el método de ábacos. Para especificar el signo se colocan sobre un eje los ceros de la función y los puntos de inexistencia, y se determina el signo en cada uno de los intervalos que quedan. Tener en cuenta: las ecuaciones: Los signos: Asíntotas horizontales y oblicuas En este punto, determinaremos qué asíntotas presenta la función cuando x tiende a + y -. Para ello se debe calcular: by=b Asíntota horizontal 0 Dirección asintótica paralela a Ox ∞calculo ∞ Dirección asintótica paralela a Oy mcalculo ∞ Dirección asintótica paralela a y= mx n Asíntota oblicua y=mx+n 1.Derivada primera Se debe calcular la derivada primera aplicando reglas de derivación y simplificarla al máximo. Se estudia su dominio, ceros y signo. A partir de ello se determina crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y puntos singulares (si existen). Crecimiento y decrecimiento. + sg f'(x) ----> f es creciente - sg f'(x) -------> f es decreciente Extremos + 0 - sg f'(x) -----|- a f presenta un máximo en (a,f(a)). - 0 + sg f'(x) ---|-----> a f presenta un mínimo en (a,f(a)). Puntos de inflexión con tangente horizontal - 0 - sg f'(x) --|-----> a f presenta un punto de inflexión en (a,f(a)) con tangente horizontal. + 0 + sg f'(x) ---|----> a f presenta un punto de inflexión en (a,f(a)) con tangente horizontal. Puntos singulares Una función presenta un punto singular en x=a si es continua en a pero no derivable. En general aparecen en funciones con valor absoluto, raíz cúbica, raíz cuadrada de una cantidad subradical con valor absoluto, funciones definidas por intervalos. sg f'(x) -----|-----> a Para averiguar qué tipo de punto singular es, se deben calcular los límites laterales de la derivada primera en ese punto. Límites laterales ambos finitos o al menos uno de ellos: punto anguloso Límites laterales infinitos de distinto signo: punto de retroceso Límites laterales infinitos de igual signo: punto de inflexión con tangente vertical Las tangentes laterales en el punto son diferentes: y = f'(a)(x-a) + f(a) Funciones: Punto singular: Donde se presenta: Anguloso Retroceso Retroceso o punto de inflexión con tg vertical Definidas por intervalos Anguloso, retroceso o inflexión con tg vertical Donde cambia la expresión analítica 2.Derivada segunda Se halla la derivada segunda y luego su dominio, ceros y signo. Se determina la concavidad y los puntos de inflexión. Se calcula f(a) y f´(a) y si el problema lo pide las ecuaciones de las tangentes en puntos de inflexión: y = f'(a)(x-a) + f(a). Concavidad + + sg f'' ------> La función presenta concavidad positiva. - - sg f'' ------> La función presenta concavidad negativa. Puntos de inflexión con tangente oblicua - 0 + sg f'' ----|----> a + 0 - sg f'' ----|----> a espero que les sirva

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