joselegaroch

Muchas veces habrán escuchado por allí eso de los " números imaginarios", o vieron un chiste en internet sobre eso y no entendieron ni vergas, porque, a no ser que tu carrera esté estrechamente relacionada con las matemáticas especialmente como la ingeniería y algunas ciencias puras, lo más probable es que nunca tengas que utilizarlos. Con este post espero explicar brevemente este tema para los que no saben prácticamente nada al respecto, si estás comenzando a estudiar ingeniería pronto te toparás con ellos y si solo eres un curioso, siempre es bueno aprender algo nuevo, pero lo más importante... PARA QUE @!#$%& SE USAN?!! ¿Qué es un número complejo? Un número complejo es un par ordenado, sí!, como los puntos en el plano cartesiano, los números complejos tienen dos componentes, a la primera componente se le llama parte real y a la segunda se le llama parte imaginaria, éstas dos componentes son números reales (y por qué se llama imaginaria? WTF... ya hablaremos de eso luego), de hecho, se pueden graficar también en un plano, graficando la parte real como si fuesen las X y la parte imaginaria como si fuesen las Y, por lo que hasta ahora parece bastante sencillo todo! A los complejos que NO tienen parte imaginaria, se les llama reales puros, ejemplo: z = 9 Y a los complejos que NO tienen parte real se les llama, imaginarios puros, ejemplo: z = -7 i Ahora veamos cuales son las representaciones más comunes. Representación Binómica: Ésta es la representación más conocida y se hace, o bien, escrito entre paréntesis, separando sus componentes con comas(como si de una coordenada se tratase), primero la parte real y luego la parte imaginaria Ejemplo: z = (4,12) O bien, de la siguiente forma, se escribe primero la parte real seguido de un símbolo de suma y luego la parte imaginaria acompañada de la letra i. Ejemplo: z = 4 + 12i Y esa i que significa?!! Esa i es lo que se conoce como unidad imaginaria y está definida como el complejo (0,1) y que según la multiplicación de números complejos se cumple que: i² = i * i =-1 OJO esto no significa que i =√-1 por un simple despeje, es así como surgió históricamente su significado, pero no es así como está definida en matemáticas, de hecho, si calculamos la √-1 nos damos cuenta que tiene otra solución aparte de i . Habiendo explicado brevemente qué es la i, para nosotros, podemos decir que sirve de identificador para distinguir una parte real de una parte imaginaria ya que ambas partes son números reales Cabe destacar que en la ingeniería, se suele sustituir la letra i por la letra j, significando exactamente lo mismo, lo que pasa, es que la letra i también se utiliza para representar la intensidad de la corriente en un circuito, por lo que para evitar confusiones se hace el cambio, por lo que podemos representar el número anterior también como: z = 4 + 12j Representación Fasorial: Ésta representación es especialmente popular en ingeniería ya que permite trabajar elementos del circuito de una forma mucho mas cómoda, y se hace de la siguiente forma: Se coloca primero el módulo del complejo (la longitud de la hipotenusa del triángulo que se forma al graficarlo en el plano), luego un símbolo como de ángulo y por último el ángulo que se forma entre él y el eje real, asi como se ve en la imagen de abajo Para este caso, el número se representaría como : Ahora que sabemos identificar un número complejo y conocemos sus partes, viene la pregunta del millón.... PARA QUE @!#$%& SE USAN?!! Hay MUCHÍSIMAS aplicaciones de estos números, pero pondré solo las mas comunes por aca: 1. Resolver Ecuaciones Diferenciales: Esta es la principal y más importante aplicación en la matemática, la física y en la ingeniería de cualquier área. Gracias a unos procedimientos llamados Transformadas Integrales podemos convertir ecuaciones de números reales MUY complicadas, en ecuaciones de números complejos mucho más sencillas. Por ejemplo, utilizando la Transformada de Laplace, podemos pasar de esto: a esto: 2. Análisis de Circuitos Eléctricos: Especialmente útil en la ingeniería eléctrica y electrónica, si se representan las magnitudes de los elementos de un circuito y sus propiedades en números complejos se facilita bastante el análisis y la resolución de éstos pues es posible representar la amplitud y el desfase de las ondas que representan los elementos del circuito. 3. Análisis de Ondas y Señales: Especialmente útil en la física y la ingeniería de telecomunicaciones, si se representan las amplitudes de ondas armónicas en función del tiempo como números complejos permite hacer cálculos de manera más simple, de igual forma con el uso de la Transformada de Fourier se estudian la frecuencia y el tiempo en paralelo generalmente para el diseño de filtros y antenas. 4. Sistemas de control: Es una de las aplicaciones que abarca más áreas de la ciencia, dado que muchos sistemas pueden ser representados como sistemas de control, desde líneas de producción en una fábrica, hasta crecimiento poblacional y extinción de especies. Por medio del análisis complejo se pueden identificar condiciones para las que el sistema falle, o funcione con muy mal rendimiento, por lo que ayuda a prevenir accidentes y a mejorar el funcionamiento de los sistemas. Resumen lv 5: Los números complejos son dos números escritos en uno solo y sirven, en la mayoría de los casos, para transformar valores reales en valores complejos y simplificar un huevo los cálculos. Esto fué todo, quería compartir esta pequeña información a quien estuviese interesado en esta área, por supuesto el post no abarca casi nada, y si estudias ingeniería probablemente esto te lo dijeron en la primera clase de este tema, pero creo que es más que suficiente para las personas que querían resolver esas dudas que están planteadas al inicio del post. Si tienen dudas, sugerencias, o me quieren putear, dejen un comentario y veo que puedo hacer!