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Una curiosidad sobre la representación binaria de los números perfectos En ocasiones nos encontramos con que algunas características de ciertos tipos de números son realmente sorprendentes, casi místicas en algunos casos. Pero no podemos dejar que ese aparente misticismo nos nuble la vista, ya que eso que parece tan sorprendente quizás sea algo relativamente evidente que no acertamos a ver, puede que por estar poseídos por esa sorpresa. Los números perfectos son uno de esos tipos de números que poseen características sorprendentes. Para empezar, su propia definición los eleva a una categoría acorde con su propia denominación: Un número entero positivo N es un número perfecto si la suma de todos sus divisores (excluyéndolo a él mismo) es igual al propio N. Ejemplos de números perfectos son los siguientes: begin{matrix}6=1+2+3 \ 28=1+2+4+7+14 \ 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 end{matrix} que son los tres más pequeños. Hay dos cuestiones interesantes sobre los números perfectos que actualmente siguen sin respuesta. Son las siguientes: ¿Existen infinitos números perfectos? ¿Existen números perfectos impares? Sobre la segunda pregunta, solamente se conocen propiedades que deberían cumplir si en realidad existieran relacionadas con el número de factores que deberían tener o sobre la cantidad de dígitos de dichos factores (aquí se demostró un resultado relacionado con ellos). Y sobre la primera, sabemos algo pero no demasiado. No sabemos si hay infinitos números perfectos, pero sí sabemos cómo son exactamente los números perfectos pares. Se sabe (gracias, a partes iguales, a Euclides y a Euler) que hay una relación biunívoca entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne (que recordemos que son primos de la forma 2^p-1, con p un número primo). Es decir, sabemos que cada número perfecto par corresponde con un primo de Mersenne, y viceversa de la siguiente forma: Si 2^p-1 es un número primo, entonces 2^{p-1} cdot (2^p-1) es un número perfecto. Por tanto a día de hoy se conocen 48 números perfectos (uno por cada primo de Mersenne que conocemos). Por ejemplo, los tres anteriores corresponden a los siguientes primos de Mersenne: Para p=2 obtenemos el primo de Mersenne 2^2-1=3, y el número perfecto 2^{2-1} cdot (2^2-1)=6. Para p=3 obtenemos el primo de Mersenne 2^3-1=7, y el número perfecto 2^{3-1} cdot (2^3-1)=28. Para p=5 obtenemos el primo de Mersenne 2^5-1=31, y el número perfecto 2^{5-1} cdot (2^5-1)=496. Como podemos ver, los números perfectos tienen una definición y unas propiedades ciertamente curiosas y, hasta cierto punto, sorprendentes (esta relación con los primos de Mersenne es, para mí, cautivadora por lo inesperado de la misma), pero no todo lo que está relacionado con ellos debe ser necesariamente “inexplicable”. Veamos un ejemplo. Hace unos días se publicaba en Futility Closet el post Brothers in Binary, en el que aparecía esta tabla con la representación binaria de los primeros ocho números perfectos: En ella se puede ver que la representación binaria de dichos números perfectos es muy especial, ya que en todos los casos aparecen una cierta cantidad de unos seguidos de otra cierta cantidad de ceros. Además, en todos los casos la cantidad de unos es un número primo y la cantidad de ceros es un número par. ¿Esto es siempre así? Y, en ese caso, ¿tiene algún tipo de explicación? Pues sí, es así siempre que el número perfecto sea par. Y sí, tiene explicación. Y, como ya habréis adivinado, tiene que ver con la correspondencia de los números perfectos pares con los primos de Mersenne. Tomemos un número perfecto par cualquiera, K. Por la correspondencia con los primos de Mersenne, debe existir un número primo p tal que 2^p-1 es un número primo y además K=2^{p-1} cdot (2^p-1). Por otro lado, se puede demostrar fácilmente por inducción que si n es un número entero positivo, entonces 2^n-1=1+2+ ldots +2^{n-1} por lo que tenemos que K=2^{p-1} cdot (1+2+ldots +2^{p-1}) Realizando la multiplicación obtenemos la expresión de K como suma de potencias de 2: K=2^{p-1}+2^p+ ldots 2^{2p-2} ¿Qué nos dice esta representación? Pues un par de cosas: La primera es que las potencias de 2 menores que 2^{p-1} no aparecen en ella, por lo que en la representación binaria darán ceros. ¿Cuántos habrá? Pues exactamente p-1, que es un número par de ceros. Y la segunda es que hay p potencias de 2 consecutivas que aparecen en esa expresión, que por tanto corresponderán con p unos consecutivos en la representación binaria. ¿Qué significa todo esto? Pues que a partir de la correspondencia biunívoca entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne no es para nada sorprendente que la representación binaria de los números perfectos pares tenga siempre la estructura siguiente K=underbrace{ 1 ldots 1 }_{p} underbrace{ 0 ldots 0}_{p-1} sino más bien que es evidente que debe ser así. Una consecuencia de todo esto es que, aunque no nos vale a encontrar números perfectos pares, esta propiedad nos podría servir para descartar que un número entero sea un número perfecto par: calculamos su representación binaria y si no es un número primo de unos seguidos de un número par de ceros entonces ya sabemos que el número en cuestión no es un número perfecto par. Cierto es que no es de mucha ayuda, pero algo es algo, ¿no? TODOS HABLAN DE ALGO BINARIO, YO SOLO QUERIA SER POPULAR JAJAJA

Que es NeonMob? NeonMob es una plataforma creada por Chris Messina, para la colección de arte digital (tarjetas, estampas, posters, pines, miniaturas, etc.) Al momento de registrarnos nos especifica que solo podemos tener una cuenta por persona. (Supongo que es "ilegal" tratar de conseguir mas cartas con otras cuentas a nuestro nombre). Una vez que nos hemos registrado nos otorgan 4 paquetes de tarjetas con 4 tarjetas dentro que se irán añadiendo a nuestra colección. Tenemos grupos de tarjetas que se agrupan mediante temas como por ejemplo este tema se llama THE LOST REALMS: Y aquí otro tema llamado CONFICTURA: Todas y cada una de las tarjetas tiene su nombre, tema al que pertenecen, y el creador de ellas, a si como también una descripción de cada una. Ejemplo: Y como conseguimos tarjetas para añadir a nuestra colección? Normalmente estas se consiguen por paquetes, y aquí es como la empresa gana dinero, por ejemplo este Tema de cartas llamado TECHNICOLOR STREETS: Nos da la siguiente información: Total de cartas a conseguir: 95 Cartas que recibes al comprar un paquete: 4 (A veces dan 5) Paquete Diario Gratuito: 2 No todas las cartas tienen el mismo valor se dividen en rangos y son: - Comunes - No comunes - Raras - Muy raras - Extremadamente raras - Chase (Algo a si como las mas buscadas) Otra característica muy importante de la plataforma es que podemos intercambiar nuestras tarjetas con otros usuarios: El usuario Emery Rose trata de intercambiarme una tarjeta que es común por una tarjeta mía que es muy rara, lo cual por obvias razones rechazare su oferta En la siguiente tabla se muestra el precio de los créditos si es que deseamos obtenerlos. Recordar que cada paquete de cartas nos cuesta 10 créditos, y la posibilidad de conseguir cartas raras es mayor. Para todos aquellos a los que les haya interesado esta plataforma y les guste coleccionar como a mi los aliento a entrar y seguir viendo que mas hay; pueden seguir este link y tanto ustedes como a mi nos otorgaran una pieza de colección: Espero que les haya gustado mi post me esforzé para tratar de que les gustara.

Las personas tienden a confundir psicópatas con sociópatas, muchos todavía piensan que es lo mismo; que tanto la psicopatía como la sociopatía se refieren a la locura, pero esto no es cierto, la ciencia sabe cómo clasificar a cada individuo y cada uno de sus trastornos mentales, la sociopatía y psicopatía pueden confundirse por ser en realidad muy similares. Para las personas el fin no justifica los medios, pero para los médicos y científicos esto es totalmente diferente, estudiar a un criminal incluye un examen de los trastornos mentales y sus raíces. Aunque sociopatía y psicopatía, técnicamente, son equivalentes, ya que las dos fueron clasificadas singularmente como un trastorno disocial, o trastorno de personalidad antisocial (ASPD), esto significa que se tratan de forma similar, pero no son lo mismo, si los psicópatas se comportaran exactamente igual que los sociópatas, ¿cuál sería el objetivo de tener dos nombres para el mismo tipo de personas, con el mismo tipo de comportamiento? Aunque no son términos oficiales de diagnóstico y no se consideran enfermedades mentales, tanto psicopatía como sociopatía son peligrosas y es importante identificar a las personas con este tipo de trastorno. Lo sociópatas y psicópatas tienen en común: Si estos dos grupos no presentaran tantas características correspondientes, no sería tan difícil identificar las diferencias, la sociedad no tiene conciencia de que los psicópatas y sociópatas no son necesariamente asesinos en serie (sólo los más famosos), como se ha dicho antes, son individuos que sufren de trastorno de personalidad antisocial, ambos no pueden empatizar con nadie, comparten la ausencia de culpa, ambos tienen la capacidad de ser fríos, inteligentes y encantadores. También tienden a ignorar la ley, sin tener en cuenta los derechos de los demás y a tener un comportamiento, en la mayoría de los casos, explosivo e impredecible. Ambos son también incapaces de ponerse en el lugar de las personas. Hay que recordar que no hay consenso entre los profesionales acerca de las diferencias entre los psicópatas y sociópatas, hay una lista de diferencias significativas, es un tema muy complejo, ya que muchos profesionales creen que es la misma cosa. Los sociópatas: Las principales características de los sociópatas son: Fácil agitación y nerviosismo por ninguna razón, son inestables y no pueden mantener un empleo por mucho tiempo, son mal educados, son claramente personas perturbadas, tienen problemas de conducta desde la infancia y comúnmente se vuelven delincuentes, pueden formar alianzas con un individuo o grupo, incluso sin tener consideración alguna por las personas o para la sociedad, no piensan en las consecuencias de sus acciones y por lo tanto, cometen crímenes desorganizados y sobre todo espontáneos. La gran mayoría de los asesinos en serie son sociópatas, pero en estos casos la sociopatía puede estar vinculada con la esquizofrenia. Los sociópatas también tienden a ser más resistente al tratamiento y aunque pueden minimizar su voluntad de cometer delitos, no se pueden curar. Los psicópatas: Principales características de los psicópatas. A diferencia de los sociópatas, los psicópatas son fríos y calculadores, capaces de hacerse pasar por personas normales, son en su mayoría encantadores y atractivos, se ganan la confianza de alguien con facilidad y saben cómo manipular a la gente. Al igual que los sociópatas, suelen carecer de sentimiento, pero a diferencia de ellos, pueden imitarlos de los demás, con mayor frecuencia son educados y tienen trabajos estables, llegan al punto de formar familias y crear fuertes vínculos con otros personas sin que ellos se den cuenta ni sospechen en lo más mínimo. Los psicópatas tienden a planificar todos los detalles de sus crímenes, se organizan y, a menudo incluso tienen un plan B en caso de ser capturados. Diferencias significativas: Las diferencias entre los psicópatas y sociópatas son muy claras, los sociópatas actúan por impulso, hacen lo que hacen porque les gusta y no piensan en las consecuencias de sus acciones, mientras que los psicópatas calculan cuidadosamente cada paso, tienen un plan B, mienten mejor, están hechos para matar, las formas en que cometen sus crímenes son muy distintas, pero otra diferencia que es muy discutida por los expertos es: GENÉTICA X AMBIENTE. Al parecer, la gran diferencia entre sociópatas y psicópatas, no es su manera de actuar y sí, el origen de la enfermedad. Por ejemplo, cuando el trastorno antisocial se adquiere mediante la convivencia, cuando el individuo aprende a ser así en el mismo medio en que vive para ganar ventaja sobre los demás, es un sociópata, los sociópatas son expuestos al abuso, la violencia y a los traumas desde la infancia, ya que los psicópatas son impulsados a tal conducta gracias a una combinación de factores biológicos, genéticos y culturales, expertos afirman que gracias a algunos defectos fisiológicos los psicópatas tienen un cerebro poco desarrollado, en la parte responsable de controlar las emociones y los impulsos, los que quiere decir que el individuo nace como un psicópata, independientemente del entorno donde nació o vivió.