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Hace poco recordaba algo que me pasó en mis años de estudiante de secundaria. Durante cierta época la escuela se encontraba en remodelación (créanme cuando digo que ese edificio en verdad merecía labores de mantenimiento.) Uno de esos días, el profesor de educación física no asistió a clase, así que nos dieron permiso de practicar algún deporte en el patio, siempre y cuando nos mantuviéramos alejados de la zona de obras, principalmente por cuestiones de seguridad. Yo me encontraba muy cerca de un área en donde un par de albañiles estaban levantando un muro que, mas adelante, formaría parte de un laboratorio de química. De repente, puse atención a lo que los trabajadores platicaban : -Oye Manuel, necesito la escuadra...¿me la alcanzas por favor? -¡Caray, Andrés! Creo que eso no se va a poder. -¿Por qué? -Pues...porque no la trajimos. Andrés dejó lo que estaba haciendo y busco entre un montón de maderas, varillas y demás. No encontró el instrumento en cuestión. -Y ahora ¿qué hacemos?- dijo Manuel un tanto preocupado. -No te preocupes, ahorita lo resolvemos- aseguró Andrés, un tanto pensativo. Entonces Andrés se dirigió junto con Manuel a donde estaba su compadre Jaime, que era un herrero que también estaba trabajando ahí. Lo que ocurrió después atrapó mi curiosidad. Tres pedazos de metal -¡Ese compadre!- dijo alegremente Manuel. -¡Que tranza, compadre! -Pues nada, aquí dándote lata. ¿Tienes un tramo de solera que me facilites? -Sí, claro. Tómalo de ahí- dijo Jaime, señalando una esquina del patio en donde tenía todo su material. Manuel y Andrés se dirigieron al lugar y tomaron un tramo largo, como de metro y medio. Después, Manuel tomó su flexómetro y una segueta, y corto tres pedazos de solera: uno de 30 centímetros, otro de 40 y otro de 50. Luego le pidió a su compadre que soldara los tres pedazos por los extremos, lo que dio como resultado un triángulo. Hecho lo anterior, ambos regresaron al trabajo. Resulta que la escuadra la necesitaban para que el muro que deseaban levantar quedara en esquina con el anterior. De tal suerte que me dirigí con el que se llamaba Andrés –puesto que él había solucionado el problema- y le pregunté: -¿Cómo sabe que con esa escuadra que hizo los muros van a quedar bien esquinados? -Es algo que me enseñó mi papá, que también era albañil. Basta con cortar tres pedazos de 30, 40 y 50 centímetros de un material duro; únelos y te quedará una buena escuadra- me dijo. -Pero ¿por qué está tan seguro? -No lo sé -dijo ligeramente desconcertado por la pregunta.- Yo lo aprendí de mi papá, mas no se me ocurrió preguntarle porqué. ¡Pero me funciona muy bien! El timbre de la escuela sonó y me fui hacia el salón, pues la siguiente clase iba a comenzar. Días después regresé a la construcción con mi escuadra escolar –de esas de plástico que uno utiliza en la clase de matemáticas o de dibujo técnico- y la coloqué en la esquina de los muros; en efecto, el ángulo recto embonaba perfectamente. ¿Cómo lo habían logrado? Tuve que esperar hasta la preparatoria para entenderlo con claridad. Un resultado famoso Es precisamente en la educación secundaria en donde se enseña, con cierto nivel de detalle y profundidad, el célebre Teorema de Pitágoras. Cuando uno menciona este resultado, de manera natural viene a la memoria un esquema más o menos similar a este: La figura corresponde a un triángulo rectángulo; se llama así porque tiene un ángulo recto (es decir, es un ángulo de 90 grados), que en este caso es el que forman los lados a y b, los cuales son llamados catetos. Los profesores insisten –mediante ejemplos y problemas matemáticos- en que comprendamos y memoricemos las propiedades que tienen estos triángulos tan especiales. Precisamente una de las cosas que caracteriza a esta figura es que si elevamos al cuadrado el valor de uno de sus catetos y a eso le sumamos el cuadrado del otro cateto, entonces el valor resultante es exactamente igual al cuadrado del lado restante, al cual se le denomina hipotenusa. Lo anterior se suele expresar con la siguiente fórmula: a2+b2=c2 Como todo enunciado que se jacte de llamarse “teorema”, este posee su respectiva demostración, es decir, existe una serie de razonamientos matemáticos lógicos que permiten asegurar que el resultado es cierto; de hecho, se conocen cientos de demostraciones distintas. No obstante la amplia gama de posibilidades para probar este teorema, por cuestiones de espacio dejaremos ese asunto para otra ocasión. Y a todo esto...¿qué tiene que ver lo anterior con nuestro albañil y su misteriosa escuadra? Vamos a la explicación. Descubriendo el secreto En líneas previas se dijeron algunas cosas respecto al Teorema de Pitágoras, pero –para ser honestos- nunca lo hemos escrito, o al menos no en su versión completa. Una primera forma de enunciarlo sería la siguiente: Un triángulo es rectángulo si y solamente sí se cumple que la suma de los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. ¿Se oye medio rebuscado? Quizá, pero no nos dejemos sorprender. En primer lugar creo que es pertinente aclarar qué significa esa pomposa frasecita de “si y solamente si”. En matemáticas, a esta frase se le conoce como “equivalencia” y en nuestro caso lo que quiere decir es que la única manera de que un triángulo sea rectángulo (o sea, que tenga un ángulo recto) es que se cumpla que la suma de los cuadrados de sus catetos sea igual al cuadrado de la hipotenusa... y viceversa. Basándonos en nuestro primer esquema y utilizando la (única) fórmula que hemos visto hasta ahora, podemos reexpresar lo anterior de la siguiente manera Un triángulo es rectángulo si y solamente si se cumple que a2+b2=c2 Y he ahí la clave. El teorema nos permite tener la absoluta certeza de que si la fórmula se cumple entonces nos encontramos ante la presencia de un triángulo rectángulo. Entonces ahora la pregunta es ¿con los valores que tenemos (o sea 30, 40 y 50 centímetros) se cumple la igualdad requerida? ¡Hagamos las cuentas! Observemos que (30)2+(40)2=900+1600=2500 y por otra parte Fijémonos que las dos expresiones son iguales a 2500, por lo tanto podemos afirmar que (50)2=2500 Como decimos los mexicanos ¡ya la hicimos! Como las cantidades son iguales, entonces se trata de un triángulo rectángulo y, en consecuencia, el triángulo que el albañil hizo con los trozos de solera tenía –con toda seguridad- un ángulo de 90 grados, que fue el que se utilizó para que las paredes formaran una esquina perfecta. Una terna muy especial Bueno, ya sabemos porqué el truco que Manuel heredó de su papá funciona: toda la culpa es de Pitágoras. Uno de los elementos clave para que así sea son los números que tomamos. En otras palabras, ¿funcionará también si tomamos, por ejemplo, 20, 30 y 40? Veamos que en este caso no se cumple la igualdad: (20)2+(30)2=400+900=1300 pero (40)2=1600 de donde es claro que los resultados no son iguales, es decir, si tomamos 3 pedazos de solera que midan 20, 30 y 40 centímetros respectivamente y los unimos no construiríamos un triángulo rectángulo. Entonces...¿sólo funciona con 30, 40 y 50?. No, en realidad hay muchos arreglos de tres números naturales que cumplen con la igualdad pitagórica; precisamente por ello a esas tercias de números se les conoce como ternas pitagóricas. Como ejemplos de ellas tenemos 8,15 y 17 o también 20, 21 y 29 (como ejercicio te recomendamos hacer los cálculos correspondientes.) Hay algunas cosas que decir respecto a estas ternas de números. Se sabe que los babilonios ya sabían cómo generar estas ternas, pero fue precisamente la escuela de Pitágoras la que amplió las investigaciones respecto a estos interesantes números. Y fue Fibonacci, un célebre matemático italiano –que, entre otras cosas, difundió en Europa el sistema de numeración que actualmente usamos- quien descubrió un método para formar todas las ternas pitagóricas posibles. Es difícil que olvide lo que aprendí de ese albañil aquella mañana, sobre todo porque ahora tengo clara la razón que hace que el truco funcione. Y eso es, básicamente, lo que hace un científico: buscar las causas que originan algún fenómeno.

En el funeral de un albañil, un hombre desconocido por la familia llora amargamente, se le acerca la mujer del difunto, y dice: -¿Era usted amigo suyo? -Si -¿Le quería mucho? -Si, sus últimas palabras fueron para mi. -¿Ah, si? y ¿cuáles fueron? -Mariano, no muevas el andamio.